Закон полной совокупности - Law of total cumulance

В теория вероятности и математический статистика, то закон общей совокупности является обобщением кумулянты из закон полной вероятности, то закон полного ожидания, а закон полной дисперсии. Он имеет приложения при анализе Временные ряды. Он был представлен Дэвид Бриллинджер.[1]

Он наиболее прозрачен, если изложен в наиболее общей форме, поскольку совместный кумулянты, а не кумулянты указанного порядка для одного случайная переменная. В общем, у нас есть

где

  • κ(Икс1, ..., Иксп) является совместным кумулянтом п случайные переменные Икс1, ..., Иксп, и
  • сумма окончена перегородки множества {1, ...,п } индексов и
  • "Bπ;" означает B пробегает весь список «блоков» раздела π, и
  • κ(Икся : я ∈ B | Y) является условным кумулянтом при значении случайной величиныY. Следовательно, это случайная величина сама по себе - функция случайной величины.Y.

Примеры

Частный случай всего одной случайной величины и п = 2 или 3

Только в случае п = либо 2, либо 3 - это пкумулянт такой же, как пth центральный момент. Дело п = 2 хорошо известно (см. закон полной дисперсии ). Ниже представлен случай п = 3. Обозначения μ3 означает третий центральный момент.

Общие кумулянты 4-го порядка

Для общих кумулянтов 4-го порядка это правило дает сумму из 15 членов, а именно:

Кумулянты составных пуассоновских случайных величин

Предположим Y имеет распределение Пуассона с участием ожидаемое значение  λ, и Икс это сумма Y копии W которые независимый друг друга иY.

Все кумулянты распределения Пуассона равны друг другу, а значит, в этом случае равныλ. Также напомним, что если случайные величины W1, ..., Wм находятся независимый, то пкумулянт аддитивный:

Найдем 4-й кумулянт из Икс. У нас есть:

Мы распознаем последнюю сумму как сумму по всем разбиениям набора {1, 2, 3, 4}, произведения по всем блокам разбиения, кумулянтов W порядка, равного размеру блока. Это именно 4-й ряд момент из W (увидеть кумулянт для более неспешного обсуждения этого факта). Отсюда моменты W являются кумулянтами Икс умножается наλ.

Таким образом, мы видим, что каждая последовательность моментов также является кумулянтной последовательностью (обратное не может быть верным, поскольку кумулянты четного порядка ≥ 4 в некоторых случаях отрицательны, а также потому, что кумулянтная последовательность нормальное распределение не является моментной последовательностью какого-либо распределения вероятностей).

Условие на случайную величину Бернулли

Предположим Y = 1 с вероятностьюп и Y = 0 с вероятностьюq = 1 − п. Предположим, что условное распределение вероятностей Икс данный Y является F если Y = 1 и г если Y = 0. Тогда имеем

где означает π является разбиением множества {1, ...,п } который лучше, чем самый грубый раздел - сумма берется по всем разделам, кроме одного. Например, если п = 3, то имеем

использованная литература

  1. ^ Дэвид Бриллинджер, «Расчет кумулянтов посредством кондиционирования», Летопись Института статистической математики, Vol. 21 (1969), стр. 215–218.