Гармонический треугольник Лейбница - Leibniz harmonic triangle

В Гармонический треугольник Лейбница это треугольный расположение единицы измерения в котором крайние диагонали состоят из взаимные номеров строк, а каждая внутренняя ячейка - это ячейка по диагонали выше и слева за вычетом ячейки слева. Поставить это алгебраически, L(р, 1) = 1/р (куда р - номер строки, начиная с 1, а c номер столбца, не более р) и L(р, c) = L(р - 1, c - 1) − L(р, c - 1).

Значения

Первые восемь рядов:

${displaystyle {egin {array} {ccccccccccccccccc} &&&&&&&&& 1 &&&&&&&& &&&&&&&& {frac {1} {2}} && {frac {1} {2}} &&&&&&&& &&&&&&&& {frac &&&&&&& {frac {1} {3}} {6}} && {frac {1} {3}} &&&&&& &&&&&& {frac {1} {4}} && {frac {1} {12}} && {frac {1} {12}} && {frac { 1} {4}} &&&&& &&&&& {frac {1} {5}} && {frac {1} {20}} && {frac {1} {30}} && {frac {1} {20}} && { frac {1} {5}} &&&& &&&& {frac {1} {6}} && {frac {1} {30}} && {frac {1} {60}} && {frac {1} {60}} && {frac {1} {30}} && {frac {1} {6}} &&& &&& {frac {1} {7}} && {frac {1} {42}} && {frac {1} {105 }} && {frac {1} {140}} && {frac {1} {105}} && {frac {1} {42}} && {frac {1} {7}} && && {frac {1} {8}} && {frac {1} {56}} && {frac {1} {168}} && {frac {1} {280}} && {frac {1} {280}} && {frac {1} {168}} && {frac {1} {56}} && {frac {1} {8}} & &&&&& vdots &&&& vdots &&&& vdots &&&& end {array}}}$

Знаменатели перечислены в (последовательность A003506 в OEIS ), а числители - все единицы.

Условия

Сроки даны повторениями

${displaystyle a_ {n}, _ {1} = {1 выберите n}}$

${displaystyle a_ {n}, _ {k} = left ({frac {1} {n {inom {n-1} {k-1}}}} ight)}$

и явно

${displaystyle a_ {n}, _ {k} = {frac {1} {{inom {n} {k}} k}}}$

Где${displaystyle {inom {n} {k}}}$является биномиальным коэффициентом^[1]

Связь с треугольником Паскаля

В то время как каждая запись в Треугольник Паскаля представляет собой сумму двух записей в приведенной выше строке, каждая запись в треугольнике Лейбница - это сумма двух записей в строке ниже Это. Например, в 5-й строке запись (1/30) представляет собой сумму двух (1/60) в 6-й строке.

Точно так же, как треугольник Паскаля можно вычислить с использованием биномиальных коэффициентов, можно вычислить и треугольник Лейбница: ${displaystyle L (r, c) = {frac {1} {r {r-1 choose c-1}}}}$. Кроме того, элементы этого треугольника могут быть вычислены из Паскаля: «Термины в каждой строке - это начальный термин, разделенный на соответствующие элементы треугольника Паскаля».^[2] Фактически, каждая диагональ относится к соответствующим диагоналям треугольника Паскаля: первая диагональ Лейбница состоит из 1 / (1x натуральные числа), вторая из 1 / (2x треугольных чисел), третья из 1 / (3x тетраэдрических чисел) и т. Д. .

Характеристики

Если взять знаменатели числа п-я строка и складывает их, тогда результат будет равен ${displaystyle n2 ^ {n-1}}$. Например, для 3-го ряда у нас 3 + 6 + 3 = 12 = 3 脳 2².

У нас есть ${displaystyle L (r, c) = int _ {0} ^ {1}! x ^ {c-1} (1-x) ^ {r-c}, dx ,.}$

Рекомендации