Потемнение конечностей - Limb darkening

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2018 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

А фильтрованный изображение Солнца в видимом свете, демонстрирующее эффект затемнения к краю в виде уменьшения яркости по направлению к краю или краю солнечного диска. Снимок был сделан в 2012 г. транзит Венеры (здесь показано темным пятном в правом верхнем углу).

Потемнение конечностей это оптический эффект, наблюдаемый у звезд (включая солнце ), где центральная часть диска кажется ярче края, или конечность. Его понимание предоставило ранним солнечным астрономам возможность создавать модели с такими градиентами. Это стимулировало развитие теории перенос излучения.

Основная теория

Идеализированный случай потемнения конечности. Внешняя граница - это радиус, на котором фотоны, испускаемые звездой, больше не поглощаются. L - расстояние, для которого оптическая толщина равна единице. Высокотемпературные фотоны, испускаемые в точке A, едва ускользнут от звезды, как и низкотемпературные фотоны, излучаемые точкой B. Этот рисунок не в масштабе. Например, для солнце, L будет всего несколько сотен км.

Оптическая глубина, мера непрозрачности объекта или части объекта, сочетается с эффективная температура градиенты внутри звезды для затемнения к краю. Видимый свет является приблизительно интегралом всего излучения вдоль луча зрения, модулированного оптической глубиной до наблюдателя (т.е. 1 / e раз больше излучения на 1 оптической глубине, 1 / e² умноженное на излучение на 2 оптических глубинах и т. д.). Вблизи центра звезды оптическая глубина практически бесконечна, что обеспечивает примерно постоянную яркость. Однако эффективная оптическая глубина уменьшается с увеличением радиуса из-за более низкой плотности газа и более короткого расстояния прямой видимости через звезду, вызывая постепенное затемнение, пока оно не станет равным нулю на видимом крае звезды.

В эффективная температура из фотосфера также уменьшается с увеличением расстояния от центра звезды. Излучение, исходящее от газа, составляет примерно излучение черного тела, интенсивность которого пропорциональна четвертой степени температуры. Следовательно, даже в направлениях прямой видимости, где оптическая глубина не конечна, излучаемая энергия исходит из более холодных частей фотосферы, в результате чего меньшая общая энергия достигает зрителя.

Температура в атмосфера звезды не всегда уменьшается с увеличением высоты. Для некоторых спектральные линии, оптическая толщина наибольшая в областях с повышением температуры. В этом сценарии вместо этого наблюдается феномен «осветления конечностей». На Солнце существование минимум температуры области означает, что осветление конечностей должно начать преобладать в дальний инфракрасный или же радио длины волн. Выше нижних слоев атмосферы и намного выше области минимума температуры Солнце окружено миллионамикельвин солнечная корона Для большинства длин волн эта область оптически тонкая, то есть имеет небольшую оптическую толщину, и, следовательно, должна быть увеличена яркостью, если она сферически симметрична.

Расчет потемнения конечности

Геометрия затемнения конечностей. В центре звезды находится О и имеет радиус р . Наблюдатель в точке п расстояние р от центра звезды и смотрит на точку S на поверхности звезды. С точки зрения наблюдателя, S находится под углом θ от линии, проходящей через центр звезды, а край или конечность звезды находится под углом Ω.

На показанном здесь рисунке, пока наблюдатель в точке P находится вне атмосферы звезды, интенсивность, видимая в направлении θ, будет функцией только угла падения ψ. Это наиболее удобно аппроксимировать как полином от cos ψ:

${ displaystyle { frac {I ( psi)} {I (0)}} = sum _ {k = 0} ^ {N} a_ {k} cos ^ {k} psi,}$

куда я(ψ) - это интенсивность, наблюдаемая в точке P вдоль луча зрения, образующего угол ψ по отношению к радиусу звезды, и я(0) - центральная интенсивность. Чтобы отношение равнялось единице при ψ = 0, необходимо иметь

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {N} a_ {k} = 1.}$

Например, для Ламбертианский радиатор (без потемнения конечностей) у нас будет все а_k = 0 кроме а₁ = 1. В качестве другого примера для солнце при 550 нм (5,5×10⁻⁷ м) потемнение к краю хорошо выражено N = 2 и

${ displaystyle a_ {0} = 1-a_ {1} -a_ {2} = 0,3,}$

${ displaystyle a_ {1} = 0,93,}$

${ displaystyle a_ {2} = - 0,23}$

(См. Cox, 2000). Уравнение потемнения к краю иногда удобнее записывать как

${ displaystyle { frac {I ( psi)} {I (0)}} = 1+ sum _ {k = 1} ^ {N} A_ {k} (1- cos psi) ^ {k },}$

который теперь имеет N независимые коэффициенты, а не N +1 коэффициент, сумма которых должна равняться единице.

В а_k константы могут быть связаны с А_k константы. Для N = 2,

${ displaystyle A_ {1} = - (a_ {1} + 2 * a_ {2}),}$

${ displaystyle A_ {2} = a_ {2}.}$

Для солнце на 550 нм, тогда мы имеем

${ displaystyle A_ {1} = - 0,47,}$

${ displaystyle A_ {2} = - 0,23.}$

Эта модель дает интенсивность на краю солнце диск всего 30% интенсивности в центре диска.

Мы можем преобразовать эти формулы в функции от θ, используя замену

${ displaystyle cos psi = { frac { sqrt { cos ^ {2} theta - cos ^ {2} Omega}} { sin Omega}} = { sqrt {1- left ({ frac { sin theta} { sin Omega}} right) ^ {2}}},}$

где Ω - угол от наблюдателя до лимба звезды. При малых θ имеем

${ displaystyle cos psi приблизительно { sqrt {1- left ({ frac { theta} { sin Omega}} right) ^ {2}}}.}$

Мы видим, что производная cos ψ бесконечна на краю.

Приведенное выше приближение можно использовать для получения аналитическое выражение для отношения средней интенсивности к центральной интенсивности. Средняя интенсивность я_м представляет собой интеграл интенсивности по диску звезды, деленный на телесный угол, образованный диском:

${ displaystyle I_ {m} = { frac { int I ( psi) , d omega} { int d omega}},}$

где dω = sin θ dθ dφ - элемент телесного угла, а интегралы ведутся по диску: 0 ≤ φ ≤ 2π и 0 ≤ θ ≤ Ω. Мы можем переписать это как

${ displaystyle I_ {m} = { frac { int _ { cos Omega} ^ {1} I ( psi) , d cos theta} { int _ { cos Omega} ^ { 1} d cos theta}} = { frac { int _ { cos Omega} ^ {1} I ( psi) , d cos theta} {1- cos Omega}}. }$

Хотя это уравнение можно решить аналитически, оно довольно громоздко. Однако для наблюдателя, находящегося на бесконечном расстоянии от звезды, ${ Displaystyle д соз тета}$ можно заменить на ${ displaystyle sin ^ {2} Omega cos psi , d cos psi}$, так что у нас есть

${ displaystyle I_ {m} = { frac { int _ {0} ^ {1} I ( psi) cos psi , d cos psi} { int _ {0} ^ {1} cos psi , d cos psi}} = 2 int _ {0} ^ {1} I ( psi) cos psi , d cos psi,}$

который дает

${ displaystyle { frac {I_ {m}} {I (0)}} = 2 sum _ {k = 0} ^ {N} { frac {a_ {k}} {k + 2}}.}$

Для солнце при 550 нм это означает, что средняя интенсивность составляет 80,5% от интенсивности в центре.

Рекомендации