Разложение Леви - Loewy decomposition

Эта статья нужно больше ссылки на другие статьи помочь интегрировать в энциклопедию. Пожалуйста помоги улучшить эту статью добавляя ссылки которые имеют отношение к контексту в существующем тексте. (Декабрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

При изучении дифференциальные уравнения, то Разложение Лоуи ломает все линейные обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) в так называемые наибольшие полностью приводимые компоненты. Он был представлен Альфред Лоуи.^[1]

Решение дифференциальные уравнения является одним из наиболее важных подполей в математика. Особый интерес представляют решения в закрытая форма. Разбиение ОДУ на самые большие неприводимые компоненты сводит процесс решения исходного уравнения к решению неприводимых уравнений самого низкого возможного порядка. Эта процедура является алгоритмической, поэтому гарантируется наилучший ответ для решения приводимого уравнения. Подробное обсуждение можно найти в.^[2]

Результаты Лоуи распространены на линейные частичный дифференциальные уравнения (PDE) с двумя независимыми переменными. Таким образом стали доступны алгоритмические методы для решения больших классов линейных pde.

Разложение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Позволять ${ displaystyle D Equiv { frac {d} {dx}}}$ обозначим производную по переменная ${ displaystyle x}$. Дифференциальный оператор порядка ${ displaystyle n}$ является многочленом вида

${ Displaystyle L Equ D ^ {n} + a_ {1} D ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} D + a_ {n}}$

где коэффициенты ${ displaystyle a_ {i}}$, ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$ из некоторого функционального поля,базовое поле из ${ displaystyle L}$. Обычно это поле рациональных функций от переменной ${ displaystyle x}$, т.е. ${ Displaystyle а_ {я} ин { mathbb {Q}} (х)}$. Если ${ displaystyle y}$ неопределенный с ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} neq 0}$, ${ displaystyle Ly}$ становится дифференциальным полиномом, а ${ displaystyle Ly = 0}$ - дифференциальное уравнение, соответствующее ${ displaystyle L}$.

Оператор ${ displaystyle L}$ порядка ${ displaystyle n}$ называется сводимый если его можно представить как произведение двух операторов ${ displaystyle L_ {1}}$ и ${ displaystyle L_ {2}}$, оба порядка ниже, чем ${ displaystyle n}$. Затем пишут ${ Displaystyle L = L_ {1} L_ {2}}$, т.е. сопоставление означает операторное произведение, оно определяется правилом${ displaystyle Da_ {i} = a_ {i} D + a_ {i} '}$; ${ displaystyle L_ {1}}$ называется левым фактором ${ displaystyle L}$, ${ displaystyle L_ {2}}$ правильный фактор. По умолчанию предполагается, что область коэффициентов факторов является базовым полем ${ displaystyle L}$, возможно, расширенный некоторыми алгебраическими числами, т.е. ${ displaystyle { bar { mathbb {Q}}} (х)}$ позволено. Если оператор не допускает правого фактора, он называется несводимый.

Для любых двух операторов ${ displaystyle L_ {1}}$ и ${ displaystyle L_ {2}}$ то наименее распространенное левое кратное${ displaystyle Lclm (L_ {1}, L_ {2})}$ - оператор низшего порядка такой, что оба ${ displaystyle L_ {1}}$ и ${ displaystyle L_ {2}}$ разделите его справа. В наибольший общий правый делитель ${ displaystyle Gcrd (L_ {1}, L_ {2})}$ - оператор высшего порядка, который делит оба ${ displaystyle L_ {1}}$ и ${ displaystyle L_ {2}}$ справа. Если оператор может быть представлен как ${ displaystyle Lclm}$ неприводимых операторов он называется полностью сводимый. По определению неприводимый оператор называется вполне приводимым.

Если оператор не является полностью приводимым, ${ displaystyle Lclm}$ неприводимых правых факторов делится, и та же процедура повторяется с частным. Из-за понижения порядка на каждом шаге этот процесс прекращается после конечного числа итераций и достигается желаемое разложение. Исходя из этих соображений, Лоуи ^[1] получил следующий фундаментальный результат.

Теорема 1. (Loewy 1906) Пусть ${ displaystyle D = { frac {d} {dx}}}$ быть производной и ${ displaystyle a_ {i} in { mathbb {Q} (x)}}$. Дифференциальный оператор

${ Displaystyle L Equ D ^ {n} + a_ {1} D ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} D + a_ {n}}$

порядка ${ displaystyle n}$ можно записать однозначно как произведение полностью приводимых множителей ${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})}}$ максимального порядка ${ displaystyle d_ {k}}$ над ${ Displaystyle { mathbb {Q}} (х)}$ в виде

${ Displaystyle L = L_ {m} ^ {(d_ {m})} L_ {m-1} ^ {(d_ {m-1})} ldots L_ {1} ^ {(d_ {1})} }$

с ${ displaystyle d_ {1} + ldots + d_ {m} = n}$. Факторы ${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})}}$ уникальны. Любой фактор ${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})}}$,${ Displaystyle к = 1, ldots, м}$ можно записать как

${ displaystyle L_ {k} ^ {(d_ {k})} = Lclm (l_ {j_ {1}} ^ {(e_ {1})}, l_ {j_ {2}} ^ {(e_ {2}) )}, ldots, l_ {j_ {k}} ^ {(e_ {k})})}$

с ${ displaystyle e_ {1} + e_ {2} + ldots + e_ {k} = d_ {k}}$; ${ displaystyle l_ {j_ {i}} ^ {(e_ {i})}}$ за ${ Displaystyle я = 1, ldots, к}$, обозначает неприводимый оператор порядка ${ displaystyle e_ {i}}$ над ${ Displaystyle { mathbb {Q}} (х)}$.

Разложение, определенное в этой теореме, называется Разложение Леви из ${ displaystyle L}$. Он дает подробное описание функционального пространства, содержащего решение приводимого линейного дифференциального уравнения ${ displaystyle Ly = 0}$.

Для операторов фиксированного порядка возможные разложения Лоуи, различающиеся числом и порядком множителей, могут быть указаны явно; некоторые факторы могут содержать параметры. Каждая альтернатива называется тип разложения Леви. Полный ответ для ${ displaystyle n = 2}$ подробно описывается в следующем следствии приведенной выше теоремы.^[3]

Следствие 1.Позволять ${ displaystyle L}$ быть оператором второго порядка. Его возможные разложения Лёви обозначаются${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {0} ^ {2}, ldots { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$, их можно описать следующим образом; ${ Displaystyle l ^ {(я)}}$ и ${ displaystyle l_ {j} ^ {(i)}}$ неприводимые операторы порядка ${ displaystyle i}$; ${ displaystyle C}$ является константой.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {1} ^ {2}: L = l_ {2} ^ {(1)} l_ {1} ^ {(1)};}$    

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}: L = Lclm (l_ {2} ^ {(1)}, l_ {1} ^ {(1)});}$   

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}: L = Lclm (l ^ {(1)} (C)).}$

Тип декомпозиции оператора - это декомпозиция ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {я} ^ {2}}$ с наибольшим значением ${ displaystyle i}$. Неприводимый оператор второго порядка определяется как имеющий тип декомпозиции ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {0} ^ {2}}$.

Разложения ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {0} ^ {2}}$, ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$ полностью приводимы.

Если разложение типа ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {я} ^ {2}}$, ${ displaystyle i = 1,2}$ или же ${ displaystyle 3}$ получено для уравнения второго порядка ${ displaystyle Ly = 0}$, фундаментальная система может быть задана явно.

Следствие 2.Позволять ${ displaystyle L}$ - дифференциальный оператор второго порядка, ${ displaystyle D Equiv { frac {d} {dx}}}$, ${ displaystyle y}$ дифференциал неопределенный, и ${ Displaystyle а_ {я} ин { mathbb {Q}} (х)}$. Определять ${ Displaystyle varepsilon _ {я} (х) эквив ехр {(- int a_ {я} dx)}}$ за ${ displaystyle i = 1,2}$ и ${ Displaystyle varepsilon (х, С) эквив ехр {(- int a (C) dx)}}$, ${ displaystyle C}$ - параметр; Запрещенные количества ${ displaystyle { bar {C}}}$ и ${ displaystyle { bar { bar {C}}}}$ произвольные числа, ${ displaystyle { bar {C}} neq { bar { bar {C}}}}$. Для трех нетривиальных разложений следствия 1 следующие элементы ${ displaystyle y_ {1}}$ и ${ displaystyle y_ {2}}$ фундаментальной системы.

${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {1} ^ {2}}$: ${ Displaystyle Ly = (D + a_ {2}) (D + a_ {1}) y = 0}$;   

${ displaystyle y_ {1} = varepsilon _ {1} (x),}$

${ displaystyle y_ {2} = varepsilon _ {1} (x) int { frac { varepsilon _ {2} (x)} { varepsilon _ {1} (x)}} , dx.}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$: ${ Displaystyle Ly = Lclm (D + a_ {2}, D + a_ {1}) y = 0;}$

${ Displaystyle у_ {я} = varepsilon _ {я} (х);}$

${ displaystyle a_ {1}}$ не эквивалентно ${ displaystyle a_ {2}}$.

${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$: ${ Displaystyle Ly = Lclm (D + a (C)) y = 0;}$

${ displaystyle y_ {1} = varepsilon (x, { bar {C}})}$

${ displaystyle y_ {2} = varepsilon (x, { bar { bar {C}}}).}$

Здесь две рациональные функции ${ displaystyle p, q in { mathbb {Q}} (x)}$ называются эквивалент если существует другая рациональная функция ${ Displaystyle г в { mathbb {Q}} (х)}$ такой, что

${ displaystyle p-q = { frac {r '} {r}}}$.

Остается вопрос, как получить факторизацию для данного уравнения или оператора. Оказывается, для нахождения линейной оды факторы сводятся к нахождению рациональных решений уравнений Риккати или линейных од; оба могут быть определены алгоритмически. Два приведенных ниже примера показывают, как применяется приведенное выше следствие.

Пример 1Уравнение 2.201 из коллекции Камке.^[4]имеет ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {2} ^ {2}}$ разложение

${ displaystyle y '' + (2 + { frac {1} {x}}) y '- { frac {4} {x ^ {2}}} y = Lclm { Big (} D + { frac {2} {x}} - { frac {2x-2} {x ^ {2} -2x + { frac {3} {2}}}}, D + 2 + { frac {2} {x} } - { frac {1} {x + { frac {3} {2}}}} { Big)} y = 0.}$

Коэффициенты ${ displaystyle a_ {1} = 2 + { frac {2} {x}} - { frac {1} {x + { frac {3} {2}}}}}$ и${ displaystyle a_ {2} = { frac {2} {x}} - { frac {2x-2} {x ^ {2} -2x + { frac {3} {2}}}}}$ являются рациональными решениями уравнения Риккати ${ displaystyle a'-a ^ {2} + { big (} 2 + { frac {1} {x}} { big)} + { frac {4} {x ^ {2}}} = 0}$, они дают фундаментальную систему

${ displaystyle y_ {1} = { frac {2} {3}} - { frac {4} {3x}} + { frac {1} {x ^ {2}}},}$

${ displaystyle y_ {2} = { frac {2} {x}} + { frac {3} {x ^ {2}}} e ^ {- 2x}.}$

Пример 2Уравнение с типом ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {3} ^ {2}}$ разложение

${ displaystyle y '' - { frac {6} {x ^ {2}}} y = Lclm { big (} D + { frac {2} {x}} - { frac {5x ^ {4} } {x ^ {5} + C}} { big)} y = 0.}$

Коэффициент при множителе первого порядка - рациональное решение ${ displaystyle a'-a ^ {2} + { frac {6} {x ^ {2}}} = 0}$. После интеграции фундаментальная система ${ Displaystyle у_ {1} = х ^ {3}}$ и${ displaystyle y_ {2} = { frac {1} {x ^ {2}}}}$ за ${ displaystyle C = 0}$ и ${ Displaystyle C rightarrow infty}$ соответственно получается.

Эти результаты показывают, что факторизация обеспечивает алгоритмическую схему для решения приводимых линейных од. Всякий раз, когда уравнение порядка 2 факторизуется в соответствии с одним из типов, определенных выше, элементы фундаментальной системы явно известны, то есть факторизация эквивалентна ее решению.

Похожая схема может быть создана для линейных од любого порядка, хотя количество альтернатив значительно увеличивается с порядком; Для заказа ${ displaystyle n = 3}$ подробный ответ дан в.^[2]

Если уравнение неприводимо, может оказаться, что его группа Галуа нетривиальна, тогда могут существовать алгебраические решения.^[5] Если группа Галуа тривиальна, можно выразить решения в терминах специальной функции, например, Функции Бесселя или Лежандра, см. ^[6] или же.^[7]

Основные факты из дифференциальной алгебры

Чтобы обобщить результат Лоуи на линейные pde, необходимо применить более общие условия дифференциальная алгебра. Поэтому ниже приводятся несколько основных понятий, необходимых для этой цели.

Поле ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ называется дифференциальное поле если он оборудован оператор вывода. Оператор ${ displaystyle delta}$ на поле ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ называется оператором вывода, если ${ Displaystyle дельта (а + Ь) = дельта (а) + дельта (Ь)}$ и ${ Displaystyle дельта (ab) = дельта (а) б + а дельта (б)}$ для всех элементов ${ displaystyle a, b in { mathcal {F}}}$. Поле с одним оператором вывода называется обыкновенное дифференциальное поле; если существует конечное множество, содержащее несколько коммутирующих операторов вывода, то поле называется поле в частных производных.

Здесь дифференциальные операторы с производными ${ displaystyle partial _ {x} = { frac { partial} { partial x}}}$ и${ displaystyle partial _ {y} = { frac { partial} { partial y}}}$ с коэффициентами из некоторого дифференциального поля. Его элементы имеют вид ${ displaystyle sum _ {i, j} r_ {i, j} (x, y) partial _ {x} ^ {i} partial _ {y} ^ {j}}$; почти все коэффициенты ${ displaystyle r_ {я, j}}$ равны нулю. Поле коэффициентов называется базовое поле. Если главное - конструктивные и алгоритмические методы, то это ${ Displaystyle { mathbb {Q}} (х, у)}$. Соответствующее кольцо дифференциальных операторов обозначается через ${ displaystyle { mathcal {D}} = { mathbb {Q}} (x, y) [ partial _ {x}, partial _ {y}]}$ или же ${ Displaystyle { mathcal {D}} = { mathcal {F}} [ partial _ {x}, partial _ {y}]}$. Кольцо ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ некоммутативна, ${ displaystyle partial _ {x} a = a partial _ {x} + { frac { partial a} { partial x}}}$ и аналогично для других переменных; ${ displaystyle a}$ из базового поля.

Оператору ${ displaystyle L = sum _ {i + j leq n} r_ {i, j} (x, y) partial _ {x} ^ {i} partial _ {y} ^ {j}}$ порядка ${ displaystyle n}$ то символ L однородный алгебраический многочлен ${ Displaystyle Symb (L) Equiv sum _ {я + j = n} r_ {i, j} (x, y) X ^ {i} Y ^ {j}}$куда ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ алгебраические неопределенные.

Позволять ${ displaystyle I}$ левый идеал, порожденный ${ displaystyle l_ {i} in { mathcal {D}}}$, ${ Displaystyle я = 1, ldots, p}$. Затем пишут ${ Displaystyle I = langle l_ {1}, ldots, l_ {p} rangle}$. Потому что правильные идеалы здесь не рассматриваются, иногда ${ displaystyle I}$ просто называется идеалом.

Соотношение левых идеалов в ${ Displaystyle { mathcal {D}}}$ и системы линейных pde устанавливается следующим образом. Элементы ${ displaystyle l_ {i} in { mathcal {D}}}$ применяются к отдельному дифференцированному неопределенному ${ displaystyle z}$. Таким образом идеальный ${ Displaystyle I = langle l_ {1}, l_ {2}, ldots rangle}$ соответствует системе PDE ${ displaystyle l_ {1} z = 0}$, ${ displaystyle l_ {2} z = 0, ldots}$ для единственной функции ${ displaystyle z}$.

Генераторы идеала в высшей степени не уникальны; его члены могут быть преобразованы бесконечно многими способами, взяв их линейные комбинации или их производные без изменения идеала. Поэтому М. Джанет^[8] ввел нормальную форму для систем линейных п.д. (см. Основа Джанет ).^[9] Они являются дифференциальным аналогом Базы Грёбнера из коммутативная алгебра (которые были первоначально введены Бруно Бухбергер );^[10] поэтому их также иногда называют дифференциальный базис Грёбнера.

Чтобы создать основу Джанет, необходимо определить рейтинг производных финансовых инструментов. Это полный порядок, такой, что для любых производных ${ displaystyle delta}$, ${ displaystyle delta _ {1}}$ и ${ displaystyle delta _ {2}}$, и любой оператор деривации ${ displaystyle theta}$ отношения ${ displaystyle delta prevq theta delta}$, и ${ displaystyle delta _ {1} prevq delta _ {2} rightarrow delta delta _ {1} prevq delta delta _ {2}}$ действительны. Здесь упорядочены лексикографические термины ${ displaystyle grlex}$ применяются. Для частных производных одной функции их определение аналогично мономиальным порядкам в коммутативной алгебре. S-пары в коммутативной алгебре соответствуют условиям интегрируемости.

Если есть уверенность, что генераторы ${ displaystyle l_ {1}, ldots, l_ {p}}$ идеального ${ displaystyle I}$ образуют основу Жане обозначение ${ displaystyle I = {{ big langle} { big langle}} l_ {1}, ldots, l_ {p} {{ big rangle} { big rangle}}}$ применяется.

Пример 3Считайте идеальным

${ displaystyle I = { Big  langle} l_ {1}  Equiv  partial _ {xx} - { frac {1} {x}}  partial _ {x} - { frac {y} {x ( x + y)}}  partial _ {y},}$ 

${ Displaystyle l_ {2} Equiv partial _ {xy} + { frac {1} {x + y}} partial _ {y},}$ ${ displaystyle l_ {3} Equiv partial _ {yy} + { frac {1} {x + y}} partial _ {y} { Big rangle}}$

в ${ displaystyle grlex}$ срочный заказ с ${ displaystyle x succ y}$. Его генераторы автовосстановлены. Если условие интегрируемости

${ Displaystyle l_ {1, y} = l_ {2, x} -l_ {2, y} = { frac {y + 2x} {x (x + y)}}  partial _ {xy} + { гидроразрыв {y} {x (x + y)}}  partial _ {yy}}$

снижается относительно к ${ displaystyle I}$, новый генератор ${ displaystyle partial _ {y}}$ получается. Добавляя его к генераторам и выполняя все возможные редукции, данный идеал представляется в виде${ displaystyle I = {{ Big langle} { Big langle}} partial _ {xx} - { frac {1} {x}} partial _ {x}, partial _ {y} { { Big rangle} { Big rangle}}}$. Его генераторы авторедуцируются и выполняется единственное условие интегрируемости, т. Е. Они образуют базис Жане.

Учитывая любой идеал ${ displaystyle I}$ может случиться так, что он должным образом содержится в каком-то более широком идеале ${ displaystyle J}$ с коэффициентами в базовом поле ${ displaystyle I}$; тогда ${ displaystyle J}$ называется делитель из ${ displaystyle I}$. Вообще говоря, дивизор в кольце дифференциальных операторов в частных производных не обязательно должен быть главным.

В наибольший общий правый делитель (Gcrd) или же сумма двух идеалов ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$наименьший идеал, обладающий тем свойством, что оба ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$ содержатся в нем. Если у них есть представление${ Displaystyle I Equiv langle f_ {1}, ldots, f_ {p} rangle}$ и${ Displaystyle J Equiv langle g_ {1}, ldots, g_ {q} rangle,}$${ displaystyle f_ {i}}$, ${ displaystyle g_ {j} in { mathcal {D}}}$ для всех ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$, сумма порождается объединением образующих ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$. Пространство решений уравнений, соответствующих ${ displaystyle Gcrd (I, J)}$ является пересечением пространств решений его аргументов.

В наименьшее общее левое кратное (Lclm) или же левый перекресток двух идеалов ${ displaystyle I}$и ${ displaystyle J}$ является наибольшим идеалом со свойством, что он содержится как в ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$.Пространство решений ${ displaystyle Lclm (I, J) z = 0}$ - наименьшее пространство, содержащее пространства решений его аргументов.

Особый вид дивизора - это так называемый Делитель Лапласа данного оператора${ displaystyle L}$,^[2] стр. 34. Он определяется следующим образом.

ОпределениеПозволять ${ displaystyle L}$ - оператор в частных производных на плоскости; определять

${ Displaystyle { mathfrak {l}} _ {m}  Equiv  partial _ {x ^ {m}} + a_ {m-1}  partial _ {x ^ {m-1}} +  ldots + a_ {1}  partial _ {x} + a_ {0}}$ и

${ Displaystyle { mathfrak {k}} _ {n}  Equiv  partial _ {y ^ {n}} + b_ {n-1}  partial _ {y ^ {n-1}} +  ldots + b_ {1}  partial _ {y} + b_ {0}}$

- обыкновенные дифференциальные операторы относительно ${ displaystyle x}$ или же ${ displaystyle y}$; ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} in { mathbb {Q}} (x, y)}$ для всех i; ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ - натуральные числа не менее 2. Предположим, что коэффициенты ${ displaystyle a_ {i}}$, ${ Displaystyle я = 0, ldots, м-1}$ такие, что ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle { mathfrak {l}} _ {m}}$ образуют основу Джанет. Если ${ displaystyle m}$ наименьшее целое число с этим свойством, то ${ displaystyle { mathbb {L}} _ {x ^ {m}} (L) Equiv { langle langle} L, { mathfrak {l}} _ {m} { rangle rangle}}$ называется Делитель Лапласа из ${ displaystyle L}$. Аналогично, если ${ displaystyle b_ {j}}$, ${ Displaystyle J = 0, ldots, п-1}$ такие, что ${ displaystyle L}$ и ${ displaystyle { mathfrak {k}} _ {n}}$ образуют основу Джанет и ${ displaystyle n}$ минимально, то ${ displaystyle { mathbb {L}} _ {y ^ {n}} (L) Equiv { langle langle} L, { mathfrak {k}} _ {n} { rangle rangle}}$ также называется Делитель Лапласа из ${ displaystyle L}$.

Для существования дивизора Лапласа коэффициенты оператора ${ displaystyle L}$ должен подчиняться определенным ограничениям.^[3] Алгоритм определения верхней границы для дивизора Лапласа в настоящее время не известен, поэтому в общем случае существование дивизора Лапласа может быть неразрешимым.

Разложение линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка на плоскости

Применяя вышеуказанные концепции, теорию Леви можно обобщить на линейные pde. Здесь он применяется к отдельным линейным pde второго порядка на плоскости с координатами ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, и главные идеалы, порожденные соответствующими операторами.

Уравнения второго порядка широко рассматривались в литературе XIX века.^[11][12] Обычно уравнения со старшими производными ${ displaystyle partial _ {xx}}$ или же ${ displaystyle partial _ {xy}}$ выделяются. Их общие решения содержат не только константы, но и неопределенные функции переменного числа аргументов; их определение является частью процедуры решения. Для уравнений со старшей производной ${ displaystyle partial _ {xx}}$ Результаты Леви можно обобщить следующим образом.

Теорема 2.Пусть дифференциальный оператор ${ displaystyle L}$ определяться

 ${ Displaystyle L  Equiv  partial _ {xx} + A_ {1}  partial _ {xy} + A_ {2}  partial _ {yy} + A_ {3}  partial _ {x} + A_ {4}  partial _ {y} + A_ {5}}$ куда ${ Displaystyle A_ {я}  in { mathbb {Q}} (х, у)}$ для всех ${ displaystyle i}$.

Позволять ${ Displaystyle l_ {я} Equiv partial _ {x} + a_ {i} partial _ {y} + b_ {i}}$ за ${ displaystyle i = 1}$ и ${ displaystyle i = 2}$, и ${ Displaystyle L ( Phi) Equiv partial _ {x} + a partial _ {y} + b ( Phi)}$ быть операторами первого порядка с ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i}, a in { mathbb {Q}} (x, y)}$; ${ displaystyle Phi}$ является неопределенной функцией одного аргумента. ${ displaystyle L}$ имеет разложение Лоуи одного из следующих типов.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {1}: L = l_ {2} l_ {1};}$  ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}: L = Lclm (l_ {2}, l_ {1});}$  ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {3}: L = Lclm (l ( Phi)).}$

Тип декомпозиции оператора ${ displaystyle L}$ это разложение ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {хх} ^ {я}}$ с наибольшим значением ${ displaystyle i}$. Если ${ displaystyle L}$ не имеет множителей первого порядка в базовом поле, его тип декомпозиции определяется как ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {хх} ^ {0}}$. Разложения ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {хх} ^ {0}}$, ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {хх} ^ {2}}$ и ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {хх} ^ {3}}$ полностью приводимы.

Чтобы применить этот результат для решения любого заданного дифференциального уравнения, содержащего оператор ${ displaystyle L}$ возникает вопрос, можно ли алгоритмически определить его факторы первого порядка. Последующее следствие дает ответ для факторов с коэффициентами либо в базовом поле, либо в расширении универсального поля.

Следствие 3.В общем, правые множители первого порядка линейного pde в базовом поле не могут быть определены алгоритмически. Если символьный полином является отделимым, может быть определен любой коэффициент. Если он имеет двойной корень, в общем случае невозможно определить правильные коэффициенты в базовом поле. Всегда можно определить существование факторов в универсальном поле, то есть абсолютную несводимость.

Приведенная выше теорема может быть применена для решения приводимых уравнений в замкнутой форме. Поскольку используются только главные делители, ответ аналогичен ответу для обычных уравнений второго порядка.

Предложение 1Пусть приводимое уравнение второго порядка

${ displaystyle Lz  Equiv z_ {xx} + A_ {1} z_ {xy} + A_ {2} z_ {yy} + A_ {3} z_ {x} + A_ {4} z_ {y} + A_ {5 } z = 0}$ куда ${ Displaystyle A_ {1},  ldots, A_ {5}  in { mathbb {Q}} (x, y)}$.

Определять ${ Displaystyle l_ {я} Equiv partial _ {x} + a_ {i} partial _ {y} + b_ {i}}$, ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} in { mathbb {Q}} (x, y)}$ за ${ displaystyle i = 1,2}$; ${ Displaystyle varphi _ {я} (х, у) = константа}$ является рациональным первым интегралом ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = a_ {i} (x, y)}$; ${ Displaystyle { бар {у}} эквив varphi _ {я} (х, у)}$ и обратное ${ displaystyle y = psi _ {i} (x, { bar {y}})}$; обе ${ displaystyle varphi _ {я}}$ и ${ displaystyle psi _ {я}}$ предполагается, что существуют. Кроме того, определим

${ Displaystyle { mathcal {E}} _ {я} (х, у) эквив ехр { Big (} - { displaystyle int} b_ {i} (x, y) { big |} _ {y = psi _ {i} (x, { bar {y}})} dx { Big)} { Big |} _ {{ bar {y}} = varphi _ {i} (x , y)}}$ за ${ displaystyle i = 1,2}$.

Дифференциальная фундаментальная система имеет следующую структуру для различных разложений на компоненты первого порядка.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {1}: z_ {1} (x, y) = { mathcal {E}} _ {1} (x, y) F_ {1} ( varphi _ {1})}$,${ displaystyle z_ {2} (x, y) = { mathcal {E}} _ {1} (x, y) { displaystyle int} { frac {{ mathcal {E}} _ {2} (x, y)} {{ mathcal {E}} _ {1} (x, y)}} F_ {2} { big (} varphi _ {2} (x, y) { big)} { big |} _ {y = psi _ {1} (x, { bar {y}})} dx { Big |} _ {{ bar {y}} = varphi _ {1} ( x, y)};}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {2}: z_ {i} (x, y) = { mathcal {E}} _ {i} (x, y) F_ {i} { big (} varphi _ {i} (x, y) { big)}, i = 1,2;}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xx} ^ {3}: z_ {i} (x, y) = { mathcal {E}} _ {i} (x, y) F_ {i} { big (} varphi (x, y) { big)}, i = 1,2.}$

В ${ displaystyle F_ {i}}$ являются неопределенными функциями одного аргумента; ${ displaystyle varphi}$,${ displaystyle varphi _ {1}}$ и ${ displaystyle varphi _ {2}}$ рациональны во всех аргументах; ${ displaystyle psi _ {1}}$ предполагается, что существует. В целом ${ displaystyle varphi _ {1} neq varphi _ {2}}$, они определяются коэффициентами ${ displaystyle A_ {1}}$, ${ displaystyle A_ {2}}$ и ${ displaystyle A_ {3}}$ данного уравнения.

Типичным примером линейного pde, где применяется факторизация, является уравнение, которое обсуждалось Форсайтом:^[13]т. VI, стр. 16,

Пример 5 (Forsyth 1906)} Рассмотрим дифференциальное уравнение${ displaystyle z_ {xx} -z_ {yy} + { frac {4} {x + y}} z_ {x} = 0}$. После факторизации представление

${ Displaystyle Lz Equiv l_ {2} l_ {1} z = { Big (} partial _ {x} + partial _ {y} + { frac {2} {x + y}} { Big )} { Big (} partial _ {x} - partial _ {y} + { frac {2} {x + y}} { Big)} z = 0}$получается. Далее следует

${ displaystyle varphi _ {1} (x, y) = x + y, psi _ {1} (x, y) = { bar {y}} - x, { mathcal {E}} _ { 1} (x, y) = exp {{ Big (} { frac {2y} {x + y}} { Big)}}}$,

${ displaystyle varphi _ {2} (x, y) = xy, psi _ {2} (x, y) = x - { bar {y}}, { mathcal {E}} _ {2} (x, y) = - { frac {1} {x + y}}.}.$

Следовательно, дифференциальная фундаментальная система есть

${ displaystyle z_ {1} (x, y) = exp {{ Big (} { frac {2y} {x + y}} { Big)}} F (x + y),}$${ displaystyle z_ {2} (x, y) = { frac {1} {x + y}} exp {{ Big (} { frac {2y} {x + y}} { Big)} } { displaystyle int} exp {{ Big (} { frac {2x - { bar {y}}} { bar {y}}} { Big)}} G (2x - { bar {y}}) dx { Big |} _ {{ bar {y}} = x + y}.}$

${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ являются неопределенными функциями.

Если единственная производная второго порядка оператора равна ${ displaystyle partial _ {xy}}$, его возможные разложения, включающие только главные делители, можно описать следующим образом.

Теорема 3.Пусть дифференциальный оператор ${ displaystyle L}$ определяться

${ Displaystyle L Equiv partial _ {xy} + A_ {1} partial _ {x} + A_ {2} partial _ {y} + A_ {3}}$ куда ${ Displaystyle A_ {я} in { mathbb {Q}} (х, у)}$ для всех ${ displaystyle i}$.

Позволять ${ Displaystyle L Equiv partial _ {x} + A_ {2}}$ и ${ Displaystyle к эквив частичный _ {у} + A_ {1}}$ являются операторами первого порядка. ${ displaystyle L}$ имеет разложения Лоуи с главными делителями первого порядка следующего вида.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {1}: L = kl;}$   ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {2}: L = lk;}$  ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {3}: L = Lclm (k, l).}$

Тип декомпозиции оператора ${ displaystyle L}$ это разложение ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {ху} ^ {я}}$ с наибольшим значением${ displaystyle i}$. Разложение типа ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {ху} ^ {3}}$ полностью сводится

Кроме того, есть еще пять возможных типов декомпозиции с участием не главных делителей Лапласа, как показано ниже.

Теорема 4.Пусть дифференциальный оператор ${ displaystyle L}$ определяться

${ Displaystyle L Equiv partial _ {xy} + A_ {1} partial _ {x} + A_ {2} partial _ {y} + A_ {3}}$ куда ${ Displaystyle A_ {я} in { mathbb {Q}} (х, у)}$ для всех ${ displaystyle i}$.

${ Displaystyle mathbb {L} _ {х ^ {m}} (L)}$ и ${ Displaystyle mathbb {L} _ {у ^ {п}} (L)}$ а также ${ displaystyle { mathfrak {l}} _ {m}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {k}} _ {n}}$ определены выше; более того ${ Displaystyle л экв частичный _ {х} + а}$, ${ Displaystyle к эквив частичный _ {у} + Ь}$,${ displaystyle a, b in { mathbb {Q}} (x, y)}$. ${ displaystyle L}$ имеет разложения Лоуи с делителями Лапласа одного из следующих типов; ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ подчиниться ${ Displaystyle м, п geq 2}$.

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {4}: L = Lclm { big (} mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L), mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) { big)};}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {5}: L = Exquo { big (} L, mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) { big)} mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) = left ({ begin {array} {cc} 1 & 0 0 & partial _ {y} + A_ {1} end {array}} right) left ({ begin {array} {c} L { mathfrak {l}} _ {m} end {array}} right);}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {6}: L = Exquo { big (} L, mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) { big)} mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) = left ({ begin {array} {cc} 1 & 0 0 & partial _ {x} + A_ {2} end {array}} right) left ({ begin {array} {c} L { mathfrak {k}} _ {n} end {array}} right);}$

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {7}: L = Lclm { big (} k, mathbb {L} _ {x ^ {m}} (L) { big)} ;}$${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {8}: L = Lclm { big (} l, mathbb {L} _ {y ^ {n}} (L) { big)} .}$

Если ${ displaystyle L}$ не имеет правого множителя первого порядка, и можно показать, что делителя Лапласа не существует, его тип разложения определяется как ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {0}}$. Разложения ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {0}}$, ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {ху} ^ {4}}$, ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {ху} ^ {7}}$ и ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {xy} ^ {8}}$ полностью приводимы.

Уравнение, которое не допускает разложения с участием главных делителей, но полностью приводимо относительно неглавные делители Лапласа типа ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {ху} ^ {4}}$ был рассмотрен Форсайтом.

Пример 6 (Форсайт 1906) Определить

${ Displaystyle L Equiv partial _ {xy} + { frac {2} {xy}} partial _ {x} - { frac {2} {xy}} partial _ {y} - { frac {4} {(xy) ^ {2}}}}$

порождающий главный идеал ${ displaystyle langle L rangle}$. Фактора первого порядка не существует. Однако есть делители Лапласа

${ displaystyle { mathbb {L}} _ {x ^ {2}} (L)  Equiv {{ Big  langle} { Big  langle}}  partial _ {xx} - { frac {2} {xy}}  partial _ {x} + { frac {2} {(xy) ^ {2}}}, L {{ Big  rangle} { Big  rangle}}}$ и ${ displaystyle { mathbb {L}} _ {y ^ {2}} (L)  Equiv {{ Big  langle} { Big  langle}} L,  partial _ {yy} + { frac { 2} {xy}}  partial _ {y} + { frac {2} {(xy) ^ {2}}} {{ Big  rangle} { Big  rangle}}.}$

Идеал, порожденный ${ displaystyle L}$ имеет представление${ displaystyle langle L rangle = Lclm { big (} { mathbb {L}} _ {x ^ {2}} (L), { mathbb {L}} _ {y ^ {2}} ( L) { big)}}$, т.е. полностью приводимо; его тип разложения ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ {ху} ^ {4}}$. Следовательно, уравнение ${ displaystyle Lz = 0}$ имеет дифференциальную фундаментальную систему

${ Displaystyle Z_ {1} (х, у) = 2 (х-у) F (у) + (х-у) ^ {2} F '(у)}$ и ${ Displaystyle Z_ {2} (х, у) = 2 (у-х) G (х) + (у-х) ^ {2} G '(х)}$.

Разложение линейных pde порядка выше 2

Оказывается, операторы более высокого порядка имеют более сложные разложения и есть больше альтернатив, многие из которых в терминах неглавных делителей. Решения соответствующих уравнений усложняются. Для уравнений третьего порядка на плоскости достаточно полный ответ можно найти в.^[2] Типичный пример уравнения третьего порядка, который также представляет исторический интерес, принадлежит Блюмбергу.^[14]

Пример 7 (Blumberg 1912) В своей диссертации Блюмберг рассматривал оператор третьего порядка

${ Displaystyle L Equiv partial _ {xxx} + x partial _ {xxy} +2 partial _ {xx} +2 (x + 1) partial _ {xy} + partial _ {x} + ( x + 2) partial _ {y}}$.

Это позволяет двум факторам первого порядка ${ Displaystyle L_ {1} Equiv partial _ {x} +1}$ и ${ Displaystyle l_ {2} Equiv partial _ {x} + x partial _ {y}}$. Их пересечение не принципиально; определение

${ Displaystyle L_ {1} Equiv partial _ {xxx} -x ^ {2} partial _ {xyy} +3 partial _ {xx} + (2x + 3) partial _ {xy} -x ^ {2} partial _ {yy} +2 partial _ {x} + (2x + 3) partial _ {y}}$

${ Displaystyle L_ {2} Equiv partial _ {xxy} + x partial _ {xyy} - { frac {1} {x}} partial _ {xx} - { frac {1} {x} } partial _ {xy} + x partial _ {y} y - { frac {1} {x}} partial _ {x} - { big (} 1 + { frac {1} {x} } { big)} partial _ {y} {{ big rangle} { big rangle}}.}$

это может быть записано как ${ Displaystyle Lclm (l_ {2}, l_ {1}) = { langle langle} L_ {1}, L_ {2} { rangle rangle}}$Следовательно, разложение Леви оператора Блумбергса имеет вид

${ displaystyle L = left ({ begin {array} {cc} 1 & x 0 & partial _ {x} +1 + { frac {1} {x}} end {array}} right) left ({ begin {array} {c} L_ {1} L_ {2} end {array}} right).}$

Это дает следующую дифференциальную фундаментальную систему для дифференциального уравнения ${ displaystyle Lz = 0}$.

${ displaystyle z_ {1} (x, y) = F (y - { frac {1} {2}} x ^ {2})}$,  ${ Displaystyle Z_ {2} (х, у) = G (у) е ^ {- х}}$,  ${ displaystyle z_ {3} (x, y) = { displaystyle int} xe ^ {- x} H { big (} { bar {y}} + { frac {1} {2}} x ^ {2} { big)} dx { Big |} _ {{ bar {y}} = y - { frac {1} {2}} x ^ {2}}}$

${ displaystyle F, G}$ и ${ displaystyle H}$ являются неопределенными функциями.

Факторизации и разложения Лоуи оказались чрезвычайно полезным методом для определения решений линейных дифференциальных уравнений в замкнутой форме как для обыкновенных, так и для частных уравнений. Должна появиться возможность обобщить эти методы на уравнения более высокого порядка, уравнения с большим количеством переменных и системы дифференциальных уравнений.

Рекомендации