Гипотеза лог-ранга - Log-rank conjecture

Нерешенная проблема в информатике: Докажите или опровергните гипотезу логарифмического ранга. (больше нерешенных проблем в информатике)

В теоретическая информатика, то гипотеза лог-ранга утверждает, что детерминированный сложность коммуникации двухстороннего Логическая функция полиномиально связана с логарифмом классифицировать его входной матрицы.^[1][2]

Позволять ${ displaystyle D (f)}$ обозначить детерминированная коммуникационная сложность функции, и пусть ${ displaystyle operatorname {rank} (f)}$ обозначить классифицировать своей входной матрицы ${ displaystyle M_ {f}}$ (над реалами). Поскольку каждый протокол использует до ${ displaystyle c}$ биты перегородки ${ displaystyle M_ {f}}$ в самое большее ${ displaystyle 2 ^ {c}}$ одноцветные прямоугольники, каждый из которых имеет ранг не выше 1,

${ displaystyle D (f) geq log _ {2} operatorname {rank} (f).}$

Гипотеза лог-ранга утверждает, что ${ displaystyle D (f)}$ это также ограниченный сверху полиномом логранга: для некоторой константы ${ displaystyle C}$,

${ displaystyle D (f) = O (( log operatorname {rank} (f)) ^ {C}).}$

Самая известная верхняя граница, полученная Ловеттом,^[3]утверждает, что

${ displaystyle D (f) = O left ({ sqrt { operatorname {rank} (f)}} log operatorname {rank} (f) right).}$

Самая известная нижняя граница, созданная Гёшем, Питасси и Ватсоном,^[4] утверждает, что ${ displaystyle C geq 2}$. Другими словами, существует последовательность функций ${ displaystyle f_ {n}}$, лог-ранг которого стремится к бесконечности, так что

${ displaystyle D (f_ {n}) = { tilde { Omega}} (( log operatorname {rank} (f_ {n})) ^ {2}).}$

Недавно была опровергнута приблизительная версия гипотезы.^[5]

Рекомендации