Самая длинная чередующаяся подпоследовательность - Longest alternating subsequence

В комбинаторный математика, вероятность, и Информатика, в самая длинная чередующаяся подпоследовательность задача, кто-то хочет найти подпоследовательность заданного последовательность в котором элементы расположены в чередующемся порядке и в котором последовательность является максимально длинной.

Формально, если ${ Displaystyle mathbf {x} = {x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n} }}$ последовательность различных действительных чисел, то подпоследовательность ${ Displaystyle {x_ {i_ {1}}, x_ {i_ {2}}, ldots, x_ {i_ {k}} }}$ является чередование^[1] (или же зигзаг или же вниз до)если

${ displaystyle x_ {i_ {1}}> x_ {i_ {2}} cdots x_ {i_ {k}} qquad { text {and}} qquad 1 leq i_ {1}$

По аналогии, ${ displaystyle mathbf {x}}$ является обратное чередование (или же вверх вниз) если

${ displaystyle x_ {i_ {1}} x_ {i_ {3}} < cdots x_ {i_ {k}} qquad { text {and}} qquad 1 leq i_ {1}$

Позволять ${ displaystyle { rm {as}} _ {n} ( mathbf {x})}$ обозначают длину (количество членов) самой длинной чередующейся подпоследовательности ${ displaystyle mathbf {x}}$. Например, если мы рассмотрим некоторые из перестановок целых чисел 1,2,3,4,5, мы получим, что

• ${ displaystyle { rm {as}} _ {5} (1,2,3,4,5) = 2}$; потому что любая последовательность из 2 различных цифр (по определению) чередуется. (например 1,2 или 1,4 или 3,5)
• ${ displaystyle { rm {as}} _ {5} (1,5,3,2,4) = 4,}$ потому что 1,5,3,4 и 1,5,2,4 и 1,3,2,4 все чередуются, и нет чередующейся подпоследовательности с большим количеством элементов;
• ${ displaystyle { rm {as}} _ {5} (5,3,4,1,2) = 5,}$ потому что 5,3,4,1,2 сам по себе чередуется.

Эффективные алгоритмы

Задача самой длинной чередующейся подпоследовательности разрешима во времени ${ Displaystyle О (п)}$, куда ${ displaystyle n}$ - длина исходной последовательности.^{[нужна цитата ]}

Результаты распространения

Если ${ displaystyle mathbf {x}}$ случайная перестановка целых чисел ${ displaystyle 1,2, ldots, n}$ и ${ Displaystyle A_ {п} эквив { rm {as}} _ {п} ( mathbf {x})}$, то можно показать^[2][3][4]который

${ displaystyle E [A_ {n}] = { frac {2n} {3}} + { frac {1} {6}} qquad { text {and}} qquad operatorname {Var} [A_ {n}] = { frac {8n} {45}} - { frac {13} {180}}.}$

Более того, поскольку ${ Displaystyle п rightarrow infty}$, случайная величина ${ displaystyle A_ {n}}$, должным образом центрированный и масштабированный, сходится к стандартному нормальному распределению.

Онлайн-алгоритмы

Самая длинная проблема чередующейся подпоследовательности также изучалась в постановке онлайн-алгоритмы, в котором элементы ${ displaystyle mathbf {x}}$ представлены в интерактивном режиме, и лицо, принимающее решение, должно решить, следует ли включать или исключать каждый элемент во время его первого представления, без каких-либо знаний об элементах, которые будут представлены в будущем, и без возможности отзыва предыдущие наблюдения.

Учитывая последовательность ${ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n}}$ независимых случайных величин с общим непрерывным распределением ${ displaystyle F}$, можно построить процедуру выбора, которая максимизирует ожидаемое количество чередующихся выборов. Такие ожидаемые значения можно точно оценить, и они равны ${ Displaystyle (2 - { sqrt {2}}) п + О (1)}$.^[5]

В качестве ${ Displaystyle п rightarrow infty}$оптимальное количество чередующихся выборок в режиме онлайн, правильно центрированных и масштабированных, сходится к нормальному распределению.^[6]

Смотрите также

• Альтернативная перестановка
• Шаблон перестановки и избегание шаблонов
• Подсчет локальных максимумов и / или локальных минимумов в заданной последовательности
• Критерии поворота для проверки статистической независимости ${ displaystyle n}$ наблюдения
• Количество чередующихся прогонов
• Самая длинная возрастающая подпоследовательность
• Самая длинная общая проблема подпоследовательности

Рекомендации