Неравенство Лумиса – Уитни - Loomis–Whitney inequality

В математика, то Неравенство Лумиса – Уитни это результат геометрия, что в простейшем виде позволяет оценить «размер» ${displaystyle d}$-размерный устанавливается по размерам ${displaystyle (d-1)}$-мерные проекции. Неравенство имеет приложения в геометрия падения, изучение так называемых «решетчатых животных» и другие направления.

Результат назван в честь Американец математики Линн Гарольд Лумис и Хасслер Уитни, и был опубликован в 1949 году.

Формулировка неравенства

Исправить размер ${displaystyle dgeq 2}$ и рассмотрим прогнозы

${displaystyle pi _ {j}: mathbb {R} ^ {d} o mathbb {R} ^ {d-1},}$

${displaystyle pi _ {j}: x = (x_ {1}, dots, x_ {d}) mapsto {hat {x}} _ {j} = (x_ {1}, dots, x_ {j-1}, x_ {j + 1}, точки, x_ {d}).}$

Для каждого 1 ≤ j ≤ d, позволять

${displaystyle g_ {j}: mathbb {R} ^ {d-1} o [0, + infty),}$

${displaystyle g_ {j} in L ^ {d-1} (mathbb {R} ^ {d-1}).}$

Тогда Неравенство Лумиса – Уитни держит:

${displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {d}} prod _ {j = 1} ^ {d} g_ {j} (pi _ {j} (x)), mathrm {d} xleq prod _ {j = 1} ^ {d} | g_ {j} | _ {L ^ {d-1} (mathbb {R} ^ {d-1})}.}$

Эквивалентно, принимая

${displaystyle f_ {j} (x) = g_ {j} (x) ^ {d-1},}$

${displaystyle int _ {mathbb {R} ^ {d}} prod _ {j = 1} ^ {d} f_ {j} (pi _ {j} (x)) ^ {1 / (d-1)}, mathrm {d} xleq prod _ {j = 1} ^ {d} left (int _ {mathbb {R} ^ {d-1}} f_ {j} ({hat {x}} _ {j}), mathrm {d} {hat {x}} _ {j} ight) ^ {1 / (d-1)}.}$

Особый случай

Неравенство Лумиса – Уитни можно использовать, чтобы связать Мера Лебега подмножества Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ его «средней ширине» в координатных направлениях. Позволять E быть некоторыми измеримое подмножество из ${displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ и разреши

${displaystyle f_ {j} = mathbf {1} _ {pi _ {j} (E)}}$

быть индикаторная функция проекции E на j-я координатная гиперплоскость. Отсюда следует, что для любой точки Икс в E,

${displaystyle prod _ {j = 1} ^ {d} f_ {j} (pi _ {j} (x)) ^ {1 / (d-1)} = 1.}$

Следовательно, по неравенству Лумиса – Уитни

${displaystyle | E | leq prod _ {j = 1} ^ {d} | pi _ {j} (E) | ^ {1 / (d-1)},}$

и поэтому

${displaystyle | E | geq prod _ {j = 1} ^ {d} {frac {| E |} {| pi _ {j} (E) |}}.}$

Количество

${displaystyle {frac {| E |} {| pi _ {j} (E) |}}}$

можно рассматривать как среднюю ширину ${displaystyle E}$ в ${displaystyle j}$-ое координатное направление. Эта интерпретация неравенства Лумиса – Уитни также верна, если мы рассматриваем конечное подмножество евклидова пространства и заменяем меру Лебега на счетная мера.

Обобщения

Неравенство Лумиса – Уитни является частным случаем Неравенство Браскампа – Либа, в котором проекции π_j выше заменены более общими линейные карты, не обязательно все отображения на пространства одной размерности.

Рекомендации

• Лумис, Линн Х.; Уитни, Хасслер (1949). «Неравенство, связанное с изопериметрическим неравенством». Бюллетень Американского математического общества. 55 (10): 961–962. Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09320-5. МИСТЕР0031538