Конфигурация Мебиуса – Кантора - Möbius–Kantor configuration

Конфигурация Мебиуса – Кантора.

В геометрия, то Конфигурация Мебиуса – Кантора это конфигурация состоящий из восьми точек и восьми линий, по три точки на каждой линии и по три линии через каждую точку. Невозможно рисовать точки и линии с таким рисунком случаи в Евклидова плоскость, но это возможно в комплексная проективная плоскость.

Координаты

Август Фердинанд Мёбиус  (1828 ) спросил, существует ли пара полигоны с п стороны каждой, обладающие тем свойством, что вершины одного многоугольника лежат на линиях, проходящих через края другого многоугольника, и наоборот. Если это так, то вершины и ребра этих многоугольников образуют проективная конфигурация. За нет решения в Евклидова плоскость, но Селигманн Кантор  (1882 ) нашел пары многоугольников этого типа для обобщения задачи, в которой точки и ребра принадлежат комплексная проективная плоскость. То есть в решении Кантора координаты вершин многоугольника равны сложные числа. Кантора для , пара взаимно вписанных четырехугольников в комплексную проективную плоскость, называется конфигурацией Мёбиуса – Кантора.

Семь линий конфигурации можно сделать прямыми, но не все восемь.

Гарольд Скотт Макдональд Кокстер  (1950 ) предоставляет следующие простые комплексные проективные координаты для восьми точек конфигурации Мёбиуса – Кантора:

(1,0,0), (0,0,1), (ω, −1, 1), (−1, 0, 1),
(−1, ω2, 1), (1, ω, 0), (0,1,0), (0, −1,1),

где ω обозначает комплекс кубический корень из 1.

Это вершины сложный многоугольник 3 {3} 3 с 8 вершинами и 8 3-гранями.[1] Коксетер назвал это Многоугольник Мебиуса – Кантора.

Абстрактный образец заболеваемости

В График Мёбиуса – Кантора, то Граф Леви конфигурации Мёбиуса – Кантора. Вершины одного цвета представляют собой точки конфигурации, а вершины другого цвета - линии.

Более абстрактно конфигурация Мебиуса – Кантора может быть описана как система из восьми точек и восьми троек, каждая из которых принадлежит ровно трем из троек. С дополнительными условиями (естественными для точек и прямых), что никакая пара точек не принадлежит более чем одной тройке и что никакие две тройки не имеют более одной точки на пересечении, любые две системы этого типа эквивалентны при некотором перестановка точек. То есть конфигурация Мёбиуса – Кантора является единственной проективная конфигурация типа (8383).

В График Мёбиуса – Кантора получил свое название от Граф Леви конфигурации Мёбиуса – Кантора. Он имеет одну вершину на точку и одну вершину на тройку, причем ребро соединяет две вершины, если они соответствуют точке и тройке, содержащей эту точку.

Точки и линии конфигурации Мёбиуса – Кантора можно описать как матроид, элементы которого являются точками конфигурации, а нетривиальные плоскости - линиями конфигурации. В этом матроиде набор S точек не зависит тогда и только тогда, когда либо или же S состоит из трех неколлинеарных точек. Как матроид, он получил название Матроид MacLane, после работы Сондерс Маклейн  (1936 ) доказывая, что это не может быть ориентированный; это один из нескольких известных минор-минимальный неориентируемые матроиды.[2]

Связанные конфигурации

Решение проблемы Мёбиуса о взаимно вписанных многоугольниках для значений п больше четырех также представляет интерес. В частности, одно возможное решение для это Конфигурация дезарга, набор из десяти точек и десяти линий, по три точки на линию и три линии на точку, который допускает евклидову реализацию. В Конфигурация Мебиуса представляет собой трехмерный аналог конфигурации Мёбиуса – Кантора, состоящий из двух взаимно вписанных тетраэдров.

Конфигурация Мебиуса – Кантора может быть дополнена добавлением четырех линий через четыре пары точек, которые еще не соединены линиями, и добавлением девятой точки на четырех новых линиях. Полученная конфигурация, Конфигурация Гессен, разделяет с конфигурацией Мебиуса – Кантора свойство реализуемости с комплексными координатами, но не с реальными координатами.[3] Удаление любой одной точки из конфигурации Гессе создает копию конфигурации Мёбиуса-Кантора. Обе конфигурации также могут быть описаны алгебраически в терминах абелева группа с девятью элементами, в этой группе четыре подгруппы третьего порядка (подмножества элементов вида , , , и соответственно), каждый из которых может быть использован для разделения девяти элементов группы на три смежные классы из трех элементов на смежный класс. Эти девять элементов и двенадцать смежных классов образуют конфигурацию Гессе. Удаление нулевого элемента и четырех смежных классов, содержащих ноль, приводит к конфигурации Мёбиуса – Кантора.

Примечания

  1. ^ Х. С. М. Коксетер и Г. К. Шепард, Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо, т. 25, No. 3/4, Visual Mathematics: Special Double Issue (1992), pp. 239-244.[1]
  2. ^ Зиглер (1991).
  3. ^ Долгачев (2004).

Рекомендации

  • Кокстер, Х. С. М. (1950), «Самодуальные конфигурации и регулярные графы», Бюллетень Американского математического общества, 56 (5): 413–455, Дои:10.1090 / S0002-9904-1950-09407-5, МИСТЕР  0038078.
  • Долгачев, Игорь В. (2004), "Абстрактные конфигурации в алгебраической геометрии", Конференция Фано, Турин: Университет Турина, стр. 423–462, arXiv:math.AG/0304258, МИСТЕР  2112585.
  • Кантор, Селигманн (1882), "Über die Configurationen (3, 3) mit den Indices 8, 9 und ihren Zusammenhang mit den Curven dritter Ordnung", Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Вена, 84 (1): 915–932.
  • Маклейн, Сондерс (1936), "Некоторые интерпретации абстрактной линейной зависимости в терминах проективной геометрии", Американский журнал математики, 58 (1): 236–240, Дои:10.2307/2371070, МИСТЕР  1507146.
  • Мебиус, Август Фердинанд (1828), "Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede в Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen?" (PDF), Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 3: 273–278. В Gesammelte Werke (1886), т. 1. С. 439–446.
  • Циглер, Гюнтер М. (1991), «Некоторые минимальные неориентируемые матроиды третьего ранга», Geometriae Dedicata, 38 (3): 365–371, Дои:10.1007 / BF00181199, МИСТЕР  1112674.

внешняя ссылка