Матричное вариационное распределение Дирихле - Matrix variate Dirichlet distribution

В статистика, то матрица вариативное распределение Дирихле является обобщением матричное вариативное бета-распределение.

Предполагать ${ Displaystyle U_ {1}, ldots, U_ {r}}$ находятся ${ displaystyle p times p}$ положительно определенные матрицы с ${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {r} U_ {i}$ , куда ${ displaystyle I_ {p}}$ это ${ displaystyle p times p}$ единичная матрица. Затем мы говорим, что ${ displaystyle U_ {i}}$ имеют матричное вариативное распределение Дирихле, ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r}; a_ {r + 1} верно)}$ , если их совместное функция плотности вероятности является

{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r}, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} det left (I_ {p} - sum _ { i = 1} ^ {r} U_ {i} right) ^ {a_ {r + 1} - (p + 1) / 2}}

куда ${ Displaystyle а_ {я}> (п-1) / 2, я = 1, ldots, г + 1}$ и ${ Displaystyle бета _ {p} влево ( cdots right)}$ это многомерная бета-функция.

Если мы напишем ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}}$ тогда PDF принимает более простую форму

{ displaystyle left { beta _ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right) right } ^ {- 1} prod _ {i = 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2},}

при том понимании, что ${ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {r} U_ {i} = I_ {p}}$ .

Теоремы

обобщение результата хи-квадрат-Дирихле

Предполагать ${ displaystyle S_ {i} sim W_ {p} left (n_ {i}, Sigma right), i = 1, ldots, r + 1}$ независимо распределены Wishart ${ displaystyle p times p}$ положительно определенные матрицы. Затем, определяя ${ displaystyle U_ {i} = S ^ {- 1/2} S_ {i} left (S ^ {- 1/2} right) ^ {T}}$ (куда ${ Displaystyle S = сумма _ {я = 1} ^ {г + 1} S_ {я}}$ - сумма матриц и ${ Displaystyle S ^ {1/2} влево (S ^ {- 1/2} вправо) ^ {T}}$ разумная факторизация ${ displaystyle S}$ ), у нас есть

{ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (n_ {1} / 2, ..., n_ {r + 1} / 2 верно).}

Маржинальное распределение

Если ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right)}$ , и если ${ displaystyle s leq r}$ , тогда:

{ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {s} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {s}, sum _ {i = s +1} ^ {r + 1} a_ {i} right)}

Условное распространение

Кроме того, с теми же обозначениями, что и выше, плотность ${ displaystyle left (U_ {s + 1}, ldots, U_ {r} right) left | left (U_ {1}, ldots, U_ {s} right) right.}$ дан кем-то

{ displaystyle { frac { prod _ {i = s + 1} ^ {r + 1} det left (U_ {i} right) ^ {a_ {i} - (p + 1) / 2} } { beta _ {p} left (a_ {s + 1}, ldots, a_ {r + 1} right) det left (I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ { s} U_ {i} right) ^ { sum _ {i = s + 1} ^ {r + 1} a_ {i} - (p + 1) / 2}}}}

где мы пишем ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {i}}$ .

разделенное распределение

Предполагать ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right)}$ и предположим, что ${ Displaystyle S_ {1}, ldots, S_ {t}}$ это раздел ${ Displaystyle влево [г + 1 вправо] = влево {1, ldots г + 1 вправо }}$ (то есть, ${ Displaystyle чашка _ {я = 1} ^ {t} S_ {я} = влево [г + 1 вправо]}$ и ${ Displaystyle S_ {i} cap S_ {j} = emptyset}$ если ${ displaystyle i neq j}$ ). Затем, написав ${ Displaystyle U _ {(j)} = sum _ {я in S_ {j}} U_ {i}}$ и ${ displaystyle a _ {(j)} = sum _ {i in S_ {j}} a_ {i}}$ (с ${ displaystyle U_ {r + 1} = I_ {p} - sum _ {i = 1} ^ {r} U_ {r}}$ ), у нас есть:

{ displaystyle left (U _ {(1)}, ldots U _ {(t)} right) sim D_ {p} left (a _ {(1)}, ldots, a _ {(t)} верно).}

перегородки

Предполагать ${ displaystyle left (U_ {1}, ldots, U_ {r} right) sim D_ {p} left (a_ {1}, ldots, a_ {r + 1} right)}$ . Определять

{ displaystyle U_ {i} = left ({ begin {array} {rr} U_ {11 (i)} & U_ {12 (i)} U_ {21 (i)} & U_ {22 (i)}) end {array}} right) qquad i = 1, ldots, r}

куда ${ displaystyle U_ {11 (i)}}$ является ${ displaystyle p_ {1} times p_ {1}}$ и ${ displaystyle U_ {22 (i)}}$ является ${ displaystyle p_ {2} times p_ {2}}$ . Написание Дополнение Шура ${ Displaystyle U_ {22 cdot 1 (i)} = U_ {21 (i)} U_ {11 (i)} ^ {- 1} U_ {12 (i)}}$ у нас есть