Теорема максимума - Maximum theorem

В максимальная теорема обеспечивает условия для непрерывность из оптимизированный функция и набор ее максимизаторов по параметрам. Утверждение было впервые доказано Клод Берже в 1959 г.^[1] Теорема в основном используется в математическая экономика и оптимальный контроль.

Формулировка теоремы

Теорема о максимуме.^[2]^[3]^[4]^[5] Позволять ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Theta}$ быть топологическими пространствами, ${ displaystyle f: X times Theta to mathbb {R}}$ - непрерывная функция на товар ${ Displaystyle X times Theta}$ , и ${ displaystyle C: Theta rightrightarrows X}$ быть компактнозначным переписка такой, что ${ Displaystyle С ( тета) neq emptyset}$ для всех ${ displaystyle theta in Theta}$ . Определить маргинальная функция (или же функция значения) ${ displaystyle f ^ {*}: Theta to mathbb {R}}$ к

{ Displaystyle е ^ {*} ( theta) = sup {f (x, theta): x in C ( theta) }}

и набор максимайзеров ${ displaystyle C ^ {*}: Theta rightrightarrows X}$ к

{ Displaystyle C ^ {*} ( theta) = mathrm {arg} sup {f (x, theta): x in C ( theta) } = {x in C ( theta ): f (x, theta) = f ^ {*} ( theta) }}

.

Если ${ displaystyle C}$ непрерывно (т.е. как верхний, так и нижний полунепрерывный ) в ${ displaystyle theta}$ , тогда ${ displaystyle f ^ {*}}$ непрерывно и ${ displaystyle C ^ {*}}$ полунепрерывна сверху с непустыми и компактными значениями. Как следствие, ${ displaystyle sup}$ может быть заменен на ${ displaystyle max}$ и ${ displaystyle mathrm {arg} , sup}$ к ${ textstyle mathrm {arg} , max}$ .

Интерпретация

Теорема обычно интерпретируется как обеспечение условий, при которых задача параметрической оптимизации имеет непрерывные решения в отношении параметра. В этом случае, ${ displaystyle Theta}$ - пространство параметров, ${ Displaystyle е (х, тета)}$ - функция, которую нужно максимизировать, и ${ Displaystyle С ( тета)}$ дает набор ограничений, который ${ displaystyle f}$ разворачивается. Потом, ${ Displaystyle е ^ {*} ( тета)}$ - максимальное значение функции и ${ displaystyle C ^ {*}}$ это набор точек, которые максимизируют ${ displaystyle f}$ .

В результате, если элементы задачи оптимизации достаточно непрерывны, то некоторая, но не вся эта непрерывность сохраняется в решениях.

Доказательство

В этом доказательстве мы будем использовать термин окрестности сослаться на открытый набор содержащий конкретную точку. Мы предваряем предварительную лемму, которая является общим фактом в исчислении соответствий. Напомним, что соответствие закрыто если это график закрыто.

Лемма.^[6]^[7]^[8] Если ${ displaystyle A, B: Theta rightrightarrows X}$ соответствия, ${ displaystyle A}$ полунепрерывно сверху и компактнозначно, а ${ displaystyle B}$ закрыто, то ${ displaystyle A cap B: Theta rightrightarrows X}$ определяется ${ displaystyle (A cap B) ( theta) = A ( theta) cap B ( theta)}$ верхняя полунепрерывная.

Доказательство

Позволять ${ displaystyle theta in Theta}$ , и предположим ${ displaystyle G}$ открытый набор, содержащий ${ Displaystyle (А крышка В) ( тета)}$ . Если ${ Displaystyle А ( тета) substeq G}$ , то результат следует немедленно. В противном случае обратите внимание, что для каждого ${ Displaystyle х в А ( тета) setminus G}$ у нас есть ${ Displaystyle х notin В ( тета)}$ , и с тех пор ${ displaystyle B}$ закрыто есть район ${ displaystyle U_ {x} times V_ {x}}$ из ${ Displaystyle ( тета, х)}$ в котором ${ Displaystyle х ' notin B ( theta')}$ в любое время ${ displaystyle ( theta ', x') в U_ {x} times V_ {x}}$ . Коллекция наборов ${ Displaystyle {G } чашка {V_ {x}: x in A ( theta) setminus G }}$ образует открытую крышку компакта ${ Displaystyle А ( тета)}$ , что позволяет выделить конечное подпокрытие ${ Displaystyle G, V_ {x_ {1}}, dots, V_ {x_ {n}}}$ . Тогда всякий раз, когда ${ displaystyle theta in U_ {x_ {1}} cap dots cap U_ {x_ {n}}}$ , у нас есть ${ Displaystyle A ( theta) substeq G cup V_ {x_ {1}} cup dots cup V_ {x_ {n}}}$ , и так ${ displaystyle (A cap B) ( theta) substeq G}$ . Это завершает доказательство. ${ displaystyle square}$

Преемственность ${ displaystyle f ^ {*}}$ в теореме максимума является результатом объединения двух независимых теорем вместе.

Теорема 1..^[9]^[10]^[11] Если ${ displaystyle f}$ полунепрерывно сверху и ${ displaystyle C}$ полунепрерывно сверху, непусто и компактнозначно, то ${ displaystyle f ^ {*}}$ полунепрерывно сверху.

Доказательство теоремы 1.

Исправить ${ displaystyle theta in Theta}$ , и разреши ${ displaystyle varepsilon> 0}$ быть произвольным. Для каждого ${ Displaystyle х в С ( тета)}$ , существует окрестность ${ displaystyle U_ {x} times V_ {x}}$ из ${ Displaystyle ( тета, х)}$ так что всякий раз, когда ${ displaystyle ( theta ', x') в U_ {x} times V_ {x}}$ , у нас есть ${ Displaystyle е (х ', тета') <е (х, тета) + varepsilon}$ . Множество кварталов ${ Displaystyle {V_ {x}: х в C ( theta) }}$ охватывает ${ Displaystyle С ( тета)}$ , что компактно, поэтому ${ displaystyle V_ {x_ {1}}, dots, V_ {x_ {n}}}$ хватит. Кроме того, поскольку ${ displaystyle C}$ полунепрерывно сверху, существует окрестность ${ displaystyle U '}$ из ${ displaystyle theta}$ так что всякий раз, когда ${ displaystyle theta ' in U'}$ это следует из того ${ Displaystyle С ( тета ') substeq bigcup _ {k = 1} ^ {n} V_ {x_ {k}}}$ . Позволять ${ Displaystyle U = U ' cap U_ {x_ {1}} cap dots cap U_ {x_ {n}}}$ . Тогда для всех ${ displaystyle theta ' in U}$ , у нас есть ${ Displaystyle е (х ', тета') <е (х_ {к}, тета) + varepsilon}$ для каждого ${ Displaystyle х ' в С ( тета')}$ , так как ${ displaystyle x ' in V_ {x_ {k}}}$ для некоторых ${ displaystyle k}$ . Следует, что

{ displaystyle f ^ {*} ( theta ') = sup _ {x' in C ( theta ')} f (x', theta ') < max _ {k = 1, dots, n} f (x_ {k}, theta) + varepsilon leq f ^ {*} ( theta) + varepsilon,}

что и было желательно. ${ displaystyle square}$

Теорема 2..^[12]^[13]^[14] Если ${ displaystyle f}$ полунепрерывно снизу и ${ displaystyle C}$ полунепрерывно снизу, то ${ displaystyle f ^ {*}}$ полунепрерывно снизу.

Доказательство теоремы 2.

Исправить ${ displaystyle theta in Theta}$ , и разреши ${ displaystyle varepsilon> 0}$ быть произвольным. По определению ${ displaystyle f ^ {*}}$ , Существует ${ Displaystyle х в С ( тета)}$ такой, что ${ Displaystyle е ^ {*} ( тета) <е (х, тета) + { гидроразрыва { varepsilon} {2}}}$ . Теперь, поскольку ${ displaystyle f}$ полунепрерывно снизу, существует окрестность ${ displaystyle U_ {1} times V}$ из ${ Displaystyle ( тета, х)}$ так что всякий раз, когда ${ displaystyle ( theta ', x') в U_ {1} times V}$ у нас есть ${ Displaystyle е (х, тета) <е (х ', тета') + { гидроразрыва { varepsilon} {2}}}$ . Заметьте, что ${ Displaystyle С ( тета) кепка V neq emptyset}$ (особенно, ${ Displaystyle х в С ( тета) крышка V}$ ). Следовательно, поскольку ${ displaystyle C}$ полунепрерывна снизу, существует окрестность ${ displaystyle U_ {2}}$ так что всякий раз, когда ${ displaystyle theta ' в U_ {2}}$ Существует ${ displaystyle x ' in C ( theta') cap V}$ . Позволять ${ Displaystyle U = U_ {1} cap U_ {2}}$ . Тогда всякий раз, когда ${ displaystyle theta ' in U}$ Существует ${ displaystyle x ' in C ( theta') cap V}$ , что означает

{ Displaystyle е ^ {*} ( тета) <е (х, тета) + { гидроразрыва { varepsilon} {2}} <е (х ', тета') + varepsilon leq f ^ { *} ( theta ') + varepsilon}

что и было желательно. ${ displaystyle square}$

В условиях теоремы о максимуме ${ displaystyle f ^ {*}}$ непрерывно. Осталось проверить, что ${ displaystyle C ^ {*}}$ является полунепрерывным сверху соответствием с компактными значениями. Позволять ${ displaystyle theta in Theta}$ . Чтобы увидеть это ${ Displaystyle С ^ {*} ( тета)}$ непусто, заметим, что функция ${ displaystyle f _ { theta}: C ( theta) to mathbb {R}}$ к ${ Displaystyle е _ { тета} (х) = е (х, тета)}$ непрерывна на компакте ${ Displaystyle С ( тета)}$ . В Теорема об экстремальном значении подразумевает, что ${ Displaystyle С ^ {*} ( тета)}$ непусто. Кроме того, поскольку ${ displaystyle f _ { theta}}$ непрерывно, то ${ Displaystyle С ^ {*} ( тета)}$ замкнутое подмножество компакта ${ Displaystyle С ( тета)}$ , что означает ${ Displaystyle С ^ {*} ( тета)}$ компактный. Наконец, пусть ${ displaystyle D: Theta rightrightarrows X}$ определяться ${ textstyle D ( theta) = {x in C ( theta): f (x, theta) = f ^ {*} ( theta) }}$ . поскольку ${ displaystyle f}$ - непрерывная функция, ${ displaystyle D}$ это закрытая переписка. Более того, поскольку ${ Displaystyle C ^ {*} ( theta) = C ( theta) cap D ( theta)}$ , из предварительной леммы следует, что ${ displaystyle C ^ {*}}$ верхняя полунепрерывная. ${ displaystyle square}$

Варианты и обобщения

Естественное обобщение приведенных выше результатов дает достаточно местный условия для ${ displaystyle f ^ {*}}$ быть непрерывным и ${ displaystyle C ^ {*}}$ быть непустым, компактнозначным и полунепрерывным сверху.

Если в дополнение к вышеуказанным условиям, ${ displaystyle f}$ является квазивогнутый в ${ displaystyle x}$ для каждого ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle C}$ выпуклозначна, то ${ displaystyle C ^ {*}}$ также выпуклозначна. Если ${ displaystyle f}$ строго квазивогнутая по ${ displaystyle x}$ для каждого ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle C}$ выпуклозначна, то ${ displaystyle C ^ {*}}$ однозначно и, следовательно, является непрерывной функцией, а не соответствием.

Если ${ displaystyle f}$ является вогнутый и ${ displaystyle C}$ имеет выпуклый график, тогда ${ displaystyle f ^ {*}}$ вогнутая и ${ displaystyle C ^ {*}}$ выпуклозначна. Как и выше, если ${ displaystyle f}$ строго вогнутая, то ${ displaystyle C ^ {*}}$ является непрерывной функцией.^[15]

Также возможно обобщение теоремы Берже на некомпактные многозначные соответствия, если целевая функция K-inf-компактна.^[16]

Примеры

Рассмотрим проблема максимизации полезности где потребитель делает выбор из своего бюджета. Переводя из обозначений выше в стандартные обозначения теории потребителей,

${ Displaystyle X = mathbb {R} _ {+} ^ {l}}$ пространство всех пучков ${ displaystyle l}$ товары,
${ Displaystyle Theta = mathbb {R} _ {++} ^ {l} times mathbb {R} _ {++}}$ представляет собой вектор цен на товары ${ displaystyle p}$ и богатство потребителя ${ displaystyle w}$ ,
${ Displaystyle е (х, тета) = и (х)}$ является потребителем вспомогательная функция, и
${ Displaystyle С ( тета) = В (п, ш) = {х , | , px Leq ш }}$ является потребителем набор бюджета.

Потом,

${ Displaystyle е ^ {*} ( тета) = v (р, ш)}$ это косвенная функция полезности и
${ Displaystyle С ^ {*} ( тета) = х (р, ш)}$ это Маршаллианский спрос.

Доказательства в теория общего равновесия часто применяют Брауэр или Теоремы Какутани о неподвижной точке потребительскому спросу, требующему компактности и непрерывности, а теорема о максимуме предоставляет для этого достаточные условия.

Смотрите также

Примечания

^ Хорошо, Эфе (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями. Издательство Принстонского университета. п.306. ISBN 978-0-691-11768-3.
^ Исходной ссылкой является теорема о максимуме из главы 6, раздел 3. Клод Берже (1963). Топологические пространства. Оливер и Бойд. п. 116. Известно или, возможно, печально известно, что Берге рассматривает только хаусдорфовы топологические пространства и допускает только те компактные множества, которые сами являются хаусдорфовыми пространствами. Он также требует, чтобы полунепрерывные сверху соответствия были компактнозначными. Эти свойства были разъяснены и разукрупнены в более поздней литературе.
^ Сравните с теоремой 17.31 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечный анализ измерений: автостопом. Springer. стр.570. Это дается для произвольных топологических пространств. Они также рассматривают возможность того, что ${ displaystyle f}$ может быть определена только на графике ${ displaystyle C}$ .
^ Сравните с теоремой 3.5 в Шоучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, Б. В. с. 84. Они считают, что ${ displaystyle Theta}$ и ${ displaystyle X}$ являются хаусдорфовыми пространствами.
^ Теорема 3.6 в Бивис, Брайан; Доббс, Ян (1990). Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 83–84. ISBN 0-521-33605-8.
^ Сравните с теоремой 7 из раздела 1 главы 6 Клод Берже (1963). Топологические пространства. Оливер и Бойд. п. 112. Берге предполагает, что лежащие в основе пространства хаусдорфовы, и использует это свойство для ${ displaystyle X}$ (но не для ${ displaystyle C}$ ) в его доказательстве.
^ Сравните с предложением 2.46 в Шоучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, Б. В. с. 53. Они неявно предполагают, что ${ displaystyle Theta}$ и ${ displaystyle X}$ являются хаусдорфовыми пространствами, но их доказательство носит общий характер.
^ Сравните со следствием 17.18 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечный анализ измерений: автостопом. Springer. стр.564. Это дается для произвольных топологических пространств, но доказательство опирается на аппарат топологических сетей.
^ Сравните с теоремой 2 в главе 6, разделе 3 книги Клод Берже (1963). Топологические пространства. Оливер и Бойд. п. 116. Аргумент Берге по сути тот же, что и здесь, но он снова использует вспомогательные результаты, доказанные с предположением, что лежащие в основе пространства являются хаусдорфовыми.
^ Сравните с предложением 3.1 в Шоучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, Б. В. с. 82. Они работают исключительно с хаусдорфовыми пространствами, и их доказательство снова опирается на топологические сети. Их результат также позволяет ${ displaystyle f}$ принять ценности ${ displaystyle pm infty}$ .
^ Сравните с леммой 17.30 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечный анализ измерений: автостопом. Springer. стр.569. Они рассматривают произвольные топологические пространства и используют аргументы, основанные на топологических сетях.
^ Сравните с теоремой 1 в разделе 3 главы 6 Клод Берже (1963). Топологические пространства. Оливер и Бойд. п. 115. Представленный здесь аргумент в основном принадлежит ему.
^ Сравните с предложением 3.3 в Шоучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, Б. В. с. 83. Они работают исключительно с хаусдорфовыми пространствами, и их доказательство снова опирается на топологические сети. Их результат также позволяет ${ displaystyle f}$ принять ценности ${ displaystyle pm infty}$ .
^ Сравните с леммой 17.29 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечный анализ измерений: автостопом. Springer. стр.569. Они рассматривают произвольные топологические пространства и используют аргументы, связанные с топологическими сетями.
^ Сундарам, Рангараджан К. (1996). Первый курс теории оптимизации. Издательство Кембриджского университета. п.239. ISBN 0-521-49770-1.
^ Теорема 1.2 в Файнберг, Юджин А .; Касьянов, Павел О .; Задоянчук, Нина В. (январь 2013 г.). «Теорема Берже для некомпактных множеств изображений». Журнал математического анализа и приложений. 397 (1): 255–259. arXiv:1203.1340. Дои:10.1016 / j.jmaa.2012.07.051. S2CID 8603060.

Теорема максимума - Maximum theorem

Содержание

Формулировка теоремы

Интерпретация

Доказательство

Варианты и обобщения

Примеры

Смотрите также

Примечания

Рекомендации