Временная логика метрического интервала - Metric interval temporal logic

В проверка модели, то Временная логика метрических интервалов (MITL) - это фрагмент Метрическая временная логика (MTL). Этот фрагмент часто предпочитают MTL, потому что некоторые проблемы неразрешимый для MTL стать разрешимый для MITL.

Определение

Формула MITL - это формула MTL, такая, что каждый набор действительных чисел, используемых в нижнем индексе, представляет собой интервалы, которые не являются одиночными числами, а границы которых либо натуральные, либо бесконечны.

Отличие от MTL

MTL может выражать такое утверждение, как предложение S: "п прошло ровно десять единиц времени назад ". Это невозможно в MITL. Вместо этого MITL может сказать Т: "п от 9 до 10 единиц времени назад ". Поскольку MITL может выразить Т но нет Sв некотором смысле MITL - это ограничение MTL, допускающее только менее точные утверждения.

Проблемы, которых избегает MITL

Одна из причин, по которой следует избегать таких заявлений, как S состоит в том, что его истинностное значение может изменяться произвольное количество раз за одну единицу времени. Действительно, значение истинности этого утверждения может измениться столько раз, сколько истинность значения п изменить, и п сам может изменять произвольное количество раз в одной единице времени.

Рассмотрим теперь такую систему, как синхронизированный автомат или сигнальный автомат, которые хотят знать в каждый момент, S держит или нет. Эта система должна вспомнить все, что произошло за последние 10 единиц времени. Как видно выше, это означает, что он должен вспомнить сколь угодно большое количество событий. Это не может быть реализовано в системе с ограниченной памятью и часами.

Ограниченная изменчивость

Одним из основных преимуществ MITL является то, что каждый оператор обладает свойством ограниченной изменчивости. Пример:

Учитывая заявление Т определено выше. Каждый раз значение истинности Т переключается с false на true, остается истинным хотя бы в течение одной единицы времени. Доказательство: за раз т где Т становится правдой, это означает, что:

от 9 до 10 единиц времени назад, п было правдой.
как раз раньше времени т, п было ложным.

Следовательно, п было верно ровно 9 единиц времени назад. Отсюда следует, что для каждого ${ Displaystyle т ' в [0,1]}$ , вовремя ${ Displaystyle т + т '}$ , п было правдой ${ displaystyle 9 + t '}$ единицы времени назад. поскольку ${ displaystyle 9 + t ' in [9,10]}$ , вовремя ${ displaystyle t '}$ , Т держит.

Система в каждый момент времени хочет знать ценность Т. Такая система должна вспомнить, что происходило в течение последних десяти временных единиц. Однако, благодаря свойству ограниченной изменчивости, он должен вспомнить не более 10 единиц времени, когда Т становится правдой. Отсюда 11 раз, когда Т становится ложным. Таким образом, эта система должна вызывать не более 21 события и, следовательно, может быть реализована как синхронизированный автомат или сигнальный автомат.

Примеры

Примеры формул MITL:

${ Displaystyle квадрат алмаз _ {(0,1)} р}$ заявляет, что там письмо ${ displaystyle p}$ появляется по крайней мере один в каждом открытом интервале длины 1.
${ displaystyle triangleright _ { {я }} p}$ где ${ displaystyle triangleright _ { {я }} p}$ это оператор пророчества определяется как ${ Displaystyle квадрат _ {(0, я)} нег р земля алмаз _ {(0, я]} р}$ и в котором говорится, что первое появление ${ displaystyle p}$ в будущем в ${ displaystyle i}$ единица времени.
${ displaystyle p land square (p подразумевает triangleright _ { {1 }} p)}$ утверждает, что ${ displaystyle p}$ выполняется точно в каждый интегральный момент времени, а не в другое время.

Фрагменты

Безопасность-MTL_0,∞

Фрагмент Безопасность-MTL_{0, v} определяется как подмножество MITL_0,∞ содержащие только формулы в положительная нормальная форма где интервал каждого оператора до тех пор, пока не имеет верхней границы. Например, формула ${ Displaystyle Box (а подразумевает Diamond _ {(0,1]} b)}$ в котором говорится, что каждый ${ displaystyle a}$ менее чем через одну единицу времени следует ${ displaystyle b}$ , принадлежит этой логике. ^[1]

Открытый и закрытый MITL

Фрагмент Open-MTL содержит формулу в положительной нормальной форме, такую что:

для каждого ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {I}}$ , ${ displaystyle I}$ открыто, и
для каждого ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {I}}$ , ${ displaystyle I}$ закрыто.

Фрагмент Закрыто-MITL содержит отрицание формул Open-MITL.

Flat и Coflat MITL

Фрагмент Flat-MTL содержит формулу в положительной нормальной форме, такую что:

для каждого ${ Displaystyle phi _ {1} { mathcal {U}} _ {I} phi _ {2}}$ , если ${ displaystyle I}$ неограничен, то ${ displaystyle phi _ {1}}$ является LTL-формулой
для каждого ${ Displaystyle phi _ {1} { mathcal {R}} _ {I} phi _ {2}}$ , если ${ displaystyle I}$ неограничен, то ${ displaystyle phi _ {2}}$ является LTL-формулой

Фрагмент Coflat-MITL содержит отрицание формул Квартира-MITL.

Нестрогий вариант

Учитывая любой фрагмент L, фрагмент L^нс это ограничение L в котором только нестрогий используются операторы.

MITL_0,∞ и MITL₀

Учитывая любой фрагмент L, фрагмент L_0,∞ это подмножество L где нижняя граница каждого интервала равна 0 или верхняя граница равна бесконечности. Аналогично обозначим через L₀ (соответственно, L_∞) подмножество L такая, что нижняя граница каждого интервала равна 0 (соответственно, верхняя граница каждого интервала равна ∞).

Выразительность над сигналами

Над сигналы, MITL₀ столь же выразительна, как и MITL. Это можно доказать, применив следующие правила переписывания к формуле MITL.^[2]

${ displaystyle phi { mathcal {U}} _ {(a, b)} psi}$ эквивалентно ${ displaystyle Box _ {(0, a]} phi { mathcal {U}} psi land Diamond _ {(a, b)} psi}$ (конструкция для полузамкнутых и замкнутых интервалов аналогична).
${ displaystyle Diamond _ {(a, b)} phi}$ эквивалентно ${ Displaystyle Diamond _ {(2a-b, a)} Box _ {(0, b-a)} Diamond _ {(0, b-a)} phi}$ если ${ displaystyle 2a-b geq 0}$ .
${ displaystyle Diamond _ {(a, b)} phi}$ эквивалентно ${ Displaystyle Diamond _ {(a, b-a)} Diamond _ {(0, a)} phi}$ если ${ displaystyle a$ .
${ Displaystyle Diamond _ {(а, + infty)} phi}$ эквивалентно ${ displaystyle Box _ {(0, a)} Diamond phi}$ .

Применение этих правил перезаписи экспоненциально увеличивает размер формулы. Действительно, числа ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ традиционно записываются в двоичном формате, и эти правила должны применяться ${ displaystyle O left ({ frac {b} {b-a}} right)}$ раз.

Выразительность в зависимости от времени

В отличие от сигналов, MITL более выразителен, чем MITL._0,∞. Приведенные выше правила перезаписи не применяются в случае синхронизированных слов, потому что для перезаписи ${ Displaystyle Diamond _ {(а, б)}}$ должно быть предположение, что какое-то событие происходит между временем 0 и ${ displaystyle a}$ , что не обязательно так.

Проблема целесообразности

Проблема определения выполнимости формулы MITL над сигналом заключается в следующем. PSPACE-полный.^[3]

использованная литература

^ Булычев, Петр; Дэвид, Александр; Ларсен, Ким Дж .; Гуанюань, Ли (июнь 2014 г.). «Эффективный синтез контроллера для фрагмента MTL_0,∞". Acta Informatica. 51 (3–4): 166. Дои:10.1007 / s00236-013-0189-z.
^ Берсани, Марчелло; Росси, Маттео; Сан-Пьетро, Пьерлуиджи (2013). «Инструмент для определения выполнимости временных логарифмов с непрерывным временем» (PDF). Международный симпозиум по временному представлению и рассуждению. 20: 202. Дои:10.1109 / TIME.2013.20.
^ Henzinger, T.A .; Raskin, J.F .; Schobben, P.-Y. (1998). «Обычные языки реального времени». Конспект лекций по информатике. 1443: 591. Дои:10.1007 / BFb0055086.

Эта логика -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Булычев, Петр; Дэвид, Александр; Ларсен, Ким Дж .; Гуанюань, Ли (июнь 2014 г.). «Эффективный синтез контроллера для фрагмента MTL_0,∞". Acta Informatica. 51 (3–4): 166. Дои:10.1007 / s00236-013-0189-z.

[2] Берсани, Марчелло; Росси, Маттео; Сан-Пьетро, Пьерлуиджи (2013). «Инструмент для определения выполнимости временных логарифмов с непрерывным временем» (PDF). Международный симпозиум по временному представлению и рассуждению. 20: 202. Дои:10.1109 / TIME.2013.20.

[RegularRealTime2-3] Henzinger, T.A .; Raskin, J.F .; Schobben, P.-Y. (1998). «Обычные языки реального времени». Конспект лекций по информатике. 1443: 591. Дои:10.1007 / BFb0055086.

[1]

[2]

[3]