Теорема Мидиса - Википедия - Midys theorem

В математика, Теорема Миди, названный в честь Французский математик Э. Миди,^[1]^[2] это заявление о десятичное разложение из фракции а/п куда п это основной и а/п имеет повторяющаяся десятичная дробь расширение с четное период (последовательность A028416 в OEIS ). Если период десятичного представления числа а/п 2п, так что

{ displaystyle { frac {a} {p}} = 0. { overline {a_ {1} a_ {2} a_ {3} dots a_ {n} a_ {n + 1} dots a_ {2n}) }}}

тогда цифры во второй половине повторяющегося десятичного периода являются 9s дополнение соответствующих цифр в его первой половине. Другими словами,

{ Displaystyle а_ {я} + а_ {я + п} = 9}

{ displaystyle a_ {1} dots a_ {n} + a_ {n + 1} dots a_ {2n} = 10 ^ {n} -1.}

Например,

{ displaystyle { frac {1} {13}} = 0. { overline {076923}} { text {and}} 076 + 923 = 999.}

{ displaystyle { frac {1} {17}} = 0. { overline {0588235294117647}} { text {and}} 05882352 + 94117647 = 99999999.}

Расширенная теорема Миди

Если k - любой делитель периода десятичного разложения числа а/п (куда п снова простое число), то теорему Миди можно обобщить следующим образом. В расширенная теорема Миди^[3] утверждает, что если повторяющаяся часть десятичного разложения а/п поделен на k-значные числа, тогда их сумма кратна 10^k − 1.

Например,

{ displaystyle { frac {1} {19}} = 0. { overline {052631578947368421}}}

имеет период 18. Разделение повторяющейся части на 6-значные числа и их суммирование дает

{ displaystyle 052631 + 578947 + 368421 = 999999.}

Точно так же разделение повторяющейся части на 3-значные числа и их суммирование дает

{ displaystyle 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 times 999.}

Теорема Миди в других базисах

Теорема Миди и ее расширение не зависят от специальных свойств десятичного разложения, но одинаково хорошо работают в любых основание бпри условии замены 10^k - 1 с б^k - 1 и провести добавление в базу б.

Например, в восьмеричный

{ displaystyle { begin {align} & { frac {1} {19}} = 0. { overline {032745}} _ {8} [8pt] & 032_ {8} + 745_ {8} = 777_ {8} [8pt] & 03_ {8} + 27_ {8} + 45_ {8} = 77_ {8}. End {align}}}

В двенадцатеричный (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

{ displaystyle { begin {align} & { frac {1} {19}} = 0. { overline {076 { mathcal {E}} 45}} _ {12} [8pt] & 076_ {12 } + { mathcal {E}} 45_ {12} = { mathcal {EEE}} _ {12} [8pt] & 07_ {12} +6 { mathcal {E}} _ {12} + 45_ { 12} = { mathcal {EE}} _ {12} end {align}}}

Доказательство теоремы Миди

Краткие доказательства теоремы Миди могут быть даны с использованием результатов теория групп. Однако можно также доказать теорему Миди, используя элементарная алгебра и модульная арифметика:

Позволять п быть первым и а/п - дробь от 0 до 1. Предположим, что разложение а/п в базе б имеет период ℓ, так

{ displaystyle { begin {align} & { frac {a} {p}} = [0. { overline {a_ {1} a_ {2} dots a _ { ell}}}] _ {b} [6pt] & Rightarrow { frac {a} {p}} b ^ { ell} = [a_ {1} a_ {2} dots a _ { ell}. { Overline {a_ {1}] a_ {2} dots a _ { ell}}}] _ {b} [6pt] & Rightarrow { frac {a} {p}} b ^ { ell} = N + [0. { overline {a_ {1} a_ {2} dots a _ { ell}}}] _ {b} = N + { frac {a} {p}} [6pt] & Rightarrow { frac {a} { p}} = { frac {N} {b ^ { ell} -1}} end {align}}}

куда N - целое число, разложение которого по основанию б это строка а₁а₂...а_ℓ.

Обратите внимание, что б^ℓ - 1 кратно п потому что (б^ℓ − 1)а/п целое число. Также б^п−1 - это нет кратный п для любого значения п меньше, чем ℓ, потому что в противном случае повторяющийся период а/п в базе б будет меньше чем ℓ.

Теперь предположим, что ℓ = гонконгский. потом б^ℓ - 1 кратно б^k - 1. (Чтобы увидеть это, подставьте Икс за б^k; тогда б^ℓ = Икс^час и Икс - 1 - коэффициент Икс^час - 1.) Скажи б^ℓ − 1 = м(б^k - 1), поэтому

{ displaystyle { frac {a} {p}} = { frac {N} {m (b ^ {k} -1)}}.}

Но б^ℓ - 1 кратно п; б^k - 1 это нет кратный п (потому что k меньше чем ℓ ); и п простое число; так м должно быть кратно п и

{ displaystyle { frac {am} {p}} = { frac {N} {b ^ {k} -1}}}

целое число. Другими словами,

{ Displaystyle N Equiv 0 { pmod {b ^ {k} -1}}.}

Теперь разделите строку а₁а₂...а_ℓ в час равные части длины k, и пусть они представляют собой целые числа N₀...N_{час − 1} в базе б, так что

{ displaystyle { begin {align} N_ {h-1} & = [a_ {1} dots a_ {k}] _ {b} N_ {h-2} & = [a_ {k + 1} dots a_ {2k}] _ {b} & {} vdots N_ {0} & = [a_ {l-k + 1} dots a_ {l}] _ {b} end {выровнено}}}

Чтобы доказать расширенную теорему Миди в базе б мы должны показать, что сумма час целые числа N_я кратно б^k − 1.

С б^k сравнимо с 1 по модулю б^k - 1, любая степень б^k также будет сравнимо с 1 по модулю б^k - 1. Итак

{ displaystyle N = sum _ {i = 0} ^ {h-1} N_ {i} b ^ {ik} = sum _ {i = 0} ^ {h-1} N_ {i} (b ^ {k}) ^ {i}}

{ Displaystyle Rightarrow N эквив сумма _ {я = 0} ^ {ч-1} N_ {я} { pmod {b ^ {k} -1}}}

{ displaystyle Rightarrow sum _ {i = 0} ^ {h-1} N_ {i} Equiv 0 { pmod {b ^ {k} -1}}}

что доказывает расширенную теорему Миди в базе б.

Чтобы доказать исходную теорему Миди, рассмотрим частный случай, когда час = 2. Обратите внимание, что N₀ и N₁ оба представлены строками k цифры в базе б так что оба удовлетворяют