Алгоритм повторения Миллера - Википедия - Millers recurrence algorithm

Алгоритм повторения Миллера представляет собой процедуру вычисления быстро убывающего решения линейной отношение повторения разработан Дж. С. П. Миллер.^[1] Первоначально он был разработан для расчета таблиц модифицированных Функция Бесселя^[2] но также применяется к функциям Бесселя первого рода и имеет другие приложения, такие как вычисление коэффициентов Чебышевские разложения других специальных функций.^[3]

Многие семейства специальных функций удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое связывает значения функций разных порядков с общим аргументом ${ displaystyle x}$.

Модифицированные функции Бесселя первого рода ${ Displaystyle I_ {п} (х)}$ удовлетворяют рекуррентному соотношению

${ displaystyle I_ {n-1} (x) = { frac {2n} {x}} I_ {n} (x) + I_ {n + 1} (x)}$.

Однако модифицированные функции Бесселя второго рода ${ Displaystyle К_ {п} (х)}$ также удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению

${ Displaystyle K_ {n-1} (x) = { frac {2n} {x}} K_ {n} (x) + K_ {n + 1} (x)}$.

Первое решение быстро убывает с ${ displaystyle n}$. Второе решение быстро увеличивается с увеличением ${ displaystyle n}$. Алгоритм Миллера обеспечивает численно устойчивую процедуру для получения убывающего решения.

Чтобы вычислить сроки повторения ${ displaystyle a_ {0}}$ через ${ displaystyle a_ {N}}$ согласно алгоритму Миллера, сначала выбирается значение ${ displaystyle M}$ намного больше, чем ${ displaystyle N}$ и вычисляет пробное решение с начальным условием${ displaystyle a_ {M}}$ к произвольному ненулевому значению (например, 1) и взяв ${ displaystyle a_ {M + 1}}$ и более поздние члены равны нулю. Затем рекуррентное соотношение используется для последовательного вычисления пробных значений для ${ displaystyle a_ {M-1}}$, ${ displaystyle a_ {M-2}}$ вплоть до ${ displaystyle a_ {0}}$. Отметив, что вторая последовательность, полученная из пробной последовательности путем умножения на постоянный нормализующий коэффициент, по-прежнему будет удовлетворять тому же рекуррентному соотношению, затем можно применить отдельное нормализующее отношение для определения нормализующего коэффициента, который дает фактическое решение.

В примере модифицированных функций Бесселя подходящим нормирующим соотношением является суммирование с участием четных членов рекуррентности:

${ displaystyle I_ {0} (x) +2 sum _ {m = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {m} I_ {2m} (x) = 1}$

где бесконечное суммирование становится конечным из-за приближения, что ${ displaystyle a_ {M + 1}}$ и более поздние сроки равны нулю.

Наконец, подтверждается, что ошибка аппроксимации процедуры приемлема, повторением процедуры со вторым выбором ${ displaystyle M}$ больше, чем первоначальный выбор, и подтверждая, что второй набор результатов для ${ displaystyle a_ {0}}$ через ${ displaystyle a_ {N}}$ согласитесь в пределах первого набора в пределах желаемого допуска. Обратите внимание, что для получения этого соглашения значение ${ displaystyle M}$ должен быть достаточно большим, чтобы термин ${ displaystyle a_ {M}}$ мала по сравнению с желаемым допуском.

В отличие от алгоритма Миллера, пытается применить рекуррентное соотношение в прямом направлении, начиная с известных значений ${ Displaystyle I_ {0} (х)}$ и ${ Displaystyle I_ {1} (х)}$ полученные другими методами не будут выполнены, поскольку ошибки округления вводят компоненты быстро возрастающего решения.^[4]

Olver^[2] и Гаучи^[5] подробно анализирует распространение ошибок алгоритма.

Для функций Бесселя первого рода эквивалентное рекуррентное соотношение и нормализующее отношение:^[6]

${ Displaystyle J_ {n-1} (x) = { frac {2n} {x}} J_ {n} (x) -J_ {n + 1} (x)}$

${ displaystyle J_ {0} (x) +2 sum _ {m = 1} ^ { infty} J_ {2m} (x) = 1}$.

Алгоритм особенно эффективен в приложениях, требующих значений функций Бесселя для всех порядков. ${ Displaystyle 0 cdots N}$ для каждого значения ${ displaystyle x}$ по сравнению с прямыми независимыми вычислениями ${ displaystyle N + 1}$ отдельные функции.

Рекомендации