Мин-энтропия - Min-entropy

В мин-энтропия, в теория информации, является самым маленьким из Семья Реньи энтропий, соответствующих самый консервативный способ измерения непредсказуемости набора результатов, как отрицательный логарифм вероятности скорее всего исход. Различные энтропии Реньи равны для равномерного распределения, но измеряют непредсказуемость неоднородного распределения разными способами. Мин-энтропия никогда не бывает больше обычной или Энтропия Шеннона (который измеряет среднюю непредсказуемость результатов), который, в свою очередь, никогда не превосходит Хартли или макс-энтропия, определяемый как логарифм номер исходов с ненулевой вероятностью.

Как и классическая энтропия Шеннона и ее квантовое обобщение, энтропия фон Неймана, можно определить условную версию мин-энтропии. Условная квантовая мин-энтропия является одноразовым или консервативным аналогом условная квантовая энтропия.

Чтобы интерпретировать условную информационную меру, предположим, что Алиса и Боб разделяют двудольное квантовое состояние. ${ displaystyle rho _ {AB}}$. Алиса имеет доступ к системе ${ displaystyle A}$ и Боб в систему ${ displaystyle B}$. Условная энтропия измеряет среднюю неопределенность, которую Боб имеет относительно состояния Алисы при выборке из его собственной системы. Мин-энтропию можно интерпретировать как расстояние между состоянием и максимально запутанным состоянием.

Эта концепция полезна в квантовой криптографии в контексте усиления конфиденциальности (см., Например, ^[1]).

Определения

Определение: Пусть ${ displaystyle rho _ {AB}}$ - двудольный оператор плотности в пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {A} otimes { mathcal {H}} _ {B}}$. Мин-энтропия ${ displaystyle A}$ при условии ${ displaystyle B}$ определяется как

${ Displaystyle H _ { min} (A | B) _ { rho} Equiv - inf _ { sigma _ {B}} D _ { max} ( rho _ {AB} | I_ {A} otimes sigma _ {B})}$

где нижняя грань пробегает все операторы плотности ${ displaystyle sigma _ {B}}$ на пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {B}}$. Мера ${ displaystyle D _ { max}}$ - максимальная относительная энтропия, определяемая как

${ Displaystyle D _ { max} ( rho | sigma) = inf _ { lambda} { lambda: rho leq 2 ^ { lambda} sigma }}$

Гладкая мин-энтропия определяется в терминах мин-энтропии.

${ Displaystyle H _ { min} ^ { epsilon} (A | B) _ { rho} = sup _ { rho '} H _ { min} (A | B) _ { rho'}}$

где sup и inf пробегают операторы плотности ${ displaystyle rho '_ {AB}}$ которые ${ displaystyle epsilon}$-рядом с ${ displaystyle rho _ {AB}}$. Эта мера ${ displaystyle epsilon}$-close определяется с точки зрения очищенного расстояния

${ Displaystyle P ( rho, sigma) = { sqrt {1-F ( rho, sigma) ^ {2}}}}$

куда ${ Displaystyle F ( rho, sigma)}$ это верность мера.

Эти величины можно рассматривать как обобщения энтропия фон Неймана. Действительно, энтропия фон Неймана может быть выражена как

${ Displaystyle S (A | B) _ { rho} = lim _ { epsilon rightarrow 0} lim _ {n rightarrow infty} { frac {1} {n}} H _ { min} ^ { epsilon} (A ^ {n} | B ^ {n}) _ { rho ^ { otimes n}} ~.}$

Это называется полностью квантовой асимптотической теоремой о равнораспределении.^[2]Сглаженные энтропии имеют много общих интересных свойств с энтропией фон Неймана. Например, гладкая минимальная энтропия удовлетворяет неравенству обработки данных: ^[3]

${ displaystyle H _ { min} ^ { epsilon} (A | B) _ { rho} geq H _ { min} ^ { epsilon} (A | BC) _ { rho} ~.}$

Оперативная интерпретация сглаженной мин-энтропии

В дальнейшем мы опускаем индекс ${ displaystyle rho}$ из минимальной энтропии, когда из контекста очевидно, в каком состоянии она оценивается.

Мин-энтропия как неопределенность относительно классической информации

Предположим, у агента есть доступ к квантовой системе. ${ displaystyle B}$ чье состояние ${ displaystyle rho _ {B} ^ {x}}$ зависит от некоторой классической переменной ${ displaystyle X}$. Кроме того, предположим, что каждый из его элементов ${ displaystyle x}$ распространяется согласно некоторому распределению ${ Displaystyle P_ {X} (х)}$. Это можно описать следующим состоянием над системой ${ displaystyle XB}$.

${ Displaystyle rho _ {XB} = sum _ {x} P_ {X} (x) | x rangle langle x | otimes rho _ {B} ^ {x},}$

куда ${ Displaystyle {| х rangle }}$ образуют ортонормированный базис. Мы хотели бы знать, что агент может узнать о классической переменной ${ displaystyle x}$. Позволять ${ displaystyle p_ {g} (X | B)}$ быть вероятностью того, что агент угадает ${ displaystyle X}$ при использовании оптимальной стратегии измерения

${ Displaystyle p_ {g} (X | B) = sum _ {x} P_ {X} (x) tr (E_ {x} rho _ {B} ^ {x}),}$

куда ${ displaystyle E_ {x}}$ POVM максимизирует это выражение. Можно показать, что этот оптимум может быть выражен через мин-энтропию как

${ displaystyle p_ {g} (X | B) = 2 ^ {- H _ { min} (X | B)} ~.}$

Если государство ${ displaystyle rho _ {XB}}$ состояние продукта, т.е. ${ Displaystyle rho _ {XB} = sigma _ {X} otimes tau _ {B}}$ для некоторых операторов плотности ${ displaystyle sigma _ {X}}$ и ${ displaystyle tau _ {B}}$, то корреляции между системами ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle B}$. В этом случае оказывается, что ${ displaystyle 2 ^ {- H _ { min} (X | B)} = max _ {x} P_ {X} (x) ~.}$

Мин-энтропия как расстояние от максимально запутанного состояния

Максимально запутанное состояние ${ displaystyle | phi ^ {+} rangle}$ по двудольной системе ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {A} otimes { mathcal {H}} _ {B}}$ определяется как

${ displaystyle | phi ^ {+} rangle _ {AB} = { frac {1} { sqrt {d}}} sum _ {x_ {A}, x_ {B}} | x_ {A} rangle | x_ {B} rangle}$

куда ${ displaystyle {| x_ {A} rangle }}$ и ${ Displaystyle {| x_ {B} rangle }}$ образуют ортонормированный базис пространств ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ соответственно. для двудольного квантового состояния ${ displaystyle rho _ {AB}}$, определим максимальное перекрытие с максимально запутанным состоянием как

${ displaystyle q_ {c} (A | B) = d_ {A} max _ { mathcal {E}} F left ((I_ {A} otimes { mathcal {E}}) rho _ { AB}, | phi ^ {+} rangle langle phi ^ {+} | right) ^ {2}}$

где максимум по всем операциям CPTP ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ и ${ displaystyle d_ {A}}$ размер подсистемы ${ displaystyle A}$. Это показатель того, насколько соотносится состояние ${ displaystyle rho _ {AB}}$ является. Можно показать, что ${ displaystyle q_ {c} (A | B) = 2 ^ {- H _ { min} (A | B)}}$. Если информация, содержащаяся в ${ displaystyle A}$ является классическим, это сводится к приведенному выше выражению для вероятности угадывания.

Доказательство функциональной характеристики мин-энтропии

Доказательство взято из статьи Кенига, Шаффнера, Реннера в 2008 году.^[4] Он включает в себя оборудование полуопределенные программы.^[5] Предположим, нам дан некоторый двудольный оператор плотности ${ displaystyle rho _ {AB}}$. Из определения мин-энтропии имеем

${ Displaystyle H _ { min} (A | B) = - inf _ { sigma _ {B}} inf _ { lambda} { lambda | rho _ {AB} leq 2 ^ { лямбда} (I_ {A} otimes sigma _ {B}) } ~.}$

Это можно переписать как

${ displaystyle - log inf _ { sigma _ {B}} operatorname {Tr} ( sigma _ {B})}$

при соблюдении условий

${ displaystyle sigma _ {B} geq 0}$

${ displaystyle I_ {A} otimes sigma _ {B} geq rho _ {AB} ~.}$

Заметим, что нижняя грань берется по компактам и, следовательно, может быть заменена на минимум. Затем это можно кратко выразить как полуопределенную программу. Рассмотрим основную проблему

${ displaystyle { text {min:}} operatorname {Tr} ( sigma _ {B})}$

${ displaystyle { text {при условии:}} I_ {A} otimes sigma _ {B} geq rho _ {AB}}$

${ displaystyle sigma _ {B} geq 0 ~.}$

Эта основная проблема также может быть полностью определена матрицами ${ displaystyle ( rho _ {AB}, I_ {B}, operatorname {Tr} ^ {*})}$ куда ${ displaystyle operatorname {Tr} ^ {*}}$ является сопряженным к частичному следу над ${ displaystyle A}$. Действие ${ displaystyle operatorname {Tr} ^ {*}}$ по операторам на ${ displaystyle B}$ можно записать как

${ displaystyle operatorname {Tr} ^ {*} (X) = I_ {A} otimes X ~.}$

Мы можем выразить двойственную задачу как максимизацию над операторами ${ displaystyle E_ {AB}}$ на пространстве ${ displaystyle AB}$ в качестве

${ displaystyle { text {max:}} operatorname {Tr} ( rho _ {AB} E_ {AB})}$

${ displaystyle { text {при условии:}} operatorname {Tr} _ {A} (E_ {AB}) = I_ {B}}$

${ displaystyle E_ {AB} geq 0 ~.}$

С использованием Изоморфизм Чоя – Ямиолковского, мы можем определить канал ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ такой, что

${ displaystyle d_ {A} I_ {A} otimes { mathcal {E}} ^ { dagger} (| phi ^ {+} rangle langle phi ^ {+} |) = E_ {AB} }$

где состояние колокола определено над пространством ${ displaystyle AA '}$. Это означает, что мы можем выразить целевую функцию двойственной задачи как

${ displaystyle langle rho _ {AB}, E_ {AB} rangle = d_ {A} langle rho _ {AB}, I_ {A} otimes { mathcal {E}} ^ { dagger} (| phi ^ {+} rangle langle phi ^ {+} |) rangle}$

${ displaystyle = d_ {A} langle I_ {A} otimes { mathcal {E}} ( rho _ {AB}), | phi ^ {+} rangle langle phi ^ {+} | ) rangle}$

по желанию.

Обратите внимание, что в случае, если система ${ displaystyle A}$ является частично классическим состоянием, как указано выше, то количество, которое мы ищем, сводится к

${ displaystyle max P_ {X} (x) langle x | { mathcal {E}} ( rho _ {B} ^ {x}) | x rangle ~.}$

Мы можем интерпретировать ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ в качестве стратегии угадывания, и это затем сводится к приведенной выше интерпретации, когда злоумышленник хочет найти строку ${ displaystyle x}$ предоставлен доступ к квантовой информации через систему ${ displaystyle B}$.

Смотрите также

• энтропия фон Неймана
• Обобщенная относительная энтропия
• макс-энтропия

Рекомендации