Изоморфизм Чоя – Ямиолковского - Choi–Jamiołkowski isomorphism

В квантовая теория информации и теория операторов, то Изоморфизм Чоя – Ямиолковского относится к соответствию между квантовые каналы (описанный полные положительные карты ) и квантовых состояний (описываемых матрицы плотности ), это вводится М. Д. Чой^[1] и А. Ямиолковский.^[2] Его еще называют дуальность каналов и состояний некоторыми авторами в области квантовой информации,^[3] но математически это более общее соответствие между положительными операторами и полными положительными супероператорами.^{[нужна цитата ]}

Определение

Изучить квантовый канал ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ из системы ${ displaystyle S}$ к ${ displaystyle S '}$, которое является сохраняющим след полным положительным отображением из операторных пространств ${ Displaystyle { mathcal {L}} ({ mathcal {H}} _ {S})}$ к ${ Displaystyle { mathcal {L}} ({ mathcal {H}} _ {S '})}$введем вспомогательную систему ${ displaystyle A}$ того же размера, что и система ${ displaystyle S}$. Рассмотрим максимально запутанное состояние

${ displaystyle | Phi ^ {+} rangle = { frac {1} { sqrt {d}}} sum _ {i = 0} ^ {d-1} | i rangle otimes | i rangle = { frac {1} { sqrt {d}}} (| 0 rangle otimes | 0 rangle + cdots + | d-1 rangle otimes | d-1 rangle)}$

в пространстве ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {A} otimes { mathcal {H}} _ {S}}$, поскольку ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ полностью положительный, ${ Displaystyle I otimes { mathcal {E}} (| Phi ^ {+} rangle langle Phi ^ {+} |)}$ - неотрицательный оператор. Наоборот, для любого неотрицательного оператора на ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {A} otimes { mathcal {H}} _ {S '}}$, мы можем связать полное положительное отображение из ${ Displaystyle { mathcal {L}} ({ mathcal {H}} _ {S})}$к ${ Displaystyle { mathcal {L}} ({ mathcal {H}} _ {S '})}$такое соответствие называется изоморфизмом Чоя – Ямиолковского.

Рекомендации