Теорема Минковского – Главки - Minkowski–Hlawka theorem

В математика, то Теорема Минковского – Главки это результат на решетчатая упаковка из гиперсферы в измерении п > 1. В нем говорится, что существует решетка в Евклидово пространство измерения п, такая, что соответствующая наилучшая упаковка гиперсфер с центрами в точки решетки имеет плотность Δ, удовлетворяющая

{ displaystyle Delta geq { frac { zeta (n)} {2 ^ {n-1}}},}

с ζ Дзета-функция Римана. Здесь как п → ∞, ζ (п) → 1. Доказательство этой теоремы является косвенным и не дает явного примера, однако до сих пор не существует известного простого и явного способа построения решеток с плотностями упаковки, превышающими эту оценку, для произвольных п. В принципе, можно найти явные примеры: например, даже простой выбор нескольких «случайных» решеток сработает с большой вероятностью. Проблема в том, что для проверки этих решеток, чтобы увидеть, являются ли они решениями, требуется найти их кратчайшие векторы, а количество проверок очень быстро растет с увеличением размерности, так что это может занять очень много времени.

Этот результат без доказательства сформулирован Герман Минковски (1911, стр. 265–276) и доказано Эдмунд Главка (1943 ). Результат связан с линейным нижняя граница для Постоянная Эрмита.

Теорема Зигеля

Сигель (1945) доказал следующее обобщение теоремы Минковского – Главки. Если S является ограниченным множеством в р^п с объемом Жордана об. (S), то среднее число ненулевых векторов решетки в S это объем (S)/D, где среднее берется по всем решеткам с фундаментальной областью объема D, и аналогично среднее число примитивных векторов решетки в S это объем (S)/Dζ (п).

Теорема Минковского – Главки легко следует отсюда, используя тот факт, что если S является звездообразным центрально-симметричным телом (например, шаром), содержащим менее двух примитивных векторов решетки, то оно не содержит ненулевых векторов решетки.

Смотрите также

Гипотеза Кеплера

Теорема Минковского – Главки - Minkowski–Hlawka theorem

Теорема Зигеля

Смотрите также

Рекомендации