Адаптивный фильтр в частотной области с блоком с несколькими задержками - Multidelay block frequency domain adaptive filter

В блокирующий адаптивный фильтр в частотной области с множественной задержкой (MDF) алгоритм представляет собой блочную реализацию (нормализованной) частотной области Фильтр наименьших средних квадратов (LMS) алгоритм.

Вступление

Алгоритм MDF основан на том факте, что свертки могут быть эффективно вычислены в частотной области (благодаря быстрое преобразование Фурье ). Однако алгоритм отличается от алгоритма. быстрый алгоритм LMS при этом размер используемого блока может быть меньше длины фильтра. Если оба равны, то MDF сводится к алгоритму FLMS.

Преимущества MDF перед алгоритмом (N) LMS:

• Более низкая алгоритмическая сложность
• Частичная декорреляция входных данных (что «может» привести к более быстрой сходимости)

Определения переменных

Позволять ${displaystyle N}$ быть длиной блоков обработки, ${displaystyle K}$ быть количеством блоков и ${displaystyle mathbf {F}}$ Обозначим матрицу преобразования Фурье 2Nx2N. Переменные определены как:

${displaystyle {underline {mathbf {e}}} (ell) = mathbf {F} left [mathbf {0} _ {1xN}, e (ell N), dots, e (ell NN-1) ight] ^ {T }}$

${displaystyle {подчеркивание {mathbf {x}}} _ {k} (ell) = mathrm {diag} left {mathbf {F} left [x ((ell -k + 1) N), точки, x ((ell - k-1) N-1) ight] ^ {T} ight}}$

${displaystyle {underline {mathbf {X}}} (ell) = left [{underline {mathbf {x}}} _ {0} (ell), {underline {mathbf {x}}} _ {1} (ell) , точки, {подчеркивание {mathbf {x}}} _ {K-1} (ell) ight]}$

${displaystyle {underline {mathbf {d}}} (ell) = mathbf {F} left [mathbf {0} _ {1xN}, d (ell N), dots, d (ell NN-1) ight] ^ {T }}$

С матрицами нормализации ${displaystyle mathbf {G} _ {1}}$ и ${displaystyle mathbf {G} _ {2}}$:

${displaystyle mathbf {G} _ {1} = mathbf {F} {egin {bmatrix} mathbf {0} _ {N imes N} & mathbf {0} _ {N imes N} mathbf {0} _ {N imes N } & mathbf {I} _ {N imes N} end {bmatrix}} mathbf {F} ^ {H}}$

${displaystyle {ilde {mathbf {G}}} _ {2} = mathbf {F} {egin {bmatrix} mathbf {I} _ {N imes N} & mathbf {0} _ {N imes N} mathbf {0} _ {N imes N} & mathbf {0} _ {N imes N} end {bmatrix}} mathbf {F} ^ {H}}$

${displaystyle mathbf {G} _ {2} = operatorname {diag} left {{ilde {mathbf {G}}} _ {2}, {ilde {mathbf {G}}} _ {2}, точки, {ilde { mathbf {G}}} _ {2} ight}}$

На практике при умножении вектора-столбца ${displaystyle mathbf {x}}$ к ${displaystyle mathbf {G} _ {1}}$, возьмем обратное БПФ ${displaystyle mathbf {x}}$, установите первый ${displaystyle N}$ значения в результате к нулю, а затем выполнить БПФ. Это предназначено для устранения эффекта круговой свертки.

Описание алгоритма

Для каждого блока алгоритм MDF вычисляется как:

${displaystyle {underline {hat {mathbf {y}}}} (ell) = mathbf {G} _ {1} {underline {mathbf {X}}} (ell) {underline {hat {mathbf {h}}}} (ell -1)}$

${displaystyle {underline {mathbf {e}}} (ell) = {underline {mathbf {d}}} (ell) - {underline {hat {mathbf {y}}}} (ell)}$

${displaystyle mathbf {Phi} _ {mathbf {xx}} (ell) = {underline {mathbf {X}}} ^ {H} (ell) {underline {mathbf {X}}} (ell)}$

${displaystyle {underline {hat {mathbf {h}}}} (ell) = {underline {hat {mathbf {h}}}} (ell -1) + mu mathbf {G} _ {2} mathbf {Phi} _ {mathbf {xx}} ^ {- 1} (ell) {подчеркивание {mathbf {X}}} ^ {H} (ell) {подчеркивание {mathbf {e}}} (ell)}$

Стоит отметить, что, хотя алгоритм легче выразить в матричной форме, фактическая реализация не требует матричного умножения. Например, вычисление матрицы нормализации ${displaystyle mathbf {Phi} _ {mathbf {xx}} = {подчеркивание {mathbf {X}}} ^ {H} (ell) {подчеркивание {mathbf {X}}} (ell)}$ сводится к поэлементному векторному умножению, потому что ${displaystyle {underline {mathbf {X}}} (ell)}$ блочно-диагональный. То же самое и с другими умножениями.

Рекомендации

• Ж.-С. Су и К. Панг, "Адаптивный фильтр в частотной области с блоком с несколькими задержками,” Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, т. 38, нет. 2. С. 373–376, 1990.
• Х. Бюхнер, Дж. Бенести, В. Келлерманн, "Расширенный фильтр с множественной задержкой: быстрые алгоритмы с малой задержкой для адаптивных систем очень высокого порядка". Proc. IEEE Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP), 2003.
• Бесплатная реализация алгоритма MDF доступна в Speex (основной исходный файл )

Смотрите также

• Адаптивный фильтр
• Рекурсивный метод наименьших квадратов
• Статистические методы, относящиеся к фильтру LMS, см. Наименьших квадратов.