Тета-функции Невилля - Neville theta functions

В математике Тета-функции Невилля, названный в честь Эрик Гарольд Невилл,^[1] определяются следующим образом:^[2][3][4]

${ displaystyle theta _ {c} (z, m) = { frac {{ sqrt {2 pi}} , q (m) ^ {1/4}} {m ^ {1/4} { sqrt {K (m)}}}} , , sum _ {k = 0} ^ { infty} (q (m)) ^ {k (k + 1)} cos left ({ гидроразрыв {(2k + 1) pi z} {2K (m)}} right)}$

${ displaystyle theta _ {d} (z, m) = { frac { sqrt {2 pi}} {2 { sqrt {K (m)}}}} , , left (1+ 2 , sum _ {k = 1} ^ { infty} (q (m)) ^ {k ^ {2}} cos left ({ frac { pi zk} {K (m)}} верно-верно)}$

${ displaystyle theta _ {n} (z, m) = { frac { sqrt {2 pi}} {2 (1-m) ^ {1/4} { sqrt {K (m)}} }} , , left (1 + 2 sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} (q (m)) ^ {k ^ {2}} cos left ({ frac { pi zk} {K (m)}} right) right)}$

${ displaystyle theta _ {s} (z, m) = { frac {{ sqrt {2 pi}} , q (m) ^ {1/4}} {m ^ {1/4} ( 1-m) ^ {1/4} { sqrt {K (m)}}}} , , sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} (q ( m)) ^ {k (k + 1)} sin left ({ frac {(2k + 1) pi z} {2K (m)}} right)}$

где: K (m) - полная эллиптический интеграл первого рода, K '(m) = K (1-m) и ${ Displaystyle д (м) = е ^ {- пи К '(м) / К (м)}}$ - эллиптический ном.

Отметим, что функции θ_п(z, m) иногда определяются в терминах нома q (м) и написано θ_п(z, q) (например, NIST^[5]). Функции также можно записать через параметр τ θ_п(z | τ) где ${ Displaystyle д = е ^ {я пи тау}}$.

Связь с другими функциями

Тэта-функции Невилля могут быть выражены через тэта-функции Якоби^[5]

${ displaystyle theta _ {s} (z | tau) = theta _ {23} (0 | tau) theta _ {1} (z '| tau) / theta' _ {1} ( 0 | тау)}$

${ Displaystyle тета _ {с} (г | тау) = тета _ {2} (г '| тау) / тета _ {2} (0 | тау)}$

${ Displaystyle тета _ {п} (г | тау) = тета _ {4} (г '| тау) / тета _ {4} (0 | тау)}$

${ Displaystyle тета _ {d} (г | тау) = тета _ {3} (г '| тау) / тета _ {3} (0 | тау)}$

где ${ displaystyle z '= z / theta _ {3} (0 | tau) ^ {2}}$.

Тета-функции Невилля связаны с Эллиптические функции Якоби. Если pq (u, m) - эллиптическая функция Якоби (p и q - одно из s, c, n, d), то

${ displaystyle operatorname {pq} (u, m) = { frac { theta _ {p} (u, m)} { theta _ {q} (u, m)}}}$

Примеры

Замена z = 2.5, м = 0,3 в приведенные выше определения тета-функций Невилля (используя Клен ) после получения следующего (в соответствии с результатами вольфрам математика).

• ${ displaystyle theta _ {c} (2.5,0.3) = - 0,65900466676738154967}$^[6]
• ${ displaystyle theta _ {d} (2.5,0.3) = 0.95182196661267561994}$
• ${ displaystyle theta _ {n} (2.5,0.3) = 1.0526693354651613637}$
• ${ displaystyle theta _ {s} (2.5,0.3) = 0.82086879524530400536}$

Симметрия

• ${ Displaystyle тета _ {с} (г, м) = тета _ {с} (- г, м)}$
• ${ displaystyle theta _ {d} (z, m) = theta _ {d} (- z, m)}$
• ${ Displaystyle тета _ {п} (г, м) = тета _ {п} (- г, м)}$
• ${ displaystyle theta _ {s} (z, m) = - theta _ {s} (- z, m)}$

Сложные 3D-графики

Реализация

NetvilleThetaC [z, m], NevilleThetaD [z, m], NevilleThetaN [z, m] и NevilleThetaS [z, m] являются встроенными функциями системы Mathematica.^[7]В Maple таких функций нет.

Заметки

использованная литература

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• Невилл, Э. Х. (Эрик Гарольд) (1944). Эллиптические функции Якоби. Oxford Clarendon Press.
• Вайсштейн, Эрик В. "Функции Невилла Тета". MathWorld.