Неоднородная выборка - Википедия - Nonuniform sampling

Неравномерный отбор проб это раздел теории выборки, включающий результаты, связанные с Теорема выборки Найквиста – Шеннона. Неравномерный отбор проб основан на Интерполяция Лагранжа и взаимосвязь между собой и теоремой (равномерной) выборки. Неоднородная выборка является обобщением теоремы Уиттекера – Шеннона – Котельникова (WSK) по выборке.

Теория выборки Шеннона может быть обобщена на случай неоднородных выборок, то есть выборок, взятых не через равные промежутки времени. Теория выборки Шеннона для неравномерной выборки утверждает, что сигнал с ограниченной полосой частот может быть полностью восстановлен из его выборок, если средняя частота дискретизации удовлетворяет условию Найквиста.^[1] Следовательно, хотя равномерно разнесенные выборки могут привести к упрощению алгоритмов восстановления, это не является необходимым условием для идеальной реконструкции.

Общая теория для образцов без основной полосы частот и неоднородных образцов была разработана в 1967 г. Генри Ландау.^[2] Он доказал, что средняя частота дискретизации (однородная или нет) должна быть вдвое больше. занят ширина полосы сигнала, если предположить, что это априори Известно, какая часть спектра была занята. В конце 1990-х эта работа была частично расширена для охвата сигналов, для которых была известна величина занимаемой полосы частот, но фактическая занятая часть спектра была неизвестна.^[3] В 2000-х годах была разработана полная теория (см. Раздел Помимо Найквиста ниже) используя сжатое зондирование. В частности, теория, использующая язык обработки сигналов, описана в этой статье 2009 года.^[4] Они показывают, среди прочего, что если частотные местоположения неизвестны, то необходимо выполнить выборку, по крайней мере, в два раза больше критериев Найквиста; Другими словами, вы должны заплатить по крайней мере в 2 раза за незнание местоположения спектр. Обратите внимание, что минимальные требования к отбору образцов не обязательно гарантируют числовая стабильность.

Лагранжевая (полиномиальная) интерполяция

Для заданной функции можно построить многочлен степени п которая имеет то же значение, что и функция в п +1 балл.^[5]

Пусть п +1 балл, чтобы быть ${ displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {n}}$, а п +1 значение, которое будет ${ displaystyle w_ {0}, w_ {1}, ldots, w_ {n}}$.

Таким образом, существует единственный полином ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ такой, что

${ displaystyle p_ {n} (z_ {i}) = w_ {i}, { text {where}} i = 0,1, ldots, n.}$^[6]

Кроме того, можно упростить представление ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ с использованием интерполирующие полиномы интерполяции Лагранжа:

${ displaystyle I_ {k} (z) = { frac {(z-z_ {0}) (z-z_ {1}) cdots (z-z_ {k-1}) (z-z_ {k + 1}) cdots (z-z_ {n})} {(z_ {k} -z_ {0}) (z_ {k} -z_ {1}) cdots (z_ {k} -z_ {k-1 }) (z_ {k} -z_ {k + 1}) cdots (z_ {k} -z_ {n})}}}$^[7]

Из приведенного выше уравнения:

${ displaystyle I_ {k} (z_ {j}) = delta _ {k, j} = { begin {case} 0, & { text {if}} k neq j 1, & { текст {если}} k = j end {case}}}$

Как результат,

${ displaystyle p_ {n} (z) = sum _ {k = 0} ^ {n} w_ {k} I_ {k} (z)}$

${ displaystyle p_ {n} (z_ {j}) = w_ {j}, j = 0,1, ldots, n}$

Чтобы сделать полиномиальную форму более полезной:

${ Displaystyle G_ {n} (z) = (z-z_ {0}) (z-z_ {1}) cdots (z-z_ {n})}$

Таким образом, Формула интерполяции Лагранжа появляется:

${ displaystyle p_ {n} (z) = sum _ {k = 0} ^ {n} w_ {k} { frac {G_ {n} (z)} {(z-z_ {k}) G ' _ {n} (z_ {k})}}}$^[8]

Обратите внимание, что если ${ Displaystyle е (z_ {j}) = p_ {n} (z_ {j}), j = 0,1, ldots, n,}$, то приведенная выше формула становится:

${ displaystyle f (z) = sum _ {k = 0} ^ {n} f (z_ {k}) { frac {G_ {n} (z)} {(z-z_ {k}) G ' _ {n} (z_ {k})}}}$

Теорема отсчетов Уиттекера – Шеннона – Котельникова (WSK)

Whittaker пытался расширить интерполяцию Лагранжа от полиномов до целых функций. Он показал, что можно построить всю функцию^[9]

${ displaystyle C_ {f} (z) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} f (a + nW) { frac { sin [ pi (za-nW) / W]} {[ pi (za-nW) / W]}}}$

который имеет то же значение с ${ displaystyle f (z)}$ в точках ${ displaystyle z_ {n} = a + nW}$

Более того, ${ Displaystyle C_ {f} (г)}$ может быть записано в аналогичной форме последнего уравнения в предыдущем разделе:

${ displaystyle C_ {f} (z) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} f (z_ {n}) { frac {G (z)} {G '(z_ {n}) ) (z-z_ {n})}}, { text {где}} G (z) = sin [ pi (z-z_ {n}) / W] { text {и}} z_ {n } = a + nW}$

Когда а = 0 и W = 1, то приведенное выше уравнение становится почти таким же, как теорема WSK:^[10]

Если функцию f можно представить в виде

${ Displaystyle е (т) = int _ {- sigma} ^ { sigma} e ^ {jxt} g (x) , dx qquad (t in mathbb {R}), qquad forall г в L ^ {2} (- sigma, sigma),}$

тогда ж можно реконструировать по его образцам следующим образом:

${ displaystyle f (t) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} f left ({ frac {k pi} { sigma}} right) { frac { sin ( sigma tk pi)} { sigma tk pi}} qquad (t in mathbb {R})}$

Неравномерный отбор проб

Для последовательности ${ Displaystyle {т_ {к} } _ {к в mathbb {Z}}}$ удовлетворение^[11]

${ Displaystyle D = sup _ {к in mathbb {Z}} | t_ {k} -k | <{ frac {1} {4}},}$

тогда

${ displaystyle f (t) = sum _ {k = - infty} ^ { infty} f (t_ {k}) { frac {G (t)} {G '(t_ {k}) (t -t_ {k})}}, qquad forall f in B _ { pi} ^ {2}, qquad (t in mathbb {R}),}$

${ displaystyle { text {где}} G (t) = (t-t_ {0}) prod _ {k = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {t} {t_ { k}}} right) left (1 - { frac {t} {t _ {- k}}} right),}$ и ${ displaystyle B _ { sigma} ^ {2}.}$ является Пространство Бернштейна

${ Displaystyle { текст {и}} е (т)}$ сходится равномерно на компактах.^[12]

Вышеупомянутое называется теоремой Пэли – Винера – Левинсона, которая обобщает теорему WSK об отсчетах от однородных выборок к неоднородным выборкам. Оба они могут восстановить сигнал с ограниченной полосой частот из этих выборок соответственно.

Рекомендации

• Ф. Марвасти, Неоднородная выборка: теория и практика. Пленум Паблишерс Ко., 2001, стр. 123–140.