Нормальная функция - Википедия - Normal function
В аксиоматическая теория множеств, функция ж : Ord → Орд называется нормальный (или нормальная функция) тогда и только тогда, когда это непрерывный (с уважением к топология заказа ) и строго монотонно возрастающий. Это эквивалентно двум следующим условиям:
- Для каждого предельный порядковый номер γ (т.е. γ не является ни нулем, ни преемником), ж(γ) = Как дела {ж(ν) : ν < γ}.
- Для всех ординалов α < β, ж(α) < ж(β).
Примеры
Простая нормальная функция задается формулой ж(α) = 1 + α (видеть порядковая арифметика ). Но ж(α) = α +1 это нет нормальный. Если β фиксированный ординал, то функции ж(α) = β + α, ж(α) = β × α (за β ≥ 1), и ж(α) = βα (за β ≥ 2) все в норме.
Более важные примеры нормальных функций даются числа алеф которые соединяют порядковый номер и Количественные числительные, и числа Бет .
Характеристики
Если ж нормально, то для любого порядкового номера α,
- ж(α) ≥ α.[1]
Доказательство: Если нет, выберите γ минимальный такой, что ж(γ) < γ. С ж строго монотонно возрастает, ж(ж(γ)) < ж(γ), что противоречит минимальности γ.
Кроме того, для любого непустого множества S ординалов у нас есть
- ж(Как дела S) = sup ж(S).
Доказательство: «≥» следует из монотонности ж и определение супремум. Для «≤» установите δ = sup S и рассмотрим три случая:
- если δ = 0, то S = {0} и sup ж(S) = ж(0);
- если δ = ν +1 - это преемник, то существует s в S с ν < s, так что δ ≤ s. Следовательно, ж(δ) ≤ ж(s), откуда следует ж(δ) ≤ sup ж(S);
- если δ ненулевой предел, выберите любой ν < δ, и s в S такое, что ν < s (возможно, так как δ = sup S). Следовательно, ж(ν) < ж(s) так что ж(ν) ж(S), давая ж(δ) = sup {ж(ν): ν < δ} ≤ sup ж(S), по желанию.
Каждая нормальная функция ж имеет сколь угодно большие неподвижные точки; увидеть лемма о неподвижной точке для нормальных функций для доказательства. Можно создать нормальную функцию f ' : Ord → Ord, называется производная из ж, так что f ' (α) это α-я фиксированная точка ж.[2]
Примечания
- ^ Джонстон 1987, Упражнение 6.9, с. 77
- ^ Джонстон 1987, Упражнение 6.9, с. 77