Теорема о недействительности - Nullity theorem

В теорема о недействительности математический теорема о обратный из разделенная матрица, в котором говорится, что ничтожность блока в матрице равняется нулю дополнительного блока в его обратной матрице. Здесь ничтожество - это измерение ядро. Теорема была доказана в абстрактном контексте. Густафсон (1984), а для матриц - (Фидлер и Маркхэм 1986 ).

Разделите матрицу и ее обратную матрицу на четыре подматрицы:

${displaystyle {egin {bmatrix} A&B C & Dend {bmatrix}} ^ {- 1} = {egin {bmatrix} E&F G & Hend {bmatrix}}.}$

Перегородка с правой стороны должна быть транспонированной перегородкой с левой стороны в том смысле, что если А является м-к-п блок тогда E должен быть п-к-м блокировать.

Утверждение теоремы о нулевом значении теперь состоит в том, что нулевые значения блоков справа равны нулевым значениям блоков слева (Странг и Нгуен 2004 ):

${displaystyle {egin {align} operatorname {nullity}, A & = operatorname {nullity}, H, operatorname {nullity}, B & = operatorname {nullity}, F, operatorname {nullity}, C & = operatorname {nullity}, G , operatorname {nullity}, D & = operatorname {nullity}, E.end {выровнено}}}$

В более общем смысле, если подматрица сформирована из строк с индексами {я₁, я₂, …, я_м} и столбцы с индексами {j₁, j₂, …, j_п}, то дополнительная подматрица формируется из строк с индексами {1, 2, 窶 ｦ, N} {j₁, j₂, …, j_п} и столбцы с индексами {1, 2, 窶 ｦ, N} {я₁, я₂, …, я_м}, куда N это размер всей матрицы. Теорема о недействительности утверждает, что недействительность любой подматрицы равна аннулированию дополнительной подматрицы обратной.

Рекомендации

• Густафсон, Уильям Х. (1984), «Заметка об обращении матриц», Линейная алгебра и ее приложения, 57: 71–73, Дои:10.1016/0024-3795(84)90177-0, ISSN  0024-3795.
• Фидлер, Мирослав; Маркхэм, Томас Л. (1986), «Завершение матрицы, когда указаны некоторые элементы ее обратной», Линейная алгебра и ее приложения, 74 (1–3): 225–237, Дои:10.1016/0024-3795(86)90125-4, ISSN  0024-3795.
• Стрэнг, Гилберт; Нгуен, Три (2004), «Взаимодействие рангов подматриц» (PDF), SIAM Обзор, 46 (4): 637–646, Дои:10.1137 / S0036144503434381, ISSN  1095-7200.