Метод Нистрома - Nyström method

эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью от обеспечение большего контекста для читателя. (Октябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В численный анализ, то Метод Нистрома^[1] или квадратурный метод ищет численное решение из интегральное уравнение путем замены интеграла представительной взвешенной суммой. Непрерывная проблема разбита на ${displaystyle n}$ дискретные интервалы; квадратура или численное интегрирование определяет веса и расположение репрезентативных точек интеграла.

Проблема становится система линейных уравнений с участием ${displaystyle n}$ уравнения и ${displaystyle n}$ неизвестных, а основная функция неявно представлена ​​интерполяцией с использованием выбранного квадратурного правила. Эта дискретная задача может быть плохо обусловлена ​​в зависимости от исходной задачи и выбранного квадратурного правила.

Поскольку линейные уравнения требуют ${displaystyle O (n ^ {3})}$ операций для решения, квадратурные правила высокого порядка работают лучше, потому что квадратурные правила низкого порядка требуют больших ${displaystyle n}$ для заданной точности. Квадратура Гаусса обычно хороший выбор для гладких, неособых задач.

Дискретность интеграла

Стандартные квадратурные методы стремятся представить интеграл в виде взвешенной суммы следующим образом:

${displaystyle int _ {a} ^ {b} h (x); mathrm {d} xapprox sum _ {k = 1} ^ {n} w_ {k} h (x_ {k})}$

где ${displaystyle w_ {k}}$ - веса квадратурного правила, а точки ${displaystyle x_ {k}}$ абсциссы.

пример

Применяя это к неоднородным Уравнение фредгольма второго рода

${displaystyle f (x) = lambda u (x) -int _ {a} ^ {b} K (x, x ') f (x'); mathrm {d} x '}$,

приводит к

${displaystyle f (x) приблизительно лямбда u (x) -sum _ {k = 1} ^ {n} w_ {k} K (x, x_ {k}) f (x_ {k})}$.

Смотрите также

• Метод граничных элементов

использованная литература

• Леонард М. Дельвес и Джоан Э. Уолш (ред.): Численное решение интегральных уравнений., Кларендон, Оксфорд, 1974.
• Ханс-Юрген Райнхардт: Анализ методов приближения дифференциальных и интегральных уравнений, Спрингер, Нью-Йорк, 1985.