Оптимальные проекционные уравнения - Optimal projection equations

В теория управления, оптимальные проекционные уравнения ^[1][2][3] составлять необходимые и достаточные условия для локально оптимального регулятора LQG пониженного порядка.^[4]

В линейно-квадратично-гауссовская (LQG) задача управления один из самых фундаментальных оптимальный контроль проблемы. Это касается неопределенных линейные системы обеспокоенный аддитивный белый гауссов шум, неполная информация о состоянии (т.е. не все переменные состояния измеряются и доступны для обратной связи) также нарушается аддитивным белым гауссовским шумом и квадратичным расходы. Более того, решение является уникальным и представляет собой линейный закон управления с динамической обратной связью, который легко вычислить и реализовать. Наконец, контроллер LQG также является фундаментальным для оптимального управления возмущениями нелинейных систем.^[5]

Сам контроллер LQG представляет собой динамическую систему, как и система, которой он управляет. Обе системы имеют одинаковое измерение состояния. Следовательно, реализация контроллера LQG может быть проблематичной, если размерность состояния системы велика. В проблема LQG пониженного порядка (проблема LQG фиксированного порядка) преодолевает это, фиксируя априори количество состояний контроллера LQG. Эту проблему решить сложнее, потому что она больше не отделима. Также решение больше не является уникальным. Несмотря на это, численные алгоритмы доступны. ^[4][6][7][8] для решения связанных уравнений оптимальной проекции.

Постановка и решение математической задачи

Непрерывное время

Задача управления LQG пониженного порядка практически идентична задаче обычная задача управления LQG полного порядка. Позволять ${ Displaystyle { шляпа { mathbf {х}}} _ {г} (т)}$ представляют состояние контроллера LQG пониженного порядка. Тогда единственная разница в том, что размерность состояния ${ Displaystyle п_ {г} = тусклый ({ шляпа { mathbf {x}}} _ {г} (т))}$ контроллера LQG априори фиксировано меньше, чем ${ Displaystyle п = тусклый ({ mathbf {x}} (т))}$, государственное измерение управляемой системы.

Регулятор LQG пониженного порядка представлен следующими уравнениями:

${ displaystyle { dot { hat { mathbf {x}}}} _ {r} (t) = A_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t ) + B_ {r} (t) { mathbf {u}} (t) + K_ {r} (t) left ({ mathbf {y}} (t) -C_ {r} (t) { шляпа { mathbf {x}}} _ {r} (t) right), { hat { mathbf {x}}} _ {r} (0) = { mathbf {x}} _ {r} (0),}$

${ displaystyle { mathbf {u}} (t) = - L_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t).}$

Эти уравнения намеренно сформулированы в формате, равном формату обычный контроллер LQG полного порядка. Для задачи управления LQG пониженного порядка их удобно переписать в виде

${ displaystyle { dot { hat { mathbf {x}}}} _ {r} (t) = F_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t ) + K_ {r} (t) { mathbf {y}} (t), { hat { mathbf {x}}} _ {r} (0) = { mathbf {x}} _ {r} (0),}$

${ displaystyle { mathbf {u}} (t) = - L_ {r} (t) { hat { mathbf {x}}} _ {r} (t),}$

куда

${ Displaystyle F_ {r} (t) = A_ {r} (t) -B_ {r} (t) L_ {r} (t) -K_ {r} (t) C_ {r} (t).}$

Матрицы ${ Displaystyle F_ {r} (t), K_ {r} (t), L_ {r} (t)}$ и ${ displaystyle { mathbf {x}} _ {r} (0)}$ регулятора LQG пониженного порядка определяются так называемыми оптимальные проекционные уравнения (OPE).^[3]

Квадратная матрица оптимальной проекции ${ Displaystyle тау (т)}$ с размером ${ displaystyle n}$ занимает центральное место в OPE. Ранг этой матрицы почти всюду равен ${ displaystyle n_ {r}.}$ Связанная проекция представляет собой наклонную проекцию: ${ Displaystyle тау ^ {2} (т) = тау (т).}$ В OPE составляют четыре матричных дифференциальных уравнения. Первые два уравнения, перечисленные ниже, являются обобщениями матричных дифференциальных уравнений Риккати, связанных с обычный LQG-контроллер полного порядка. В этих уравнениях ${ Displaystyle тау _ { перп} (т)}$ обозначает ${ Displaystyle I_ {п} - тау (т)}$ куда ${ displaystyle I_ {n}}$ это единичная матрица размерности ${ displaystyle n}$.

${ Displaystyle { begin {align} { dot {P}} (t) = {} & A (t) P (t) + P (t) A '(t) -P (t) C' (t) W ^ {- 1} (t) C (t) P (t) + V (t) [6pt] & {} + tau _ { perp} (t) P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t) P (t) tau '_ { perp} (t), [6pt] P (0) = {} & E left ({ mathbf {x }} (0) { mathbf {x}} '(0) right), [6pt] & {} - { dot {S}} (t) = A' (t) S (t) + S (t) A (t) -S (t) B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t) + Q (t) [6pt] & {} + tau '_ { perp} (t) S (t) B (t) R ^ {- 1} (t) B' (t) S (t) tau _ { perp} (t), end { выровнено}}}$

${ Displaystyle S (T) = F.}$

Если габариты контроллера LQG не уменьшаются, то есть если ${ displaystyle n = n_ {r}}$, тогда ${ Displaystyle тау (т) = I_ {п}, тау _ { перп} (т) = 0}$ и два приведенных выше уравнения становятся несвязанными матричными дифференциальными уравнениями Риккати, связанными с обычный LQG-контроллер полного порядка. Если ${ displaystyle n_ {r}$ два уравнения связаны наклонной проекцией ${ Displaystyle тау (т).}$ Это показывает, почему проблема LQG уменьшенного порядка не отделяемый. Косая проекция ${ Displaystyle тау (т)}$ определяется из двух дополнительных матричных дифференциальных уравнений, которые включают условия ранга. Вместе с двумя предыдущими матричными дифференциальными уравнениями это OPE. Чтобы сформулировать два дополнительных матричных дифференциальных уравнения, удобно ввести следующие две матрицы:

${ Displaystyle Psi _ {1} (t) = (A (t) -B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t)) { hat {P}} ( t) + { hat {P}} (t) (A (t) -B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t))'}$

${ Displaystyle {} + P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t) P (t),}$

${ Displaystyle Psi _ {2} (t) = (A (t) -P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t))' { hat {S}} (t) + { hat {S}} (t) (A (t) -P (t) C '(t) W ^ {- 1} (t) C (t))}$

${ displaystyle {} + S (t) B (t) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t).}$

Тогда два дополнительных матричных дифференциальных уравнения, которые завершают OPE являются следующими:

${ Displaystyle { точка { шляпа {P}}} (т) = 1/2 влево ( тау (т) пси _ {1} (т) + пси _ {1} (т) тау '(t) right), { hat {P}} (0) = E ({ mathbf {x}} (0)) E ({ mathbf {x}} (0))', operatorname { ранг} ({ hat {P}} (t)) = n_ {r}}$ почти всюду,

${ Displaystyle - { точка { шляпа {S}}} (т) = 1/2 влево ( тау '(т) пси _ {2} (т) + пси _ {2} (т) tau (t) right), { hat {S}} (T) = 0, operatorname {rank} ({ hat {S}} (t)) = n_ {r}}$ почти всюду,

с

${ displaystyle tau (t) = { hat {P}} (t) { hat {S}} (t) left ({ hat {P}} (t) { hat {S}} ( t) right) ^ {*}.}$

Здесь * обозначает обобщенно обратную группу или Инверсия Дразина это уникально и дано

${ displaystyle A ^ {*} = A (A ^ {3}) ^ {+} A.}$

где + обозначает Псевдообратная матрица Мура – ​​Пенроуза.

Матрицы ${ Displaystyle P (т), S (т), { шляпа {P}} (т), { шляпа {S}} (т)}$ все должно быть неотрицательно симметричный. Тогда они составляют решение OPE определяющий матрицы регуляторов LQG пониженного порядка ${ Displaystyle F_ {r} (t), K_ {r} (t), L_ {r} (t)}$ и ${ displaystyle { mathbf {x}} _ {r} (0)}$:

${ Displaystyle F_ {г} (т) = ЧАС (т) слева (А (т) -Р (т) С '(т) W ^ {- 1} (т) С (т) -В (т) R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t) right) G (t) + { dot {H}} (t) G' (t),}$

${ Displaystyle К_ {г} (т) = ЧАС (т) Р (т) С '(т) W ^ {- 1} (т),}$

${ Displaystyle L_ {r} (t) = R ^ {- 1} (t) B '(t) S (t) G' (t),}$

${ displaystyle { mathbf {x}} _ {r} (0) = H (0) E ({ mathbf {x}} (0)).}$

В приведенных выше уравнениях матрицы ${ Displaystyle G (т), Ч (т)}$ две матрицы со следующими свойствами:

${ Displaystyle G '(t) H (t) = tau (t), G (t) H' (t) = I_ {n_ {r}}}$ почти всюду.

Их можно получить из проективной факторизации ${ Displaystyle { шляпа {P}} (т) { шляпа {S}} (т)}$.^[4]

В OPE можно выразить разными способами, которые все равнозначны. Для идентификации эквивалентных представлений особенно полезны следующие идентификаторы:

${ displaystyle tau (t) { hat {P}} (t) = { hat {P}} (t) tau '(t) = { hat {P}} (t), tau' (t) { hat {S}} (t) = { hat {S}} (t) tau (t) = { hat {S}} (t)}$

Используя эти тождества, можно, например, переписать первые два уравнения оптимальной проекции следующим образом:

${ Displaystyle { точка {P}} (t) = A (t) P (t) + P (t) A '(t) -P (t) C' (t) W ^ {- 1} (t ) C (t) P (t) + V (t) + tau _ { perp} (t) Psi _ {1} (t) tau '_ { perp} (t),}$

${ Displaystyle P (0) = E left ({ mathbf {x}} (0) { mathbf {x}} '(0) right),}$

${ Displaystyle - { точка {S}} (t) = A '(t) S (t) + S (t) A (t) -S (t) B (t) R ^ {- 1} (t ) B '(t) S (t) + Q (t) + tau' _ { perp} Psi _ {2} (t) tau _ { perp} (t),}$

${ Displaystyle S (T) = F.}$

Это представление относительно просто и подходит для численных расчетов.

Если все матрицы в постановке задачи LQG пониженного порядка инвариантны во времени и если горизонт ${ displaystyle T}$ стремится к бесконечности, оптимальный LQG-контроллер пониженного порядка становится инвариантным во времени, как и OPE.^[1] В этом случае производные в левой части OPE равны нулю.

Дискретное время

Как и в случае непрерывного времени, в случае дискретного времени разница с обычная дискретная задача полного порядка LQG является априори фиксированным приведенным порядком ${ displaystyle n_ {r}$ измерения состояния контроллера LQG. Как и в непрерывном времени, чтобы указать дискретное время OPE удобно ввести следующие две матрицы:

${ displaystyle Psi _ {i} ^ {1} = left (A_ {i} -B_ {i} (B '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i}) ^ {-1} B '_ {i} S_ {i + 1} A_ {i}) right) { hat {P}} _ {i} left (A_ {i} -B_ {i} (B' _ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i}) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} A_ {i}) right)'}$

${ displaystyle {} + A_ {i} P_ {i} C '_ {i} (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i}) ^ {- 1} C_ {i} P_ {i} A '_ {i}}$

${ displaystyle Psi _ {i + 1} ^ {2} = left (A_ {i} -A_ {i} P_ {i} C '_ {i} (C_ {i} P_ {i} C'_ {i} + W_ {i}) ^ {- 1} C_ {i} right) '{ hat {S}} _ {i + 1} left (A_ {i} -A_ {i} P_ {i } C '_ {i} (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i}) ^ {- 1} C_ {i} right)}$

${ displaystyle {} + A '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} (B' _ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i}) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} A_ {i}}$

Тогда дискретное время OPE является

${ displaystyle P_ {i + 1} = A_ {i} left (P_ {i} -P_ {i} C '_ {i} left (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i} right) ^ {- 1} C_ {i} P_ {i} right) A '_ {i} + V_ {i} + tau _ { perp i + 1} Psi _ {i } ^ {1} tau '_ { perp i + 1}, P_ {0} = E left ({ mathbf {x}} _ {0} { mathbf {x'}} _ {0} верно)}$.

${ displaystyle S_ {i} = A '_ {i} left (S_ {i + 1} -S_ {i + 1} B_ {i} left (B' _ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i} right) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} right) A_ {i} + Q_ {i} + tau' _ { perp i} Psi _ {i + 1} ^ {2} tau _ { perp i}, S_ {N} = F}$.

${ Displaystyle { шляпа {P}} _ {я + 1} = 1/2 ( тау _ {я + 1} Psi _ {i} ^ {1} + Psi _ {i} ^ {1} tau '_ {i + 1}), { hat {P}} _ {0} = E ({ mathbf {x}} (0)) E ({ mathbf {x}} (0))' , operatorname {rank} ({ hat {P}} _ {i}) = n_ {r}}$ почти всюду,

${ displaystyle { hat {S}} _ {i} = 1/2 ( tau '_ {i} Psi _ {i + 1} ^ {2} + Psi _ {i + 1} ^ {2 } tau _ {i}), { hat {S}} _ {N} = 0, operatorname {rank} ({ hat {S}} _ {i}) = n_ {r}}$ почти всюду.

Матрица наклонной проекции имеет вид

${ displaystyle tau _ {i} = { hat {P}} _ {i} { hat {S}} _ {i} left ({ hat {P}} _ {i} { hat { S}} _ {i} right) ^ {*}.}$

В неотрицательные симметричные матрицы ${ displaystyle P_ {i}, S_ {i}, { hat {P}} _ {i}, { hat {S}} _ {i}}$ которые решают дискретное время OPE определить матрицы регуляторов LQG пониженного порядка ${ displaystyle F_ {i} ^ {r}, K_ {i} ^ {r}, L_ {i} ^ {r}}$ и ${ displaystyle { mathbf {x}} _ {0} ^ {r}}$:

${ displaystyle F_ {i} ^ {r} = H_ {i + 1} left (A_ {i} -P_ {i} C '_ {i} left (C_ {i} P_ {i} C'_ {i} + W_ {i} right) ^ {- 1} C_ {i} -B_ {i} left (B '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i} right) ^ {- 1} B '_ {i} S_ {i + 1} right) G' _ {i},}$

${ displaystyle K_ {i} ^ {r} = H_ {i + 1} P_ {i} C '_ {i} left (C_ {i} P_ {i} C' _ {i} + W_ {i} right) ^ {- 1},}$

${ displaystyle L_ {i} ^ {r} = left (B '_ {i} S_ {i + 1} B_ {i} + R_ {i} right) ^ {- 1} B' _ {i} S_ {i + 1} G '_ {i},}$

${ displaystyle { mathbf {x}} _ {0} ^ {r} = H_ {0} E ({ mathbf {x}} _ {0}).}$

В приведенных выше уравнениях матрицы ${ displaystyle G_ {i}, H_ {i}}$ две матрицы со следующими свойствами:

${ displaystyle G '_ {i} H_ {i} = tau _ {i}, G_ {i} H' _ {i} = I_ {n_ {r}}}$ почти всюду.

Их можно получить из проективной факторизации ${ displaystyle { hat {P}} _ {i} { hat {S}} _ {i}}$.^[4] Чтобы определить эквивалентные представления дискретное время OPE особенно полезны следующие удостоверения:

${ displaystyle tau _ {i} { hat {P}} _ {i} = { hat {P}} _ {i} tau '_ {i} = { hat {P}} _ {i }, tau '_ {i} { hat {S}} _ {i} = { hat {S}} _ {i} tau _ {i} = { hat {S}} _ {i} }$

Как и в случае непрерывного времени, если все матрицы в постановке задачи инвариантны во времени и если горизонт ${ displaystyle N}$ стремится к бесконечности, контроллер LQG пониженного порядка становится неизменным во времени. Затем ОПЕ с дискретным временем сходятся к решению установившегося состояния, которое определяет неизменяющийся во времени контроллер LQG пониженного порядка.^[2]

В дискретное время OPE применяются также к системам с дискретным временем с переменное состояние, входные и выходные размеры (системы с дискретным временем и изменяющимися во времени размерностями).^[6] Такие системы возникают в случае разработки цифрового контроллера, если выборка происходит асинхронно.

Рекомендации