Орбита (теория управления) - Orbit (control theory)

Понятие орбита системы управления, используемой в математической теория управления является частным случаем понятия орбита в теории групп.^[1]^[2]^[3]

Определение

Позволять ${displaystyle {} {точка {q}} = f (q, u)}$ быть ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {infty}}$ система управления, где ${displaystyle {q}}$ принадлежит конечномерному многообразию ${displaystyle M}$ и ${displaystyle u}$ принадлежит к контрольной группе ${displaystyle U}$ . Считайте семью ${displaystyle {mathcal {F}} = {f (cdot, u) mid uin U}}$ и предположим, что каждое векторное поле в ${displaystyle {mathcal {F}}}$ является полный.Для каждого ${displaystyle fin {mathcal {F}}}$ и каждый настоящий ${displaystyle t}$ , обозначим через ${displaystyle e ^ {tf}}$ то поток из ${displaystyle f}$ вовремя ${displaystyle t}$ .

Орбита системы управления ${displaystyle {} {точка {q}} = f (q, u)}$ через точку ${displaystyle q_ {0} в M}$ это подмножество ${displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ из ${displaystyle M}$ определяется

{displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}} = {e ^ {t_ {k} f_ {k}} circ e ^ {t_ {k-1} f_ {k-1}} кружки cdots circ e ^ {t_ {1} f_ {1}} (q_ {0}) mid kin mathbb {N}, t_ {1}, точки, t_ {k} в mathbb {R}, f_ {1}, точки, f_ { k} в {mathcal {F}}}.}

Замечания

Разница между орбитами и достижимые наборы в том, что, в то время как для достижимых наборов разрешены только движения вперед во времени, для орбит разрешены как движения вперед, так и назад. В частности, если семья ${displaystyle {mathcal {F}}}$ симметричен (т. е. ${displaystyle fin {mathcal {F}}}$ если и только если ${displaystyle -fin {mathcal {F}}}$ ), то орбиты и множества достижимости совпадают.

Гипотеза о том, что каждое векторное поле ${displaystyle {mathcal {F}}}$ является полным упрощает обозначения, но его можно опустить. В этом случае необходимо заменить потоки векторных полей на их локальные версии.

Теорема об орбите (Нагано – Сассманн)

Каждая орбита ${displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ является погруженное подмногообразие из ${displaystyle M}$ .

Касательное пространство к орбите ${displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ в какой-то момент ${displaystyle q}$ - линейное подпространство в ${displaystyle T_ {q} M}$ натянутые на векторы ${displaystyle P _ {*} f (q)}$ куда ${displaystyle P _ {*} f}$ обозначает продвигать из ${displaystyle f}$ к ${displaystyle P}$ , ${displaystyle f}$ принадлежит ${displaystyle {mathcal {F}}}$ и ${displaystyle P}$ является диффеоморфизмом ${displaystyle M}$ формы ${displaystyle e ^ {t_ {k} f_ {k}} circ cdots circ e ^ {t_ {1} f_ {1}}}$ с ${displaystyle kin mathbb {N}, t_ {1}, dots, t_ {k} в mathbb {R}}$ и ${displaystyle f_ {1}, dots, f_ {k} in {mathcal {F}}}$ .

Если все векторные поля семейства ${displaystyle {mathcal {F}}}$ аналитичны, то ${displaystyle T_ {q} {mathcal {O}} _ {q_ {0}} = mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}}}$ куда ${displaystyle mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}}}$ оценка на ${displaystyle q}$ из Алгебра Ли создано ${displaystyle {mathcal {F}}}$ с уважением к Скобка Ли векторных полей В противном случае включение ${displaystyle mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}} subset T_ {q} {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ Справедливо.

Следствие (теорема Рашевского – Чоу).

Если ${displaystyle mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}} = T_ {q} M}$ для каждого ${displaystyle qin M}$ и если ${displaystyle M}$ связно, то каждая орбита равна всему многообразию ${displaystyle M}$ .

Смотрите также

Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)

дальнейшее чтение

Аграчев Андрей; Сачков, Юрий (2004). «Теорема об орбите и ее приложения». Теория управления с геометрической точки зрения. Берлин: Springer. С. 63–80. ISBN 3-540-21019-9.

[1] Юрджевич, Велимир (1997). Геометрическая теория управления. Издательство Кембриджского университета. С. xviii + 492. ISBN 0-521-49502-4.^{[постоянная мертвая ссылка ]}

[2] Sussmann, Héctor J .; Юрджевич, Велимир (1972). «Управляемость нелинейных систем». J. Дифференциальные уравнения. 12 (1): 95–116. Дои:10.1016/0022-0396(72)90007-1.

[3] Суссманн, Эктор Дж. (1973). «Орбиты семейств векторных полей и интегрируемость распределений». Пер. Амер. Математика. Soc. Американское математическое общество. 180: 171–188. Дои:10.2307/1996660. JSTOR 1996660.

[1]

[2]

[3]