Подзадачи Падена – Кахана - Paden–Kahan subproblems

Подзадачи Падена – Кахана представляют собой набор решенных геометрических задач, которые часто возникают в обратная кинематика обычных роботов-манипуляторов.^[1] Хотя набор задач не является исчерпывающим, его можно использовать для упрощения обратного кинематического анализа для многих промышленных роботов.^[2]

Стратегии упрощения

Для структурного уравнения, определяемого произведение экспонент Для упрощения и решения обратной кинематической задачи можно использовать подзадачи Падена – Кахана. Примечательно, что матричные экспоненты не являютсякоммутативный.

Как правило, подзадачи применяются для решения конкретных точек в задаче обратной кинематики (например, пересечения осей суставов) для решения углов суставов.

Устранение поворотных суставов

Упрощение достигается тем принципом, что вращение не влияет на точку, лежащую на его оси. Например, если точка ${ textstyle p}$ находится на оси вращения ${ textstyle xi}$ , его положение не зависит от срабатывания скручивания. А именно:

{ Displaystyle е ^ {{ widehat { xi}} theta} p = p}

Таким образом, для структурного уравнения

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} = g}

где

{ textstyle xi _ {1}}

,

{ textstyle xi _ {2}}

и

{ textstyle xi _ {3}}

все повороты с нулевым шагом, применяя обе части уравнения к точке

{ textstyle p}

который находится на оси

{ textstyle xi _ {3}}

(но не по осям

{ textstyle xi _ {1}}

или

{ textstyle xi _ {2}}

) дает

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} p = gp}

Путем отмены

{ textstyle xi _ {3}}

, это дает

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = gp }

который, если

{ textstyle xi _ {1}}

и

{ textstyle xi _ {2}}

пересекаются, может быть решена с помощью Подзадачи 2.

Норма

В некоторых случаях проблему также можно упростить, вычтя точку из обеих частей уравнения и взяв норму результата.

Например, чтобы решить

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} = g}

для

{ textstyle xi _ {3}}

, где

{ textstyle xi _ {1}}

и

{ textstyle xi _ {2}}

пересекаться в точке

{ textstyle q}

, обе части уравнения могут быть применены к точке

{ textstyle p}

что не на оси

{ textstyle xi _ {3}}

. Вычитание

{ textstyle q}

и взяв норму обеих сторон, получаем

{ displaystyle { begin {align} delta _ {i} = | gp-q | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} (e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq) | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq | end { выровнено}}}

Это можно решить с помощью Подзадачи 3.

Список подзадач

Каждая подзадача представлена в виде алгоритма, основанного на геометрическом доказательстве. Код для решения данной подзадачи, который должен быть написан для учета случаев с несколькими решениями или без решения, может быть интегрирован в алгоритмы обратной кинематики для широкого круга роботов.

Подзадача 1: вращение вокруг одной оси

Иллюстрация первой подзадачи Падена – Кахана.

Позволять ${ textstyle xi}$ быть поворотом с нулевым шагом с единичной величиной и ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ быть двумя точками. найти ${ textstyle theta}$ такой, что

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} p = q.}

В этой подзадаче точка ${ textstyle p}$ вращается вокруг заданной оси ${ textstyle xi}$ такое, что он совпадает со второй точкой ${ textstyle q}$ .

Иллюстрация спроектированного круга в первой подзадаче Падена – Кахана.

Решение

Позволять ${ textstyle r}$ быть точкой на оси ${ textstyle xi}$ . Определите векторы ${ textstyle и = (п-р)}$ и ${ textstyle v = (д-р)}$ . поскольку ${ textstyle r}$ находится на оси ${ textstyle xi}$ , ${ textstyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} r = r.}$ Следовательно, ${ textstyle е ^ {{ widehat { omega}} theta} и = v.}$

Далее векторы ${ textstyle u '}$ и ${ textstyle v '}$ определяются как проекции ${ textstyle u}$ и ${ textstyle v}$ на плоскость, перпендикулярную оси ${ textstyle xi}$ . Для вектора ${ textstyle omega in mathbb {R}}$ в направлении оси ${ textstyle xi}$ ,

{ displaystyle u '= u- omega omega ^ {T} u}

и

{ Displaystyle v '= v- omega omega ^ {T} v.}

В том случае, если

{ textstyle u '= 0}

,

{ textstyle p = q}

и обе точки лежат на оси вращения. Таким образом, подзадача дает бесконечное количество возможных решений в этом случае.

Для того чтобы проблема имела решение, необходимо, чтобы проекции ${ textstyle u}$ и ${ textstyle v}$ на ${ textstyle omega}$ оси и на плоскость, перпендикулярную ${ textstyle omega}$ иметь одинаковую длину. Необходимо проверить, что:

{ displaystyle omega ^ {T} u = omega ^ {T} v}

и это

{ Displaystyle | и ' | = | v' |}

Если эти уравнения выполняются, значение угла сочленения ${ textstyle theta}$ можно найти с помощью atan2 функция:

{ displaystyle theta = mathrm {atan2} ( omega ^ {T} (u ' times v'), u '^ {T} v').}

При условии, что

{ textstyle u ' neq 0}

, эта подзадача должна дать одно решение для

{ textstyle theta}

.

Подзадача 2: вращение вокруг двух следующих друг за другом осей

Иллюстрация подзадачи Падена – Кахана 2. Подзадача дает два решения в случае, если окружности пересекаются в двух точках; одно решение, если окружности касательные; и нет решения, если круги не пересекаются.

Позволять ${ textstyle xi _ {1}}$ и ${ textstyle xi _ {2}}$ быть двумя поворотами с нулевым шагом с единичной величиной и пересекающимися осями. Позволять ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ быть двумя точками. найти ${ textstyle theta _ {1}}$ и ${ textstyle theta _ {2}}$ такой, что ${ Displaystyle е ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = q .}$

Эта проблема соответствует вращению ${ textstyle p}$ вокруг оси ${ textstyle xi _ {2}}$ от ${ textstyle theta _ {2}}$ , затем вращая его вокруг оси ${ textstyle xi _ {1}}$ от ${ textstyle theta _ {1}}$ , так что окончательное расположение ${ textstyle p}$ совпадает с ${ textstyle q}$ . (Если оси ${ textstyle xi _ {1}}$ и ${ textstyle xi _ {2}}$ совпадают, то эта задача сводится к подзадаче 1, допускающей все решения такие, что ${ textstyle theta _ {1} + theta _ {2} = theta}$ .)

Решение

При условии, что две оси не параллельны (т.е. ${ textstyle omega _ {1} neq omega _ {2}}$ ), позволять ${ textstyle c}$ быть такой, что

{ Displaystyle е ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = c = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1 }} q.}

Другими словами,

{ textstyle c}

представляет точку, к которой

{ textstyle p}

вращается вокруг одной оси, прежде чем вращается вокруг другой оси, чтобы совпадать с

{ textstyle q}

. Каждая отдельная ротация эквивалентна Подзадаче 1, но необходимо определить одно или несколько подходящих решений для

{ textstyle c}

чтобы решить для вращений.

Позволять ${ textstyle r}$ быть точкой пересечения двух осей:

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} (pr) = cr = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} (qr).}

Иллюстрация подзадачи Падена – Кахана 2, показывающая касательный случай, в котором подзадача дает только одно решение.

Определите векторы ${ textstyle и = (п-р)}$ , ${ textstyle v = (д-р)}$ и ${ textstyle z = (c-r)}$ . Следовательно,

{ Displaystyle е ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} u = z = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1 }} v.}

Это означает, что ${ textstyle omega _ {2} ^ {T} u = omega _ {2} ^ {T} z}$ , ${ textstyle omega _ {1} ^ {T} v = omega _ {1} ^ {T} z}$ , и ${ textstyle | и | ^ {2} = | z | ^ {2} = | v | ^ {2}}$ . поскольку ${ textstyle omega _ {1}}$ , ${ textstyle omega _ {2}}$ и ${ textstyle omega _ {1} times omega _ {2}}$ линейно независимы, ${ textstyle z}$ можно записать как

{ displaystyle z = alpha omega _ {1} + beta omega _ {2} + gamma ( omega _ {1} times omega _ {2}).}

Значения коэффициентов могут быть решены следующим образом:

Иллюстрация подзадачи Падена – Кахана 2, показывающая случай с двумя пересекающимися кругами и, следовательно, двумя решениями. Оба решения (c, c2) выделены.

{ displaystyle alpha = { frac {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) omega _ {2} ^ {T} u- omega _ {1} ^ {T} v} {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) ^ {2} -1}}}

{ displaystyle beta = { frac {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) omega _ {1} ^ {T} v- omega _ {2} ^ {T} u} {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) ^ {2} -1}}}

, и

{ displaystyle gamma ^ {2} = { frac { | u | ^ {2} - alpha ^ {2} - beta ^ {2} -2 alpha beta omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}} { | omega _ {1} times omega _ {2} | ^ {2}.}}}

Подзадача дает два решения в случае, если круги пересекаются в двух точках; одно решение, если окружности касательные; и нет решения, если круги не пересекаются.

Подзадача 3: поворот на заданное расстояние

Позволять ${ textstyle xi}$ быть твистом с нулевым шагом с единичной величиной; позволять ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ быть двумя точками; и разреши ${ textstyle delta}$ быть действительным числом больше нуля. Найти ${ textstyle theta}$ такой, что ${ displaystyle | q-e ^ {{ widehat { xi}} theta} p | = delta.}$

В этой задаче точка ${ textstyle p}$ вращается вокруг оси ${ textstyle xi}$ пока точка не станет расстоянием ${ textstyle delta}$ с точки ${ textstyle q}$ . Чтобы решение существовало, круг, определяемый вращением ${ textstyle p}$ около ${ textstyle xi}$ должен пересекать сферу радиуса ${ textstyle delta}$ сосредоточен на ${ textstyle q}$ .

Решение

Позволять ${ textstyle r}$ быть точкой на оси ${ textstyle xi}$ . Векторы ${ textstyle и = (п-р)}$ и ${ textstyle v = (д-р)}$ определены так, что

{ displaystyle | v-e ^ {{ widehat { xi}} theta} u | ^ {2} = delta ^ {2}.}

Прогнозы ${ textstyle u}$ и ${ textstyle v}$ находятся ${ textstyle u '= и- omega omega ^ {T} u}$ и ${ textstyle v '= v- omega omega ^ {T} v.}$ «Проекция» отрезка линии, определяемая ${ textstyle delta}$ находится путем вычитания составляющей ${ textstyle p-q}$ в ${ textstyle omega}$ направление:

{ displaystyle delta '^ {2} = delta ^ {2} - | omega ^ {T} (p-q) | ^ {2}.}

Угол

{ textstyle theta _ {0}}

между векторами

{ textstyle u '}

и

{ textstyle v '}

находится с помощью atan2 функция:

{ displaystyle theta _ {0} = atan2 ( omega ^ {T} (u ' times v'), u '^ {T} v').}

Угол сочленения

{ textstyle theta}

находится по формуле

{ displaystyle theta = theta _ {0} pm cos ^ {- 1} left ({ frac { | u ' | ^ {2} + | v' | ^ {2} - delta '^ {2}} {2 | u' | | v ' |}} right).}

Эта подзадача может дать ноль, одно или два решения, в зависимости от количества точек, в которых окружность радиуса

{ textstyle | и ' |}

пересекает круг радиуса

{ textstyle delta '}

.

Подзадача 4: вращение вокруг двух осей на заданное расстояние

Позволять ${ textstyle xi _ {1}}$ и ${ textstyle xi _ {2}}$ быть двумя поворотами с нулевым шагом с единичной величиной и пересекающимися осями. Позволять ${ textstyle p, q_ {1}, q_ {2} in mathbb {R} ^ {3}}$ быть точками. найти ${ textstyle theta _ {1}}$ и ${ textstyle theta _ {2}}$ такой, что ${ displaystyle | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p -q_ {1} | = delta _ {1}.}$

Эта проблема аналогична подзадаче 2, за исключением того, что конечная точка ограничена расстояниями до двух известных точек.

Подзадача 5: перевод на заданное расстояние

Позволять ${ textstyle xi}$ быть бесконечным шагом единицы величины твист; ${ textstyle p, q in mathbb {R} ^ {3}}$ две точки; и ${ textstyle delta}$ действительное число больше 0. Найдите ${ textstyle theta}$ такой, что ${ displaystyle | q-e ^ {{ widehat { xi}} theta} p | = delta.}$

использованная литература

^ Паден, Брэдли Эван (1985). «Кинематика и управление роботами-манипуляторами». Кандидат наук. Тезис. Bibcode:1985ПХДТ ........ 94П.
^ Састри, Ричард М. Мюррей; Цзэсианг Ли; С. Шанкар (1994). Математическое введение в манипуляции с роботами (PDF) (1. [Др.] Ред.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1] Паден, Брэдли Эван (1985). «Кинематика и управление роботами-манипуляторами». Кандидат наук. Тезис. Bibcode:1985ПХДТ ........ 94П.

[2] Састри, Ричард М. Мюррей; Цзэсианг Ли; С. Шанкар (1994). Математическое введение в манипуляции с роботами (PDF) (1. [Др.] Ред.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1]

[2]