Формула произведения экспонент - Product of exponentials formula

В произведение экспонент (POE) метод - это конвенция робототехники для отображения связей пространственного кинематическая цепь. Это альтернатива Денавит – Хартенберг параметризация. В то время как последний метод использует минимальное количество параметров для представления совместных движений, первый метод имеет ряд преимуществ: единообразная обработка призматических и поворотных суставов, определение только двух опорных рамок и простая геометрическая интерпретация с использованием винтовых осей. для каждого стыка.^[1]

Метод POE был введен Роджер В. Брокетт в 1984 г.^[2]

Метод

Следующий метод используется для определения произведения экспонент кинематической цепи с целью параметризации матрица аффинного преобразования между основанием и рамой инструмента с точки зрения углов соединения ${ textstyle theta _ {1} ... theta _ {N}.}$

Определите «нулевую конфигурацию»

Первым шагом является выбор «нулевой конфигурации», в которой все углы сочленения определены как нулевые. Матрица 4x4 ${ textstyle g_ {st} (0)}$ описывает преобразование базовой рамы в раму инструмента в этой конфигурации. Это аффинное преобразование, состоящее из матрицы вращения 3x3 р и вектор трансляции 1x3 п. Матрица расширена, чтобы создать квадратную матрицу 4x4.

{ displaystyle g_ {st} (0) = left [{ begin {array} {cc} R & p 0 & 1 end {array}} right]}

Вычислить экспоненту матрицы для каждого сустава

Следующие шаги необходимо выполнить для каждого из N суставов, чтобы произвести аффинное преобразование для каждого.

Определите происхождение и ось действия

Для каждого стыка кинематической цепи начальная точка q и ось действия выбирается для нулевой конфигурации, используя систему координат основания. В случае призматический шарнир, ось действия v - вектор, вдоль которого простирается стык; в случае революционный сустав, ось действия ω вектор нормали к вращению.

Найдите поворот для каждого сустава

Вектор скручивания 1x6 составляется для описания движения каждого сустава. Для революционного сустава,

{ displaystyle xi _ {i} = left ({ begin {array} {c} - omega _ {i} times q_ {i} omega _ {i} end {array} }правильно).}

Для призматического стыка

{ displaystyle xi _ {i} = left ({ begin {array} {c} v_ {i} 0 end {array}} right).}

Результирующая скрутка имеет две компоненты вектора 1x3: Линейное движение вдоль оси ( ${ displaystyle v}$ ) и вращательное движение по той же оси (ω).

{ displaystyle xi = left ({ begin {array} {c} v omega end {array}} right).}

Рассчитать матрицу вращения

Вектор 3x1 ω переписан в перекрестное произведение матричная запись:

{ displaystyle { hat { omega}} = left [{ begin {array} {ccc} 0 & - omega _ {3} & omega _ {2} omega _ {3} & 0 & - omega _ {1} - omega _ {2} & omega _ {1} & 0 end {array}} right].}

За Формула вращения Родригеса, матрица вращения вычисляется из вращательной составляющей:

{ displaystyle e ^ {{ hat { omega}} theta} = I + { hat { omega}} sin { theta} + { hat { omega}} ^ {2} (1- cos { theta}).}

Рассчитать перевод

Вектор трансляции 3x1 вычисляется из компонентов скрутки.

{ displaystyle t = (I-e ^ {{ hat { omega}} theta}) ( omega times v) + omega omega ^ {T} v theta}

где я это 3x3 единичная матрица.^[3]

Составить экспоненциальную матрицу

Для каждого сустава я, матричная экспонента ${ textstyle е ^ {{ шляпа { xi}} _ {я} theta _ {я}}}$ для данного угла сустава ${ textstyle theta}$ состоит из матрицы вращения и вектора переноса, объединенных в расширенную матрицу 4x4:

{ displaystyle e ^ {{ hat { xi}} _ {i} theta _ {i}} = left [{ begin {array} {cc} e ^ {{ hat { omega}} theta} & t 0 & 1 end {array}} right]}

Составьте структурное уравнение

Матричные экспоненты умножаются для получения аффинного преобразования 4 × 4 ${ textstyle g_ {d} ( theta _ {i}, ldots, theta _ {n})}$ от базовой рамы до рамы инструмента в заданной конфигурации.

{ displaystyle g_ {d} = e ^ {{ hat { xi}} _ {1} theta _ {1}} cdots e ^ {{ hat { xi}} _ {n} theta _ {n}} g_ {st} (0).}

Приложение к кинематике

Прямая кинематика может быть вычислен непосредственно из цепочки POE для данного манипулятора. Обратная кинематика для большинства обычных роботов-манипуляторов можно решить с помощью Подзадачи Падена – Кахана.

Связь с параметрами Денавита – Хартенберга.

Преимущества

Метод произведения экспонент использует только два системы отсчета: базовая рама S и рама для инструмента Т. Построение параметров Денавита – Хартенберга для робота требует тщательного выбора инструментальных рам, чтобы обеспечить возможность конкретных отмен, так что скручивания могут быть представлены четырьмя параметрами вместо шести. В методе экспонент скрутки суставов могут быть построены напрямую, без учета соседних стыков в цепи. Это упрощает создание скручиваний суставов и упрощает обработку на компьютере.^[3] Кроме того, поворотные и призматические соединения обрабатываются единообразно в методе POE, тогда как при использовании параметров Денавита – Хартенберга они обрабатываются отдельно. Более того, существует несколько соглашений о назначении кадров ссылок при использовании параметров Денавита – Хартенберга.

Преобразование

Не существует взаимно однозначного отображения между отображением координат скручивания в обоих методах, но было продемонстрировано алгоритмическое отображение из POE в Denavit – Hartenberg.^[4]

Приложение к параллельным роботам

При анализе параллельные роботы кинематическая цепочка каждой ветви анализируется индивидуально, и инструментальные рамки устанавливаются равными друг другу. Этот метод расширяется для анализа.

использованная литература

^ Линч, Кевин; Парк, Фрэнк (2017). Современная робототехника (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107156302.
^ Брокетт, Роджер (1983). «Роботы-манипуляторы и формула произведения экспонент». Международный симпозиум по математической теории сетей и систем.
^ ^а ^б Састри, Ричард М. Мюррей; Цзэсианг Ли; С. Шанкар (1994). Математическое введение в манипуляции с роботами (PDF) (1. [Др.] Ред.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780849379819.
^ Ву, Ляо; Кроуфорд, Росс; Робертс, Джонатан (октябрь 2017 г.). «Аналитический подход к преобразованию параметров POE в параметры D – H для роботов с последовательной связью» (PDF). Письма IEEE по робототехнике и автоматизации. 2 (4): 2174–2179. Дои:10.1109 / LRA.2017.2723470.

Эта статья о робототехнике заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Линч, Кевин; Парк, Фрэнк (2017). Современная робототехника (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107156302.

[2] Брокетт, Роджер (1983). «Роботы-манипуляторы и формула произведения экспонент». Международный симпозиум по математической теории сетей и систем.

[Murray1994-3] а ^б Састри, Ричард М. Мюррей; Цзэсианг Ли; С. Шанкар (1994). Математическое введение в манипуляции с роботами (PDF) (1. [Др.] Ред.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[4] Ву, Ляо; Кроуфорд, Росс; Робертс, Джонатан (октябрь 2017 г.). «Аналитический подход к преобразованию параметров POE в параметры D – H для роботов с последовательной связью» (PDF). Письма IEEE по робототехнике и автоматизации. 2 (4): 2174–2179. Дои:10.1109 / LRA.2017.2723470.

[1]

[2]

[3]

[4]