Теорема Петерсенса - Википедия - Petersens theorem

А идеальное соответствие (красные края), в Граф Петерсена. Поскольку граф Петерсена кубический и без моста, он удовлетворяет условиям теоремы Петерсена.

Кубический (но не без мостов) граф без идеального соответствия, показывающий, что условие отсутствия мостов в теореме Петерсена не может быть пропущено

в математический дисциплина теория графов, Теорема Петерсена, названный в честь Юлиус Петерсен, является одним из самых ранних результатов теории графов и может быть сформулирован следующим образом:

Теорема Петерсена. Каждый кубический, без моста график содержит идеальное соответствие.^[1]

Другими словами, если граф имеет ровно три ребра в каждой вершине и каждое ребро принадлежит циклу, то у него есть набор ребер, которые касаются каждой вершины ровно один раз.

Доказательство

Мы показываем, что для каждого кубического графа без мостов грамм = (V, E) у нас есть это для каждого набора U ⊆ V количество связанных компонентов в графе индуцированный к V − U с нечетным числом вершин не более чем мощность U. Затем по Теорема Тутте грамм содержит идеальное соответствие.

Позволять грамм_я - компонента с нечетным числом вершин в графе, индуцированная множеством вершин V − U. Позволять V_я обозначим вершины грамм_я и разреши м_я обозначим количество ребер грамм с одной вершиной в V_я и одна вершина в U. С помощью простого аргумента двойного счета мы имеем, что

${ displaystyle sum nolimits _ {v in V_ {i}} deg _ {G} (v) = 2 | E_ {i} | + m_ {i},}$

куда E_я это множество ребер грамм_я с обеими вершинами в V_я. С

${ Displaystyle сумма nolimits _ {v in V_ {i}} deg _ {G} (v) = 3 | V_ {i} |}$

нечетное число и 2|E_я| четное число, отсюда следует, что м_я должно быть нечетным числом. Более того, поскольку грамм без моста у нас есть это м_я ≥ 3.

Позволять м быть количеством ребер в грамм с одной вершиной в U и одна вершина в графе, индуцированная V − U. Каждый компонент с нечетным числом вершин дает не менее 3 ребер в м, и они уникальны, поэтому количество таких компонентов не более м/3. В худшем случае каждое ребро с одной вершиной в U способствует м, и поэтому м ≤ 3|U|. Мы получили

${ displaystyle | U | geq { frac {1} {3}} m geq | {{ text {компоненты с нечетным числом вершин}} } |,}$

что показывает, что условие Теорема Тутте держит.

История

Теорема связана с Юлиус Петерсен, датский математик. Это можно считать одним из первых результатов в теория графов. Теорема впервые появляется в статье 1891 года "Графы Die Theorie der Regären".^[1] По сегодняшним меркам доказательство теоремы Петерсеном сложно. Ряд упрощений доказательства завершился доказательством Фринк (1926) и Кениг (1936).

В современных учебниках теорема Петерсена рассматривается как приложение Теорема Тутте.

Приложения

• В кубическом графе с идеальным совпадением ребра, которые не находятся в идеальном совпадении, образуют 2-факторный. К ориентирование 2-факторный, границы идеального согласования могут быть расширены до пути длины три, скажем, взяв ориентированные наружу края. Это показывает, что каждый кубический граф без мостов распадается на рёберно-непересекающиеся пути длины три.^[2]
• Теорема Петерсена также может быть применена, чтобы показать, что каждый максимальный планарный граф можно разложить на набор рёберно непересекающихся путей длины три. В этом случае двойственный граф является кубическим и без мостов, поэтому по теореме Петерсена он имеет паросочетание, которое соответствует в исходном графе паре смежных граней треугольника. Каждая пара треугольников дает путь длиной три, который включает ребро, соединяющее треугольники вместе с двумя из четырех оставшихся ребер треугольника.^[3]
• Применяя теорему Петерсена к двойственному графу треугольная сетка и соединяя пары несовпадающих треугольников, можно разложить сетку на циклические полоски треугольников. С некоторыми дальнейшими преобразованиями его можно превратить в единую полосу и, следовательно, дает метод преобразования треугольной сетки таким образом, что ее двойственный граф становится гамильтониан.^[4]

Расширения

Число совершенных сопоставлений в кубических графах без мостов

Это было предположено Ловас и Plummer что количество идеальное соответствие содержится в кубический, без моста граф экспоненциально зависит от числа вершин графа п.^[5]Гипотеза была впервые доказана для двудольный, кубические, безмостовые графы Вурхув (1979), позже для планарный, кубические, безмостовые графы Чудновский и Сеймур (2012). Общий случай был урегулирован Esperet et al. (2011), где было показано, что каждый кубический граф без мостов содержит не менее ${ displaystyle 2 ^ {п / 3656}}$ идеальное соответствие.

Алгоритмические версии

Biedl et al. (2001) обсудить эффективные версии теоремы Петерсена. На основании доказательства Фринка^[6] они получают О(п бревно⁴ п) алгоритм для вычисления идеального соответствия в кубическом графе без мостов с п вершины. Если график, кроме того, планарный в той же статье дается О(п) алгоритм. Их О(п бревно⁴ п) временная граница может быть улучшена на основе последующих улучшений времени для поддержания набора мостов в динамическом графе.^[7] Дальнейшие улучшения, сокращение времени, связанного с О(п бревно² п) или (с дополнительным рандомизированный структуры данных ) О(п бревно п (журнал журнала п)³), были предоставлены Дикс и Станчик (2010).

Уровнем выше

Если грамм является регулярным графом степени d чей граничное соединение по крайней мере d - 1, и грамм имеет четное количество вершин, тогда он имеет идеальное соответствие. Более того, каждый край грамм принадлежит по крайней мере к одному идеальному совпадению. Условие на количество вершин может быть опущено в этом результате, когда степень нечетная, потому что в этом случае ( лемма о рукопожатии ) число вершин всегда четное.^[8]

Примечания

Рекомендации