Внутренний продукт Петерсона - Википедия - Petersson inner product

В математика в Внутренний продукт Петерсона является внутренний продукт определены на пространстве всего модульные формы. Его ввел немецкий математик. Ханс Петерссон.

Определение

Позволять ${ displaystyle mathbb {M} _ {k}}$ - пространство целых модульных форм веса ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle mathbb {S} _ {k}}$ пространство бугорки.

Отображение ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle: mathbb {M} _ {k} times mathbb {S} _ {k} rightarrow mathbb {C}}$,

${ displaystyle langle f, g rangle: = int _ { mathrm {F}} f ( tau) { overline {g ( tau)}} ( operatorname {Im} tau) ^ {k } д ню ( тау)}$

называется внутренним продуктом Петерсона, где

${ displaystyle mathrm {F} = left { tau in mathrm {H}: left | operatorname {Re} tau right | leq { frac {1} {2}}, слева | tau right | geq 1 right }}$

является фундаментальной областью модульная группа ${ displaystyle Gamma}$ и для ${ Displaystyle тау = х + iy}$

${ Displaystyle д ню ( тау) = у ^ {- 2} dxdy}$

- форма гиперболического объема.

Характеристики

Интеграл равен абсолютно сходящийся а внутренний продукт Петерсона - это положительно определенный Эрмитова форма.

Для Операторы Гекке ${ displaystyle T_ {n}}$, а для форм ${ displaystyle f, g}$ уровня ${ displaystyle Gamma _ {0}}$, у нас есть:

${ displaystyle langle T_ {n} f, g rangle = langle f, T_ {n} g rangle}$

Это можно использовать, чтобы показать, что пространство куспид-форм уровня ${ displaystyle Gamma _ {0}}$ имеет ортонормированный базис, состоящий из одновременных собственные функции для операторов Гекке и Коэффициенты Фурье все эти формы реальны.

Рекомендации

• Т.М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, Springer Verlag Berlin Heidelberg Нью-Йорк 1990, ISBN  3-540-97127-0
• М. Кохер, А. Криг, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN  3-540-63744-3
• С. Ланг, Введение в модульные формы, Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN  3-540-07833-9