Фотонная статистика - Photon statistics

Эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Август 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Фотонная статистика является теоретическим и экспериментальным исследованием статистических распределений, полученных в счет фотонов эксперименты, которые используют Фотоприемники для анализа внутренней статистической природы фотонов в источнике света. В этих экспериментах свет, падающий на фотоприемник, генерирует фотоэлектроны и счетчик регистрирует электрические импульсы, генерируя статистическое распределение количества фотонов. Несопоставимые источники света низкой интенсивности можно различить по соответствующим статистическим распределениям, полученным в процессе обнаружения.

В зависимости от свойств источника света можно получить три режима статистических распределений: Пуассоновский, суперпуассоновский и субпуассоновский.^[1] Режимы определяются соотношением между дисперсией и средним числом отсчетов фотонов для соответствующего распределения. Как пуассоновский, так и суперпуассоновский свет можно описать с помощью полуклассической теории, в которой источник света моделируется как электромагнитная волна, а атом моделируется в соответствии с квантовой механикой. Напротив, субпуассоновский свет требует квантование электромагнитного поля для правильного описания и, таким образом, является прямым измерителем природы частиц света.

Пуассоновский свет

В классической электромагнитной теории идеальный источник света с постоянной интенсивностью может быть смоделирован пространственно и временно когерентной электромагнитной волной одной частоты. Такой источник света можно смоделировать:^[1]

${ Displaystyle Е (Икс, T) = Е_ {0} грех (kx- omega t + phi)}$

куда ${ displaystyle omega}$ - частота поля и ${ displaystyle phi}$ - фазовый сдвиг, не зависящий от времени.

Аналогом в квантовой механике является когерентное состояние^[1]

${ displaystyle | alpha rangle = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {{ alpha} ^ {n}} { sqrt {n!}}} e ^ { frac { {- left vert { alpha} right vert} ^ {2}} {2}} | n rangle}$

Путем проецирования когерентного состояния на Состояние Фока ${ displaystyle | п rangle}$, мы можем найти вероятность ${ displaystyle P_ {n}}$ нахождения ${ displaystyle n}$ фотоны с помощью Родившееся правило, который дает

${ displaystyle P_ {n} = { frac {{ left vert alpha right vert} ^ {2n}} {n!}} e ^ {{- left vert alpha right vert} ^ {2}} = { frac {{ langle n rangle} ^ {n}} {n!}} E ^ {- langle n rangle}}$

Приведенный выше результат представляет собой распределение Пуассона с ${ displaystyle { Delta n} ^ {2} = langle n rangle}$ что является отличительной чертой когерентного состояния.

Суперпуассоновский свет

Свет, который определяется суперпуассоновской статистикой, имеет статистическое распределение с дисперсией ${ displaystyle { Delta n} ^ {2}> langle n rangle}$. Примером света, который демонстрирует суперпуассоновскую статистику, является тепловой свет. Интенсивность теплового света колеблется случайным образом, и флуктуации приводят к суперпуассоновской статистике, как показано ниже путем вычисления распределения флуктуаций интенсивности.^[2] Используя распределение интенсивности вместе с Формула Манделя^[3] который описывает вероятность количества отсчетов фотонов, зарегистрированных фотодетектором, можно получить статистическое распределение фотонов в тепловом свете.

Тепловой свет можно смоделировать как совокупность ${ displaystyle N}$ гармонические осцилляторы. Предположим, что ${ displaystyle j}$-й осциллятор излучает электромагнитное поле ${ displaystyle E_ {j} (t) = E_ {0} e ^ {- i omega t} e ^ {i phi _ {j} (t)}}$ с фазой ${ Displaystyle phi _ {j} (т)}$. Используя теорию суперпозиции полей, полное поле, создаваемое ${ displaystyle N}$ осцилляторы

${ Displaystyle E (t) = sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {j} (t) = sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {0} e ^ {- i омега т} е ^ {я phi _ {j} (t)}}$

После извлечения всех переменных, не зависящих от индекса суммирования ${ displaystyle j}$, случайная комплексная амплитуда может быть определена как

${ Displaystyle бета (т) = сумма _ {J = 1} ^ {N} е ^ {я фи _ {j} (т)} = б (т) е ^ {я фи (т)} }$

куда ${ Displaystyle бета (т)}$ был переписан с точки зрения его величины ${ Displaystyle Ь (т) = влево верт бета вправо верт}$ и его фаза ${ Displaystyle е ^ {я фи (т)}}$. Поскольку осцилляторы некоррелированы, фаза наложенного поля будет случайной. Следовательно, комплексная амплитуда ${ Displaystyle бета (т)}$ - стохастическая переменная. Он представляет собой сумму некоррелированных фаз осцилляторов, которая моделирует флуктуации интенсивности теплового света. На комплексной плоскости он представляет собой двумерного случайного блуждающего человека с ${ displaystyle N}$ представляющие предпринятые шаги. Для больших ${ displaystyle N}$ а случайный бродяга имеет Гауссовский распределение вероятностей. Таким образом совместное распределение вероятностей для действительной и мнимой частей комплексной случайной величины ${ Displaystyle бета (т)}$ можно представить как,

${ displaystyle p ( beta (t)) = left [{ frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ { frac {- {Re ( beta ( t))} ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right] left [{ frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} e ^ { frac {- {Im ( beta (t))} ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right]}$

${ displaystyle = { frac {1} {2 pi sigma ^ {2}}} e ^ { frac {- left ({Re ( beta (t))} ^ {2} + {Im ( beta (t))} ^ {2} right)} {2 sigma ^ {2}}} = { frac {1} {2 pi sigma ^ {2}}} e ^ { frac { - { left vert beta (t) right vert} ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}}$

После ${ displaystyle N}$ шагов, математическое ожидание квадрата радиуса равно ${ displaystyle langle { left vert beta (t) right vert} ^ {2} rangle = 2 sigma ^ {2} = N}$. Математическое ожидание ${ Displaystyle langle влево верт бета (т) вправо верт rangle = 0}$ что можно рассматривать как равновероятность всех направлений. Переписывая распределение вероятностей в терминах ${ displaystyle N}$ приводит к

${ Displaystyle p ( beta (t)) = { frac {1} { pi N}} e ^ { frac {- { left vert beta (t) right vert} ^ {2} } {N}}}$

С помощью приведенного выше распределения вероятностей теперь мы можем найти среднюю интенсивность поля (где для ясности опущены некоторые константы)

${ Displaystyle langle I (t) rangle = langle E ^ {*} (t) E (t) rangle}$

${ displaystyle = {E_ {0}} ^ {2} { langle left vert beta (t) right vert} ^ {2} rangle = N {E_ {0}} ^ {2}}$

Мгновенная напряженность поля ${ Displaystyle I (т)}$ дан кем-то

${ Displaystyle I (t) = E ^ {*} (t) E (t) = E_ {0} ^ {2} { left vert beta (t) right vert} ^ {2}}$

Поскольку электрическое поле и, следовательно, напряженность зависят от стохастической комплексной переменной ${ Displaystyle бета (т)}$. Вероятность получения средней интенсивности ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle I + dI}$ является

${ Displaystyle p (I (t)) dI = p (I ( beta (t))) d ^ {2} beta}$

куда ${ displaystyle d ^ {2} beta}$ бесконечно малый элемент на комплексной плоскости. Этот бесконечно малый элемент можно переписать как

${ displaystyle d ^ {2} beta = 2 pi left vert beta (t) right vert d left vert beta (t) right vert}$

Приведенное выше распределение интенсивности теперь можно записать как

${ Displaystyle п (я (т)) = п ( влево верт бета (т) вправо верт) 2 пи влево верт бета (т) право верт { влево ({ гидроразрыва {dI} {d left vert beta (t) right vert}} right)} ^ {- 1}}$

${ displaystyle = { frac {1} { pi N}} e ^ { frac {- { left vert beta (t) right vert} ^ {2}} {N}} 2 pi left vert beta (t) right vert { left (2E_ {0} ^ {2} left vert beta (t) right vert right)} ^ {- 1}}$

${ displaystyle = { frac {1} {NE_ {0} ^ {2}}} e ^ { frac {-E_ {0} ^ {2} { left vert beta (t) right vert } ^ {2}} {NE_ {0} ^ {2}}} = { frac {1} { langle I (t) rangle}} e ^ { frac {-I (t)} { langle Я (т) rangle}}}$

Последнее выражение представляет собой распределение интенсивности теплового света. Последний шаг в демонстрации теплового света, удовлетворяющего условию дисперсии суперпуассоновской статистики, - это использование формулы Манделя.^[3] Формула описывает вероятность наблюдения n отсчетов фотонов и имеет вид

${ displaystyle P (n) = int _ {0} ^ { infty} { frac {{ left ( epsilon I right)} ^ {n}} {n!}} e ^ {- epsilon I} P (I) dI}$

Фактор ${ displaystyle epsilon = { frac { eta} {h nu}}}$ куда ${ displaystyle eta}$ - квантовая эффективность описывает эффективность счетчика фотонов. Идеальный детектор имел бы ${ displaystyle eta = 1}$. ${ displaystyle I}$ - интенсивность, падающая на область A фотоприемника, и определяется выражением^[4]

Сравнение распределений Пуассона и Бозе-Эйнштейна. Распределение Пуассона характерно для когерентного света, а распределение Бозе-Эйнштейна характерно для теплового света. Оба распределения имеют одинаковое математическое ожидание. ${ Displaystyle langle п rangle = 6}$.

${ Displaystyle I = iint limits _ {A} int _ {t} ^ {t + tau} , I (x, y, t ') dt' , dx , dy}$

При замене вероятностного распределения интенсивности теплового света на P (I) формула Манделя принимает вид

${ displaystyle P (n) = int _ {0} ^ { infty} { frac {{ left ( epsilon I right)} ^ {n}} {n!}} e ^ {- epsilon I} { frac {e ^ { frac {-I} { langle I rangle}}} { langle I rangle}} dI = { frac {{ epsilon} ^ {n}} {n! langle I rangle}} int _ {0} ^ { infty} {I} ^ {n} e ^ {- left ( epsilon + { frac {1} { langle I rangle}} справа) I} dI}$

Используя следующую формулу для вычисления интеграла

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax} dx = { frac {n!} {a ^ {n + 1}}} quad left (n = 0,1,2, .. a> 0 right)}$

Распределение вероятностей для n отсчетов фотонов от теплового источника света:

${ Displaystyle P (п) = { гидроразрыва {1} { left ( langle n rangle +1 right)}} { left ({ frac { langle n rangle} { langle n rangle) +1}} right)} ^ {n}}$

куда ${ Displaystyle langle п rangle = epsilon I}$ - среднее количество отсчетов. Это последнее распределение известно как распределение Бозе-Эйнштейна. Можно показать, что дисперсия распределения равна

${ displaystyle { Delta n} ^ {2} = langle n rangle + { langle n rangle} ^ {2}}$

В отличие от распределения Пуассона для когерентного источника света, распределение Бозе-Эйнштейна имеет ${ displaystyle { Delta n} ^ {2}> langle n rangle}$ характеристика теплового света.

Субпуассоновский свет

Схема гомодинной схемы корреляции интенсивностей, описанная в [6]. SI, сигнальное поле, LO, гетеродин, BS, светоделитель, SL, наложенный свет, C, коррелятор. Фотодетекторы (черные элементы) посылают электрические сигналы на коррелятор, где измеряется корреляция интенсивности.

Свет, который определяется статистикой субпуассона, не может быть описан классической электромагнитной теорией и определяется ${ displaystyle { Delta n} ^ {2} < langle n rangle}$.^[1] Появление сверхбыстрых фотоприемников позволило измерить субпуассоновский характер света. Примером света, демонстрирующего субпуассоновскую статистику, является сжатый свет. Недавно исследователи показали, что субпуассоновский свет может индуцироваться в квантовой точке, проявляющей резонансную флуоресценцию.^[5] Метод, используемый для измерения субпуассоновской структуры света, представляет собой схему гомодинной корреляции интенсивности.^[6] В этой схеме гетеродин и сигнальное поле накладываются друг на друга через светоделитель. Наложенный свет затем разделяется другим светоделителем, и каждый сигнал регистрируется отдельными фотодетекторами, подключенными к коррелятору, с помощью которого можно измерить корреляцию интенсивности. Доказательство субпуассоновской природы света демонстрируется получением отрицательной корреляции интенсивности, как показано на рис.^[5]

Рекомендации