Матрица Плюккера - Википедия - Plücker matrix

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Ноябрь 2015) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Матрица Плюккера это особенный кососимметричный 4 × 4 матрица, что характеризует прямую в проективное пространство. Матрица определяется как 6 Координаты Плюккера с 4 степени свободы. Назван в честь немецкого математика. Юлиус Плюкер.

Определение

Прямая линия в пространстве определяется двумя разными точками ${ displaystyle A = left (A_ {0}, A_ {1}, A_ {2}, A_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$ и ${ displaystyle B = left (B_ {0}, B_ {1}, B_ {2}, B_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$ в однородные координаты из проективное пространство. Его матрица Плюккера:

${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times} propto mathbf {A} mathbf {B} ^ { top} - mathbf {B} mathbf {A} ^ { top} = left ({ begin {array} {cccc} 0 & -L_ {01} & - L_ {02} & - L_ {03} L_ {01} & 0 & -L_ {12} & - L_ {13} L_ {02} & L_ {12} & 0 & -L_ {23} L_ {03} & L_ {13} & L_ {23} & 0 end {array}} right)}$

Где кососимметричный ${ displaystyle 4 times 4}$-матрица определяется 6 Координаты Плюккера

${ displaystyle mathbf {L} propto (L_ {01}, L_ {02}, L_ {03}, L_ {12}, L_ {13}, L_ {23}) ^ { top}}$

с

${ displaystyle L_ {ij} = A_ {i} B_ {j} -B_ {i} A_ {j}.}$

Координаты Плюккера соответствуют Соотношения Грассмана – Плюккера

${ displaystyle L_ {01} L_ {23} -L_ {02} L_ {13} + L_ {03} L_ {12} = 0}$

и определены в полном масштабе. Матрица Плюккера имеет только классифицировать 2 и четыре степени свободы (как линии на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$). Они не зависят от конкретного выбора точек ${ displaystyle mathbf {A}}$ и ${ displaystyle mathbf {B}}$ и может рассматриваться как обобщение линейного уравнения, т.е. перекрестное произведение как для пересечения (встречи) двух прямых, так и для линии соединения двух точек на проективной плоскости.

Характеристики

Матрица Плюккера позволяет нам выразить следующие геометрические операции в виде произведения матрицы на вектор:

• Самолет содержит линию: ${ Displaystyle mathbf {0} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E}}$
• ${ Displaystyle mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E}}$ это точка пересечения прямой ${ displaystyle mathbf {L}}$ и самолет ${ displaystyle mathbf {E}}$ ('Встретить')
• Точка лежит на линии: ${ Displaystyle mathbf {0} = [{ тильда { mathbf {L}}}] _ { times} mathbf {X}}$
• ${ Displaystyle mathbf {E} = [{ тильда { mathbf {L}}}] _ { times} mathbf {X}}$ это общий самолет ${ displaystyle mathbf {E}}$, который содержит как точку ${ displaystyle mathbf {X}}$ и линия ${ displaystyle mathbf {L}}$ ('Присоединиться').
• Направление линии: ${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times} pi ^ { infty} = [ mathbf {L}] _ { times} (0,0,0,1) ^ { top} = left (-L_ {03}, - L_ {13}, - L_ {23}, 0 right) ^ { top}}$ (Примечание: последнее можно интерпретировать как плоскость, ортогональную линии, проходящей через начало координат)
• Ближайшая точка к исходной точке ${ displaystyle mathbf {X} _ {0} cong [ mathbf {L}] _ { times} [ mathbf {L}] _ { times} pi ^ { infty}.}$

Уникальность

Две произвольные различные точки на прямой можно записать как линейную комбинацию ${ displaystyle mathbf {A}}$ и ${ displaystyle mathbf {B}}$:

${ displaystyle mathbf {A} ^ { prime} propto mathbf {A} alpha + mathbf {B} beta { text {and}} mathbf {B} ^ { prime} propto mathbf {A} gamma + mathbf {B} delta.}$

Их матрица Плюккера такова:

${ displaystyle { begin {align} {[} mathbf {L} ^ { prime} {]} _ { times} & = mathbf {A} ^ { prime} mathbf {B} ^ { prime} - mathbf {B} ^ { prime} mathbf {A} ^ { prime} [6pt] & = ( mathbf {A} alpha + mathbf {B} beta) ( mathbf {A} gamma + mathbf {B} delta) ^ { top} - ( mathbf {A} gamma + mathbf {B} delta) ( mathbf {A} alpha + mathbf {B } beta) ^ { top} [6pt] & = underbrace {( alpha delta - beta gamma)} _ { lambda} [ mathbf {L}] _ { times}, конец {выровнен}}}$

в масштабе идентично ${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times}}$.

Пересечение с самолетом

Встреча плоскости и прямой в проективном трехмерном пространстве, выраженная умножением на матрицу Плюккера

Позволять ${ displaystyle mathbf {E} = left (E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal { P}} ^ {3}}$ обозначим плоскость уравнением

${ displaystyle E_ {0} x + E_ {1} y + E_ {2} z + E_ {3} = 0.}$

который не содержит строки ${ displaystyle mathbf {L}}$. Тогда произведение матрица-вектор с матрицей Плюккера описывает точку

${ displaystyle mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E} = mathbf {A} { underset { alpha} { underbrace { mathbf {B} ^ { top} mathbf {E}}}} - mathbf {B} { underset { beta} { underbrace { mathbf {A} ^ { top} mathbf {E}}}} = mathbf { A} alpha + mathbf {B} beta,}$

который лежит на линии ${ displaystyle mathbf {L}}$ потому что это линейная комбинация ${ displaystyle mathbf {A}}$ и ${ displaystyle mathbf {B}}$. ${ displaystyle mathbf {X}}$ также содержится в плоскости ${ displaystyle mathbf {E}}$

${ displaystyle mathbf {E} ^ { top} mathbf {X} = mathbf {E} ^ { top} [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E} = { underset { alpha} { underbrace { mathbf {E} ^ { top} mathbf {A}}}} { underset { beta} { underbrace { mathbf {B} ^ { top} mathbf { E}}}} - { underset { beta} { underbrace { mathbf {E} ^ { top} mathbf {B}}}} { underset { alpha} { underbrace { mathbf {A } ^ { top} mathbf {E}}}} = 0,}$

и поэтому должно быть их точкой пересечения.

Кроме того, произведение матрицы Плюккера на плоскость является нулевым вектором, в точности если прямая ${ displaystyle mathbf {L}}$ целиком содержится в плоскости:

${ Displaystyle альфа = бета = 0 iff mathbf {E}}$ содержит ${ displaystyle mathbf {L}.}$

Двойная матрица Плюккера

Соединение точки и линии в проективном трехмерном пространстве, выраженное умножением на матрицу Плюккера

В проективном трехмерном пространстве и точки, и плоскости имеют то же представление, что и 4-векторы, и алгебраическое описание их геометрической связи (точка лежит на плоскости) симметрично. Меняя местами термины плоскость и точка в теореме, получаем двойной Теорема, которая тоже верна.

В случае матрицы Плюккера существует двойственное представление прямой в пространстве как пересечения двух плоскостей:

${ displaystyle E = left (E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$

и

${ Displaystyle F = left (F_ {0}, F_ {1}, F_ {2}, F_ {3} right) ^ { top} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}}$

в однородные координаты из проективное пространство. Их матрица Плюккера:

${ displaystyle left [{ тильда { mathbf {L}}} right] _ { times} = mathbf {E} mathbf {F} ^ { top} - mathbf {F} mathbf { E} ^ { top}}$

и

${ Displaystyle mathbf {G} = left [{ тильда { mathbf {L}}} right] _ { times} mathbf {X}}$

описывает самолет ${ displaystyle mathbf {G}}$ который содержит как точку ${ displaystyle mathbf {X}}$ и линия ${ displaystyle mathbf {L}}$.

Связь между прямой и двойственной матрицей Плюккера

Как вектор ${ Displaystyle mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E}}$, с произвольной плоскостью ${ displaystyle mathbf {E}}$, является либо нулевым вектором, либо точкой на прямой, следует:

${ displaystyle forall mathbf {E} in mathbb {R} { mathcal {P}} ^ {3}: , mathbf {X} = [ mathbf {L}] _ { times} mathbf {E} { text {лежит на}} mathbf {L} iff left [{ tilde { mathbf {L}}} right] _ { times} mathbf {X} = mathbf { 0}.}$

Таким образом:

${ displaystyle left ([{ tilde { mathbf {L}}}] _ { times} [ mathbf {L}] _ { times} right) ^ { top} = [ mathbf {L }] _ { times} left [{ tilde { mathbf {L}}} right] _ { times} = mathbf {0} in mathbb {R} ^ {4 times 4}. }$

Следующие продукты обладают этими свойствами:

${ displaystyle { begin {align} & left ({ begin {array} {cccc} 0 & L_ {23} & - L_ {13} & L_ {12} - L_ {23} & 0 & L_ {03} & - L_ {02} L_ {13} & - L_ {03} & 0 & L_ {01} - L_ {12} & L_ {02} & - L_ {01} & 0 end {array}} right) left ({ begin {array} {cccc} 0 & -L_ {01} & - L_ {02} & - L_ {03} L_ {01} & 0 & -L_ {12} & - L_ {13} L_ {02} & L_ {12} & 0 & -L_ {23} L_ {03} & L_ {13} & L_ {23} & 0 end {array}} right) [10pt] = {} & left (L_ {01} L_ {23} -L_ {02} L_ {13} + L_ {03} L_ {12} right) cdot left ({ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 конец {массив}} right) = mathbf {0}, end {выравнивается}}}$

из-за Соотношение Грассмана – Плюккера. С единственностью матриц Плюккера с точностью до скалярных кратных для прямых координат Плюккера

${ displaystyle mathbf {L} = left (L_ {01}, , L_ {02}, , L_ {03}, , L_ {12}, , L_ {31}, , L_ {23} } right) ^ { top}}$

получаем следующие двойственные координаты Плюккера:

${ displaystyle { tilde { mathbf {L}}} = left (L_ {23}, , - L_ {13}, , L_ {12}, , L_ {03}, , - L_ { 02}, , L_ {01} right) ^ { top}.}$

В проективной плоскости

Двойственность операций соединения и встречи в двумерном пространстве.

«Соединение» двух точек на проективной плоскости - это операция соединения двух точек прямой линией. Его линейное уравнение можно вычислить с помощью перекрестное произведение:

${ displaystyle mathbf {l} propto mathbf {a} times mathbf {b} = left ({ begin {array} {c} a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ { 2} b_ {0} a_ {2} -a_ {0} b_ {2} a_ {0} b_ {1} -a_ {1} b_ {0} end {array}} right) = left ({ begin {array} {c} l_ {0} l_ {1} l_ {2} end {array}} right).}$

Соответственно, можно выразить «встречу» или пересечение двух прямых с помощью перекрестного произведения:

${ Displaystyle mathbf {x} propto mathbf {l} times mathbf {m}}$

Связь с матрицами Плюккера становится очевидной, если написать перекрестное произведение как матрично-векторное произведение с кососимметричной матрицей:

${ displaystyle [ mathbf {l}] _ { times} = mathbf {a} mathbf {b} ^ { top} - mathbf {b} mathbf {a} ^ { top} = left ({ begin {array} {ccc} 0 & l_ {2} & - l_ {1} - l_ {2} & 0 & l_ {0} l_ {1} & - l_ {0} & 0 end {array}} верно)}$

и аналогично ${ displaystyle [ mathbf {x}] _ { times} = mathbf {l} mathbf {m} ^ { top} - mathbf {m} mathbf {l} ^ { top}}$

Геометрическая интерпретация

Позволять ${ displaystyle mathbf {d} = left (-L_ {03}, , - L_ {13}, , - L_ {23} right) ^ { top}}$ и ${ displaystyle mathbf {m} = left (L_ {12}, , - L_ {02}, , L_ {01} right) ^ { top}}$, то мы можем написать

${ displaystyle [ mathbf {L}] _ { times} = left ({ begin {array} {cc} [ mathbf {m}] _ { times} & mathbf {d} - mathbf {d} & 0 end {array}} right)}$

и

${ displaystyle [{ тильда { mathbf {L}}}] _ { times} = left ({ begin {array} {cc} [- mathbf {d}] _ { times} & mathbf {m} - mathbf {m} & 0 end {array}} right),}$^{[нужна цитата ]}

куда ${ displaystyle mathbf {d}}$ это смещение и ${ displaystyle mathbf {m}}$ момент линии, сравните геометрическая интуиция координат Плюккера.

Рекомендации

• Рихтер-Геберт, Юрген (2011). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной проективной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-17286-1.
• Хорхе Стольфи (1991). Ориентированная проективная геометрия: основа для геометрических вычислений. Академическая пресса. ISBN  978-1483247045.
  Из оригинального Стэнфордского университета 1988 г. диссертация, Примитивы для вычислительной геометрии, доступно как [1].
• Блинн, Джеймс Ф. (Август 1977 г.). «Однородная формулировка линий в 3-х пространстве». ACM SIGGRAPH Компьютерная графика. 11 (2): 237–241. Дои:10.1145/965141.563900. ISSN  0097-8930.