Положительная гармоническая функция - Positive harmonic function

В математика, а положительная гармоническая функция на единичный диск в сложные числа характеризуется как Интеграл Пуассона конечного положительная мера по кругу. Этот результат, Теорема Херглотца-Рисса о представлении, было независимо доказано Густав Херглотц и Фриджес Рис в 1911 году. Его можно использовать, чтобы дать родственную формулу и характеристику для любого голоморфная функция на единичном диске с положительной действительной частью. Такие функции были охарактеризованы еще в 1907 г. Константин Каратеодори с точки зрения положительная определенность от их Коэффициенты Тейлора.

Теорема Херглотца-Рисса о представлении гармонических функций

Положительная функция ж на единичном диске с ж(0) = 1 является гармоническим тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на единичной окружности такая, что

{ displaystyle f (re ^ {i theta}) = int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ {2} over 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , d mu ( varphi).}

Формула четко определяет положительную гармоническую функцию с ж(0) = 1.

И наоборот, если ж положительно и гармонично и р_п увеличивается до 1, определить

{ Displaystyle е_ {п} (г) = е (г_ {п} г). ,}

потом

{ displaystyle f_ {n} (re ^ {i theta}) = {1 over 2 pi} int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ {2} over 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , f_ {n} ( varphi) , d phi = int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ { 2} over 1-2r cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} d mu _ {n} ( varphi)}

куда

{ displaystyle d mu _ {n} ( varphi) = {1 over 2 pi} f (r_ {n} e ^ {i varphi}) , d varphi}

- вероятностная мера.

По аргументу компактности (или, что то же самое, в этом случаеТеорема выбора Хелли за Интегралы Стилтьеса ) подпоследовательность этих вероятностных мер имеет слабый предел, который также является вероятностной мерой μ.

С р_п увеличивается до 1, так что ж_п(z) как правило ж(z) следует формула Герглотца.

Теорема Херглотца-Рисса о представлении голоморфных функций

Голоморфная функция ж на единичном диске с ж(0) = 1 имеет положительную вещественную часть тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на единичной окружности такая, что

{ displaystyle f (z) = int _ {0} ^ {2 pi} {1 + e ^ {- i theta} z over 1-e ^ {- i theta} z} , d му ( theta).}

Это следует из предыдущей теоремы, потому что:

ядро Пуассона является действительной частью подынтегрального выражения выше
действительная часть голоморфной функции является гармонической и определяет голоморфную функцию с точностью до добавления скаляра
приведенная выше формула определяет голоморфную функцию, действительная часть которой дается предыдущей теоремой