Тело проекции - Projection body

В выпуклая геометрия, то тело проекции ${ displaystyle Pi K}$ из выпуклое тело ${ displaystyle K}$ в п-размерный Евклидово пространство выпуклое тело такое, что для любого вектора ${ Displaystyle и в S ^ {п-1}}$ , то функция поддержки из ${ displaystyle Pi K}$ в направлении ты это (п - 1) -размерный объем проекции K на гиперплоскость ортогонален ты.

Минковский показал, что тело выступа выпуклого тела выпукло. Мелкий (1967) и Шнайдер (1967) использовали проекционные тела в своем решении Проблема Шепарда.

За ${ displaystyle K}$ выпуклое тело, пусть ${ displaystyle Pi ^ { circ} K}$ обозначить полярное тело его тела проекции. Для этого тела есть два замечательных аффинных изопериметрических неравенства. Мелкий (1971) доказал, что для всех выпуклых тел ${ displaystyle K}$ ,

{ Displaystyle V_ {n} (K) ^ {n-1} V_ {n} ( Pi ^ { circ} K) leq V_ {n} (B ^ {n}) ^ {n-1} V_ {n} ( Pi ^ { circ} B ^ {n}),}

куда ${ displaystyle B ^ {n}}$ обозначает п-размерный шар и ${ displaystyle V_ {n}}$ является п-мерный объем, причем равенство именно для эллипсоидов. Чжан (1991) доказал, что для всех выпуклых тел ${ displaystyle K}$ ,

{ Displaystyle V_ {n} (K) ^ {n-1} V_ {n} ( Pi ^ { circ} K) geq V_ {n} (T ^ {n}) ^ {n-1} V_ {n} ( Pi ^ { circ} T ^ {n}),}

куда ${ Displaystyle Т ^ {п}}$ обозначает любой ${ displaystyle n}$ -мерный симплекс, и равенство именно для таких симплексов.

В тело пересечения IK из K аналогично определяется как звездное тело такое, что для любого вектора ты радиальная функция IK от исходной точки в направлении ты это (п - 1) -мерный объем пересечения K с гиперплоскостью ты^⊥Эквивалентно радиальная функция тела пересечения IK это Преобразование фанка радиальной функции K.Тела пересечения были введены Лютвак (1988).

Колдобский (1998а) показал, что центрально-симметричное звездообразное тело является телом пересечения тогда и только тогда, когда функция 1 / ||Икс|| положительно определенное распределение, где ||Икс|| - однородная функция степени 1, равная 1 на границе тела, а Колдобский (1998б) использовал это, чтобы показать, что единичные шары l^п
_п, 2 < п ≤ ∞ в п-мерное пространство с л^п норма тела пересечения для п= 4, но не являются телами пересечения дляп ≥ 5.

Тело проекции - Projection body

Смотрите также

Рекомендации