Преобразование фанка - Funk transform

в математический поле интегральная геометрия, то Преобразование фанка (также известен как Преобразование Минковского – Функ, Преобразование Функ – Радона или сферическое преобразование Радона) является интегральное преобразование определяется интегрированием функция на большие круги из сфера. Он был представлен Пол Фанк в 1911 г. по работе Минковский (1904). Это тесно связано с Преобразование радона. Первоначальной мотивацией изучения преобразования Фанка было описание Zoll метрики на сфере.

Определение

Преобразование Функ определяется следующим образом. Позволять ƒ быть непрерывная функция на 2-сфера S² в р³. Тогда для единичный вектор Икс, позволять

{displaystyle Ff (mathbf {x}) = int _ {mathbf {u} в C (mathbf {x})} f (mathbf {u}), ds (mathbf {u})}

где интеграл ведется по длине дуги ds большого круга C(Икс), состоящий из всех единичных векторов, перпендикулярных Икс:

{displaystyle C (mathbf {x}) = {mathbf {u} in S ^ {2} mid mathbf {u} cdot mathbf {x} = 0}.}

Инверсия

Преобразование Фанка уничтожает все нечетные функции, поэтому естественно ограничиться случаем, когда ƒ даже. В этом случае преобразование Funk переводит четные (непрерывные) функции в четные непрерывные функции и, кроме того, является обратимым.

Сферические гармоники

Каждая интегрируемая с квадратом функция ${displaystyle fin L ^ {2} (S ^ {2})}$ на сфере можно разложить на сферические гармоники ${displaystyle Y_ {n} ^ {k}}$

{displaystyle f = sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {k = -n} ^ {n} {hat {f}} (n, k) Y_ {n} ^ {k}.}

Тогда преобразование Фанка функции ж читает

{displaystyle Ff = sum _ {n = 0} ^ {infty} sum _ {k = -n} ^ {n} P_ {n} (0) {hat {f}} (n, k) Y_ {n} ^ {k}}

где ${displaystyle P_ {2n + 1} (0) = 0}$ для нечетных значений и

{displaystyle P_ {2n} (0) = (- 1) ^ {n}, {frac {1cdot 3cdot 5cdots 2n-1} {2cdot 4cdot 6cdots 2n}} = (- 1) ^ {n}, {frac {( 2n-1) !!} {(2n) !!}}}

для четных значений. Этот результат показал Фанк (1913).

Формула обращения Хельгасона

Другая формула обращения возникает из-за Хельгасон (1999).Как и преобразование Радона, формула обращения основана на двойном преобразовании F* определяется

{displaystyle (F ^ {*} f) (p, mathbf {x}) = {frac {1} {2pi cos p}} int _ {| mathbf {u} | = 1, mathbf {x} cdot mathbf {u } = sin p} f (mathbf {u}), | dmathbf {u} |.}

Это среднее значение функции круга. ƒ по кругам дугового расстояния п с точки Икс. Обратное преобразование дается формулой

{displaystyle f (mathbf {x}) = {frac {1} {2pi}} left {{frac {d} {du}} int _ {0} ^ {u} F ^ {*} (Ff) (cos ^ {-1} v, mathbf {x}) v (u ^ {2} -v ^ {2}) ^ {- 1/2}, dvight} _ {u = 1}.}

Обобщение

Классическая формулировка инвариантна относительно группа вращения SO (3). Также можно сформулировать преобразование Функа таким образом, чтобы оно было инвариантным относительно специальная линейная группа SL (3,р), из-за (Bailey et al. 2003 г. ). Предположим, что ƒ это однородная функция степени −2 на р³. Тогда для линейно независимый векторов Икс и уопределим функцию φ линейный интеграл

{displaystyle varphi (mathbf {x}, mathbf {y}) = {frac {1} {2pi}} oint f (umathbf {x} + vmathbf {y}) (u, dv-v, du)}

взято по простой замкнутой кривой, один раз охватывающей начало координат. В дифференциальная форма

{displaystyle f (umathbf {x} + vmathbf {y}) (u, dv-v, du)}

является закрыто, что следует из однородности ƒ. Автор замена переменных, φ удовлетворяет

{displaystyle phi (amathbf {x} + bmathbf {y}, cmathbf {x} + dmathbf {y}) = {frac {1} {| ad-bc |}} phi (mathbf {x}, mathbf {y}) ,}

и тем самым дает однородную функцию степени −1 на внешний квадрат из р³,

{displaystyle Ff (mathbf {x} wedge mathbf {y}) = phi (mathbf {x}, mathbf {y}).}

Функция Fƒ : Λ²р³ → р согласуется с преобразованием Фанка, когда ƒ является однородным продолжением степени −2 функции на сфере и проективном пространстве, ассоциированном с Λ²р³ отождествляется с пространством всех окружностей на сфере. В качестве альтернативы Λ²р³ можно отождествить с р³ в SL (3,р) -инвариантным образом, поэтому преобразование Функа F отображает гладкие четные однородные функции степени −2 на р³{0} для сглаживания четных однородных функций степени −1 на р³{0}.

Приложения

Преобразование Функ-Радона используется в методе Q-Ball для Диффузная МРТ введено в (Tuch 2004 Это также связано с тела пересечения в выпуклой геометрии. Позволять ${displaystyle Ksubset mathbb {R} ^ {d}}$ быть звездное тело с радиальной функцией ${displaystyle ho _ {K} ({oldsymbol {x}}) = max {t: t {oldsymbol {x}} в K},}$ ${displaystyle xin S ^ {d-1}}$ .Тогда тело пересечения IK из K имеет радиальную функцию ${displaystyle ho _ {IK} = Fho _ {K}}$ , увидеть (Гарднер 2006, п. 305).

Смотрите также

использованная литература

Bailey, T. N .; Иствуд, Майкл Дж .; Говер, А. Род; Мейсон, Л. Дж. (2003), «Комплексный анализ и преобразование Функ» (PDF), Журнал Корейского математического общества, 40 (4): 577–593, Дои:10.4134 / JKMS.2003.40.4.577, Г-Н 1995065
Данн, Сюзанна (2010), О преобразовании Минковского-Функ, arXiv:1003.5565, Bibcode:2010arXiv1003.5565D
Функ, Пол (1913), "Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien", Mathematische Annalen, 74 (2): 278–300, Дои:10.1007 / BF01456044.
Функ, Пол (1915), "Über eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung", Mathematische Annalen, 77 (1): 129–135, Дои:10.1007 / BF01456824, Г-Н 1511851.
Guillemin, Victor (1976), "Преобразование Радона на поверхностях Цолля", Успехи в математике, 22 (1): 85–119, Дои:10.1016/0001-8708(76)90139-0, Г-Н 0426063.
Хельгасон, Сигурдур (1999), Преобразование Радона, Успехи в математике, 5 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4109-2, Г-Н 1723736.
Минковский, Германн (1904 г.), «О телах постоянной ширины», Математический сборник, 25: 505–508
Туч, Дэвид С. (2004). «Визуализация Q-Ball». Magn. Резон. Med. 52 (6): 1358–1372. Дои:10.1002 / mrm.20279. PMID 15562495.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Гарднер, Ричард Дж. (2006), Геометрическая томография, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-86680-4