Преобразование радона - Radon transform

В математика, то Преобразование радона это интегральное преобразование который принимает функцию ж определенная на плоскости к функции Rf определены на (двумерном) пространстве линий на плоскости, значение которых на конкретной линии равно линейный интеграл функции над этой строкой. Преобразование было введено в 1917 г. Иоганн Радон,^[1] который также предоставил формулу для обратного преобразования. Радон также включил формулы для преобразования в три измерения, в котором интеграл берется по плоскостям (интегрирование по линиям известно как Рентгеновское преобразование ). Позже он был обобщен на многомерные Евклидовы пространства, и в более широком контексте интегральная геометрия. В сложный аналог преобразования Радона известен как Преобразование Пенроуза. Преобразование Радона широко применимо к томография, создание изображения из данных проекции, связанных со сканированием поперечного сечения объекта.

Объяснение

Если функция ${ displaystyle f}$ представляет неизвестную плотность, тогда преобразование Радона представляет данные проекции, полученные в результате томографического сканирования. Следовательно, обратное преобразованию Радона можно использовать для восстановления исходной плотности из данных проекции, и, таким образом, оно формирует математическую основу для томографическая реконструкция, также известный как итеративная реконструкция.

Данные преобразования Радона часто называют синограмма потому что преобразование Радона нецентрального точечного источника является синусоидой. Следовательно, преобразование Радона ряда малых объектов графически выглядит как ряд размытых синусоидальные волны с разными амплитудами и фазами.

Преобразование Радона полезно в компьютерная аксиальная томография (Томография), штрих-код сканеры, электронная микроскопия из макромолекулярные сборки подобно вирусы и белковые комплексы, сейсмология отражений а в решении гиперболической уравнения в частных производных.

Определение

Позволять ${ Displaystyle е ({ textbf {х}}) = е (х, у)}$- функция, удовлетворяющая трем условиям регулярности:^[2]

1. ${ displaystyle f ({ textbf {x}})}$ непрерывно;
2. двойной интеграл ${ displaystyle iint { dfrac { vert f ({ textbf {x}}) vert} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} dxdy}$, простираясь по всей плоскости, сходится;
3. для любой произвольной точки ${ Displaystyle (х, у)}$ на самолете ${ displaystyle lim _ {r to infty} int _ {0} ^ {2 pi} f (x + r cos phi, y + r sin phi) d phi = 0.}$

Преобразование Радона, ${ displaystyle Rf}$, - функция, заданная на пространстве прямых ${ Displaystyle L in mathbb {R} ^ {2}}$ посредством линейный интеграл по каждой такой линии, как:

Конкретно, параметризация любой прямой ${ displaystyle L}$ по длине дуги ${ displaystyle z}$ всегда можно написать:куда ${ displaystyle s}$ это расстояние ${ displaystyle L}$ от происхождения и ${ displaystyle alpha}$ угол, под которым вектор нормали ${ displaystyle L}$ делает с ${ displaystyle X}$-ось. Отсюда следует, что величины ${ Displaystyle ( альфа, s)}$ можно рассматривать как координаты на пространстве всех строк в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, и преобразование Радона может быть выражено в этих координатах как: В более общем плане в ${ displaystyle n}$-размерный Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, преобразование Радона функции ${ displaystyle f}$ удовлетворяющая условиям регулярности, является функцией ${ displaystyle Rf}$ на пространстве ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ из всех гиперплоскости в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Это определяется:

где интеграл берется по естественной гиперповерхность мера, ${ displaystyle d sigma}$ (обобщая ${ Displaystyle верт д mathbf {х} верт}$ срок от ${ displaystyle 2}$-мерный случай). Обратите внимание, что любой элемент ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ характеризуется как геометрическое место решения уравнения ${ Displaystyle mathbf {x} cdot alpha = s}$, куда ${ Displaystyle альфа в S ^ {п-1}}$ это единичный вектор и ${ displaystyle s in mathbb {R}}$. Таким образом ${ displaystyle n}$-мерное преобразование Радона можно переписать как функцию на ${ Displaystyle S ^ {п-1} раз mathbb {R}}$ через: Также возможно еще больше обобщить преобразование Радона путем интегрирования по ${ displaystyle k}$-мерные аффинные подпространства ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. В Рентгеновское преобразование является наиболее широко используемым частным случаем этой конструкции и получается интегрированием по прямым линиям.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Радона тесно связано с преобразование Фурье. Здесь мы определяем одномерное преобразование Фурье как:

Для функции ${ displaystyle 2}$-вектор ${ Displaystyle mathbf {х} = (х, у)}$, одномерное преобразование Фурье: Для удобства обозначим ${ Displaystyle { mathcal {R}} _ { alpha} [f] (s) = { mathcal {R}} [f] ( alpha, s)}$. В Теорема Фурье-среза затем заявляет: куда ${ Displaystyle mathbf {п} ( альфа) = ( соз альфа, грех альфа).}$

Таким образом, двумерное преобразование Фурье исходной функции вдоль прямой под углом наклона ${ displaystyle alpha}$ - преобразование Фурье с одной переменной для преобразования Радона (полученное под углом ${ displaystyle alpha}$) этой функции. Этот факт можно использовать для вычисления как преобразования Радона, так и его обратного. Результат можно обобщить на п размеры:

Двойное преобразование

Двойное преобразование Радона - это своего рода прилегающий преобразованию Радона. Начиная с функции грамм на пространстве ${ displaystyle Sigma _ {n}}$двойственное преобразование Радона - это функция ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {*} g}$ на р^п определяется:

Интеграл здесь берется по множеству всех гиперплоскостей, инцидентных точке ${ displaystyle { textbf {x}} in mathbb {R} ^ {n}}$, а мера ${ displaystyle d mu}$ уникальный вероятностная мера на съемочной площадке ${ Displaystyle { хи | х в хи }}$ инвариантен относительно вращений вокруг точки ${ displaystyle x}$.

Конкретно, для двумерного преобразования Радона двойственное преобразование задается следующим образом:

В контексте обработки изображений двойное преобразование обычно называют обратная проекция^[3] поскольку он принимает функцию, определенную для каждой линии на плоскости, и «размазывает» или проецирует ее обратно на линию, чтобы создать изображение.

Переплетение собственности

Позволять ${ displaystyle Delta}$ обозначить Лапласиан на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ определяется:

Это естественная инвариантная относительно вращения второго порядка дифференциальный оператор. На ${ displaystyle Sigma _ {n}}$, "радиальная" вторая производная ${ displaystyle Lf ( alpha, s) Equiv { frac { partial ^ {2}} { partial s ^ {2}}} f ( alpha, s)}$ также инвариантно относительно вращения. Преобразование Радона и его двойственное переплетающиеся операторы для этих двух дифференциальных операторов в том смысле, что^[4]: При анализе решений волнового уравнения в нескольких пространственных измерениях свойство переплетения приводит к трансляционному представлению Лакса и Филипса.^[5] В изображении^[6] и численный анализ^[7] это используется для сведения многомерных задач к одномерным в качестве метода разделения измерений.

Реконструкционные подходы

Процесс реконструкция производит изображение (или функцию ${ displaystyle f}$ в предыдущем разделе) из данных его проекции. Реконструкция является обратная задача.

Формула обращения радона

В двумерном случае наиболее часто используемая аналитическая формула для восстановления ${ displaystyle f}$ из его преобразования Радона является Формула обратной проекции с фильтром или же Формула инверсии радона^[8]:

куда ${ displaystyle h}$ таково, что ${ Displaystyle { шляпа {ч}} (к) = | к |}$.^[9] Ядро свертки ${ displaystyle h}$ в некоторой литературе называется фильтром линейного изменения.

Некорректность

Интуитивно в фильтрованная обратная проекция формула, по аналогии с дифференцированием, для которой ${ displaystyle left ({ widehat {{ frac {d} {dx}} f}} right) ! (k) = ik { widehat {f}} (k)}$, мы видим, что фильтр выполняет операцию, аналогичную производной. Грубо говоря, фильтр делает объекты более единственное число. Количественное заявление о некорректности инверсии радона выглядит следующим образом:

куда ${ Displaystyle { mathcal {R}} ^ {*}}$ ранее определенное прилегающий к преобразованию Радона. Таким образом, для ${ Displaystyle г ( mathbf {x}) = е ^ {я влево langle mathbf {k} _ {0}, mathbf {x} right rangle}}$, у нас есть: Комплексная экспонента ${ Displaystyle е ^ {я влево langle mathbf {k} _ {0}, mathbf {x} right rangle}}$ таким образом, является собственной функцией ${ Displaystyle { mathcal {R}} ^ {*} { mathcal {R}}}$ с собственным значением ${ displaystyle { frac {1} {|| mathbf {k_ {0}} ||}}}$. Таким образом, сингулярные значения ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ находятся ${ displaystyle { sqrt { frac {1} {|| mathbf {k} ||}}}}$. Поскольку эти сингулярные значения имеют тенденцию к ${ displaystyle 0}$, ${ Displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 1}}$ неограничен.^[9]

Итерационные методы реконструкции

По сравнению с Фильтрованная обратная проекция метода, итеративная реконструкция требует большого времени вычислений, что ограничивает его практическое использование. Однако из-за некорректности инверсии радона Фильтрованная обратная проекция метод может оказаться невозможным при наличии неоднородности или шума. Итерационные методы реконструкции (например итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия^[10]) может обеспечить уменьшение металлических артефактов, снижение шума и дозы для восстановленного результата, что вызывает большой интерес исследователей во всем мире.

Формулы обращения

Доступны явные и эффективные в вычислительном отношении формулы обращения для преобразования Радона и двойственного к нему. Преобразование Радона в ${ displaystyle n}$ размеры можно инвертировать по формуле^[11]:

куда ${ displaystyle c_ {n} = (4 pi) ^ {(n-1) / 2} { frac { Gamma (n / 2)} { Gamma (1/2)}}}$, а мощность лапласиана ${ Displaystyle (- Delta) ^ {(п-1) / 2}}$ определяется как псевдодифференциальный оператор при необходимости преобразование Фурье: Для вычислительных целей мощность лапласиана коммутируется двойственным преобразованием ${ Displaystyle R ^ {*}}$ давать^[12]: куда ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {s}}$ это Преобразование Гильберта с уважением к s Переменная. В двух измерениях оператор ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {s} { frac {d} {ds}}}$ появляется при обработке изображений как рамповый фильтр.^[13] Непосредственно из теоремы Фурье о срезах и замены переменных для интегрирования можно доказать, что для непрерывной функции с компактным носителем ${ displaystyle f}$ двух переменных: Таким образом, в контексте обработки изображения исходное изображение ${ displaystyle f}$ можно восстановить по данным синограммы ${ displaystyle Rf}$ применяя фильтр рампы (в ${ displaystyle s}$ переменная), а затем обратное проецирование. Поскольку этап фильтрации может выполняться эффективно (например, используя цифровая обработка сигналов техники), а этап обратной проекции - это просто накопление значений в пикселях изображения, что приводит к высокоэффективному и, следовательно, широко используемому алгоритму.

В явном виде формула обращения, полученная вторым методом, имеет вид^[3]:

Двойное преобразование также можно инвертировать по аналогичной формуле:

Преобразование Радона в алгебраической геометрии

В алгебраическая геометрия, преобразование Радона (также известное как Преобразование Брылинского – Радона) строится следующим образом.

Написать

${ displaystyle mathbf {P} ^ {d} { stackrel {p_ {1}} { gets}} H { stackrel {p_ {2}} { to}} mathbf {P} ^ { vee , d}}$

для универсальная гиперплоскость, т.е. ЧАС состоит из пар (Икс, час) куда Икс это точка в d-размерный проективное пространство ${ displaystyle mathbf {P} ^ {d}}$ и час это точка в двойственное проективное пространство (другими словами, Икс линия, проходящая через начало координат в (d+1) -мерный аффинное пространство, и час является гиперплоскостью в этом пространстве) такая, что Икс содержится в час.

Тогда преобразование Брылинки – Радона является функтором между соответствующими производные категории из этальные снопы

${ displaystyle Rad: = Rp_ {2, *} p_ {1} ^ {*}: D ( mathbf {P} ^ {d}) to D ( mathbf {P} ^ { vee, d}) .}$

Основная теорема об этом преобразовании состоит в том, что это преобразование индуцирует эквивалентность категорий извращенные снопы на проективном пространстве и его дуальном проективном пространстве с точностью до постоянных пучков.^[14]

Смотрите также

• Периодограмма
• Соответствующий фильтр
• Деконволюция
• Рентгеновское преобразование
• Преобразование фанка
• В Преобразование Хафа, когда записано в непрерывной форме, очень похоже, если не эквивалентно, преобразованию Радона.^[15]
• Теорема Коши-Крофтона является тесно связанной формулой для вычисления длины кривых в пространстве.
• Быстрое преобразование Фурье

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Локенат Дебнат; Дамбару Бхатта (19 апреля 2016 г.). Интегральные преобразования и их приложения.. CRC Press. ISBN  978-1-4200-1091-6.
• Динс, Стэнли Р. (1983), Преобразование Радона и некоторые его приложения, Нью-Йорк: John Wiley & Sons
• Хельгасон, Сигурдур (2008), Геометрический анализ на симметричных пространствах, Математические обзоры и монографии, 39 (2-е изд.), Providence, R.I .: Американское математическое общество, Дои:10.1090 / сур / 039, ISBN  978-0-8218-4530-1, МИСТЕР  2463854
• Герман, Габор Т. (2009), Основы компьютерной томографии: реконструкция изображения по проекциям (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-85233-617-2
• Минлос, Р.А. (2001) [1994], «Преобразование радона», Энциклопедия математики, EMS Press
• Наттерер, Франк (июнь 2001 г.), Математика компьютерной томографии, Классика прикладной математики, 32, Общество промышленной и прикладной математики, ISBN  0-89871-493-1
• Наттерер, Франк; Wübbeling, Франк (2001), Математические методы реконструкции изображений, Общество промышленной и прикладной математики, ISBN  0-89871-472-9
• Киль, Рейнхардт; Вайссауэр, Райнер (2001), Гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье, Спрингер, Дои:10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN  3-540-41457-6, МИСТЕР  1855066

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование радона». MathWorld.
• Аналитическая проекция (преобразование Радона) (видео). Часть курса «Компьютерная томография и ASTRA Toolbox». Университет Антверпена. 10 сентября 2015 года.