Квадратичная йорданова алгебра - Quadratic Jordan algebra

В математика, квадратичные йордановы алгебры являются обобщением Йордановы алгебры представлен Кевин МакКриммон  (1966 ). Фундаментальные идентичности квадратичное представление линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Имеется единое описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящих от характеристики. Если 2 обратима в поле коэффициентов, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

Определение

А квадратичная йорданова алгебра состоит из векторного пространства А над полем K с выделенным элементом 1 и квадратичным отображением А в K-эндоморфизмы А, а ↦ Q(а), удовлетворяющие условиям:

• Q(1) = идентификатор;
• Q(Q(а)б) = Q(а)Q(б)Q(а) («фундаментальная идентичность»);
• Q(а)р(б,а) = р(а,б)Q(а) («коммутационное тождество»), где р(а,б)c = (Q(а + c) − Q(а) − Q(c))б.

Кроме того, эти свойства должны сохраняться при любых расширение скаляров.^[1]

Элементы

Элемент а является обратимый если Q(а) обратима и существует б такой, что Q(б) является обратным Q(а) и Q(а)б = а: такой б уникален, и мы говорим, что б это обратный из а. А Йорданова алгебра с делением - это тот, в котором каждый ненулевой элемент обратим.^[2]

Структура

Позволять B быть подпространством А. Определять B быть квадратичный идеал^[3] или внутренний идеал если изображение Q(б) содержится в B для всех б в B; определять B быть внешний идеал если B отображается в себе каждым Q(а) для всех а в А. An идеальный из А это подпространство, которое одновременно является внутренним и внешним идеалом.^[1] Квадратичная йорданова алгебра - это просто если в нем нет нетривиальных идеалов.^[2]

Для данного б, образ Q(б) является внутренним идеалом: мы называем его главный внутренний идеал на б.^[2][4]

В центроид Γ из А это подмножество End_K(А) состоящий из эндоморфизмов Т которые "ездят" с Q в том смысле, что для всех а

• Т Q(а) = Q(а) Т;
• Q(Та) = Q(а) Т².

Центроид простой алгебры - это поле: А является центральный если его центроид просто K.^[5]

Примеры

Квадратичная йорданова алгебра из ассоциативной алгебры

Если А является ассоциативной алгеброй с единицей над K с умножением ×, то квадратичное отображение Q можно определить из А до конца_K(А) к Q(а) : б ↦ а × б × а. Это определяет структуру квадратичной йордановой алгебры на А. Квадратичная йорданова алгебра - это специальный если она изоморфна подалгебре такой алгебры, иначе исключительный.^[2]

Квадратичная йорданова алгебра из квадратичной формы

Позволять А быть векторным пространством над K с квадратичная форма q и связанные симметричная билинейная форма q(Икс,у) = q(Икс+у) - q(Икс) - q(у). Позволять е быть "исходной точкой" А, то есть элемент с q(е) = 1. Определим линейный функционал Т(у) = q(у,е) и "отражение" у^∗ = Т(у)е - у. Для каждого Икс мы определяем Q(Икс) к

Q(Икс) : у ↦ q(Икс,у^∗)Икс − q(Икс) у^∗ .

потом Q определяет квадратичную йорданову алгебру на А.^[6][7]

Квадратичная йорданова алгебра из линейной йордановой алгебры

Позволять А - унитальная йорданова алгебра над полем K характеристики не равной 2. Для а в А, позволять L обозначим левое отображение умножения в ассоциативная обертывающая алгебра

${ Displaystyle L (а): х mapsto ax }$

и определим K-эндоморфизм А, называется квадратичное представление, к

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}).}}$

потом Q определяет квадратичную йорданову алгебру.

Квадратичная йорданова алгебра, определяемая линейной йордановой алгеброй

Квадратичные тождества можно доказать в конечномерной йордановой алгебре над р или же C следующий Макс Кехер, который использовал обратимый элемент. Их также легко доказать в йордановой алгебре, определенной ассоциативной алгеброй с единицей («специальной» йордановой алгеброй), поскольку в этом случае Q(а)б = аба.^[8] Они верны в любой йордановой алгебре над полем характеристики, отличной от 2. Это было предположено Якобсон и доказал в Макдональд (1960): Макдональд показал, что если полиномиальное тождество от трех переменных, линейное по третьей, верно в любой специальной йордановой алгебре, то оно верно во всех йордановых алгебрах.^[9] В Якобсон (1969, pp. 19–21) элементарное доказательство, принадлежащее Маккриммону и Мейбергу, дается для йордановых алгебр над полем характеристики, не равной 2.

Доказательство Кехера

Аргументы Кохера применимы к конечномерным йордановым алгебрам над действительными или комплексными числами.^[10]

Фундаментальная идентичность I

Элемент а в А называется обратимый если он обратим в р[а] или же C[а]. Если б обозначает обратное, то ассоциативность власти из а показывает, что L(а) и L(б) ездить.

Фактически а обратима тогда и только тогда, когда Q(а) обратима. В таком случае

::${ displaystyle displaystyle {Q (a) ^ {- 1} a = a ^ {- 1}, , , , Q (a ^ {- 1}) = Q (a) ^ {- 1}. }}$

Действительно, если Q(а) обратим, он несет р[а] на себя. С другой стороны Q(а)1 = а², так

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) ^ {- 1} a) a = aQ (a) ^ {- 1} a = L (a) Q (a) ^ {- 1} a = Q (a) ^ {- 1} a ^ {2} = 1.}}$

Иорданская идентичность

${ Displaystyle Displaystyle {[L (а), L (а ^ {2})] (Ь) = 0}}$

возможно поляризованный заменив а к а + tc и принимая коэффициент т. Переписав это как оператор, применяемый к c дает

${ displaystyle displaystyle {2L (ab) L (a) + L (a ^ {2}) L (b) = 2L (a) L (b) L (a) + L (a ^ {2} b) .}}$

Принимая б = а⁻¹ в этом поляризованном тождестве Жордана дает

${ displaystyle displaystyle {Q (a) L (a ^ {- 1}) = L (a).}}$

Замена а обратное соотношение следует, если L(а) и L(а⁻¹) обратимы. Если нет, то а + ε1 при сколь угодно малом ε, а значит, и в пределе.

За c в А и F(а) функция на А со значениями в конце А, позволятьD_cF(а) - производная при т = 0 из F(а + tc). потом

${ displaystyle displaystyle {c = D_ {c} (Q (a) a ^ {- 1}) = 2Q (a, c) a ^ {- 1} + Q (a) D_ {c} (a ^ { -1}),}}$

куда Q(а,б) если поляризация Q

${ Displaystyle Displaystyle {Q (a, c) = {1 более 2} (Q (a + c) -Q (a) -Q (c)) = L (a) L (c) + L (c ) L (a) -L (ac).}}$

С L(а) ездит с L(а⁻¹)

${ displaystyle displaystyle {Q (a, c) a ^ {- 1} = (L (a) L (c) + L (c) L (a) -L (ac)) a ^ {- 1} = c.}}$

Следовательно

${ displaystyle displaystyle {c = 2c + Q (a) D_ {c} (a ^ {- 1}),}}$

так что

::${ displaystyle displaystyle {D_ {c} (a ^ {- 1}) = - Q (a) ^ {- 1} c.}}$

Применение D_c к L(а⁻¹)Q(а) = L(а) и действуя на б = c⁻¹ дает

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) b) (Q (a ^ {- 1}) b ^ {- 1}) = 1.}}$

С другой стороны L(Q(а)б) обратима на открытом плотном множестве, где Q(а)б также должен быть обратимым с

${ displaystyle displaystyle {(Q (a) b) ^ {- 1} = Q (a ^ {- 1}) b ^ {- 1}.}}$

Взяв производную D_c в переменной б в приведенном выше выражении дает

${ displaystyle displaystyle {-Q (Q (a) b) ^ {- 1} Q (a) c = -Q (a) ^ {- 1} Q (b) ^ {- 1} c.}}$

Это дает фундаментальное тождество для плотного набора обратимых элементов, поэтому в общем случае следует по непрерывности. Из фундаментального тождества следует, что c = Q(а)б обратим, если а и б обратимы и дает формулу, обратную Q(c). Применяя это к c дает обратное тождество в полной общности.

Идентификатор коммутации I

Как показано выше, если а обратима,

${ displaystyle displaystyle {Q (a, b) a ^ {- 1} = b.}}$

Принимая D_c с а поскольку переменная дает

${ displaystyle displaystyle {0 = Q (c, b) a ^ {- 1} + Q (a, b) D_ {c} (a ^ {- 1}) = Q (c, b) a ^ {- 1} -Q (a, b) Q (a) ^ {- 1} c.}}$

Замена а к а⁻¹ дает, применяя Q(а) и использование основного тождества дает

${ displaystyle displaystyle {Q (a) Q (b, c) a = Q (a) Q (a ^ {- 1}, b) Q (a) c = { frac {1} {2}} Q (a) [Q (a ^ {- 1} + b) -Q (a ^ {- 1}) - Q (b)] Q (a) c = Q (Q (a) b, a) c.} }$

Следовательно

${ displaystyle displaystyle {Q (a) Q (b, c) a = Q (Q (a) b, a) c.}}$

Меняя местами б и c дает

${ displaystyle displaystyle {Q (a) Q (b, c) a = Q (a, Q (a) c) b.}}$

С другой стороны р(Икс,у) определяется р(Икс,у)z = 2 Q(Икс,z)у, так что это означает

${ Displaystyle Displaystyle {Q (a) R (b, a) c = R (a, b) Q (a) c,}}$

так что для а обратима и, следовательно, по непрерывности для всех а

Доказательство Маккриммона – Мейберга

Идентификатор коммутации II

Иорданская идентичность а(а²б) = а²(ab) можно поляризовать, заменив а к а + tc и принимая коэффициент т. Это дает^[11]

${ displaystyle displaystyle {c (a ^ {2} b) + 2a (ac) b) = a ^ {2} (cb) +2 (ac) (ab).}}$

В обозначениях операторов это означает

::${ displaystyle displaystyle {[L (a ^ {2}), L (c)] + 2 [L (ac), L (a)] = 0.}}$

Поляризация в а снова дает

${ Displaystyle Displaystyle {с ((ad) b) + d ((ac) b) + a ((dc) b) = (cd) (ab) + (da) (cb) + (ac) (db) .}}$

Написано как операторы, действующие на d, это дает

${ Displaystyle Displaystyle {L (c) L (b) L (a) + L ((ac) b) + L (a) L (b) L (c) = L (ab) L (c) + L (cb) L (a) + L (ac) L (b).}}$

Замена c к б и б к а дает

::${ displaystyle displaystyle {L (b) L (a) ^ {2} + L (a (ab)) + L (a) ^ {2} L (b) = L (a ^ {2}) L ( б) + 2L (ab) L (a).}}$

Кроме того, поскольку правая часть симметрична относительно б и 'c, меняя местами б и c слева и вычитая, получаем, что коммутаторы [L(б), L (c)] являются дифференцированием йордановой алгебры.

Позволять

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}).}}$

потом Q(а) ездит с L(а) тождеством Жордана.

Из определений, если Q(а,б) = ½ (Q(а = б) − Q(а) − Q(б)) - ассоциированное симметричное билинейное отображение, то Q(а,а) = Q(а) и

${ displaystyle displaystyle {Q (a, b) = L (a) L (b) + L (b) L (a) -L (ab).}}$

более того

:${ displaystyle displaystyle {2Q (ab, a) = L (b) Q (a) + Q (a) L (b).}}$

В самом деле

2Q(ab,а) − L(б)Q(а) − Q(а)L(б) = 2L(ab)L(а) + 2L(а)L(ab) − 2L(а(ab)) − 2L(а)²L(б) − 2L(б)L(а)² + L(а²)L(б) + L(б)L(а²).

Из второго и первого поляризованных тождеств Жордана это влечет

2Q(ab,а) − L(б)Q(а) − Q(а)L(б) = 2[L(а),L(ab)] + [L(б),L(а²)] = 0.

Поляризованная версия [Q(а),L(а)] = 0 является

::${ displaystyle displaystyle {2 [Q (a, b), L (a)] = 2 [L (b), Q (a)].}}$

Теперь с р(а,б) = 2[L(а),L(б)] + 2L(ab), следует, что

${ Displaystyle Displaystyle {Q (a) R (b, a) = 2 [Q (a) L (b), L (a)] + 2Q (a) L (ab) = 2 [Q (ab, a ), L (a)] + 2 [L (a), L (b)] Q (a) + 2Q (a) L (ab).}}$

Итак, последняя личность с ab на месте б отсюда следует коммутационное тождество:

${ Displaystyle Displaystyle {Q (a) R (b, a) = 2 [L (a), L (b)] Q (a) + 2L (ab) Q (a) = R (a, b) Q (а).}}$

Личность Q(а)р(б,а) = р(а,б)Q(а) можно усилить до

::${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a).}}$

Действительно применимо к c, первые два члена дают

${ displaystyle displaystyle {2Q (a) Q (b, c) a = 2Q (Q (a) c, a) b.}}$

Переключение б и c затем дает

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) c = 2Q (Q (a) b, a) c.}}$

Фундаментальная идентичность II

Личность Q(Q(а)б) = Q(а)Q(б)Q(а) доказывается с помощью скобок Ли^[12]

Действительно, поляризация в c идентичности Q(c)L(Икс) + L(Икс)Q(c) = 2Q(сх,c) дает

${ displaystyle displaystyle {Q (c, y) L (x) + L (x) Q (c, y) = Q (yx, c) + Q (cx, y).}}$

Применяя обе стороны к d, это показывает, что

${ displaystyle displaystyle {[L (x), R (c, d)] = R (xc, d) -R (c, xd).}}$

В частности, эти уравнения верны для Икс = ab. С другой стороны, если Т = [L(а),L(б)] тогда D(z) = Tz является производным йордановой алгебры, так что

${ displaystyle displaystyle {[T, R (c, d)] = R (Dc, d) + R (c, Dd).}}$

Соотношения скобок Ли следуют потому, что р(а,б) = Т + L(ab).

Поскольку скобка Ли в левой части антисимметрична,

::${ Displaystyle Displaystyle {R (R (a, b) c, d) -R (c, R (b, a) d) = - R (R (c, d) a, b) + R (a, R (d, c) b).}}$

Как следствие

:${ displaystyle displaystyle {R (y, Q (x) y) = R (y, x) ^ {2} -2Q (y) Q (x).}}$

Действительно установлен а = у, б = Икс, c = z, d = Икс и заставить обе стороны действовать у.

С другой стороны

::${ displaystyle displaystyle {2Q (Q (a) b) = 2R (a, b) Q (Q (a) b, a) -Q (a) R (b, Q (a) b).}}$

Действительно, это следует, полагая Икс = Q(а)б в

${ Displaystyle Displaystyle {[R (a, b), R (x, y)] a = -R (R (x, y) a, b) a + R (a, R (y, x) b) а.}}$

Следовательно, комбинируя эти уравнения с усиленным коммутационным тождеством,

${ Displaystyle Displaystyle {2Q (Q (a) b) = 2R (a, b) Q (Q (a) b, a) -R (b, a) Q (a) R (a, b) + 2Q (a) Q (b) Q (a) = 2Q (a) Q (b) Q (a).}}$

Линейная йорданова алгебра, определяемая квадратичной йордановой алгеброй

Позволять А - квадратичная йорданова алгебра над р или же C. Следующий Якобсон (1969), линейной структуре йордановой алгебры можно сопоставить А так что, если L(а) является жордановым умножением, то квадратичная структура задается формулой Q(а) = 2L(а)² − L(а²).

Во-первых, аксиома Q(а)р(б,а) = р(а,б)Q(а) можно усилить до

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a).}}$

Действительно применимо к c, первые два члена дают

${ displaystyle displaystyle {2Q (a) Q (b, c) a = 2Q (Q (a) c, a) b.}}$

Переключение б и c затем дает

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) c = 2Q (Q (a) b, a) c.}}$

Теперь позвольте

${ displaystyle displaystyle {L (a) = { frac {1} {2}} R (a, 1).}}$

Замена б к а и а на 1 в тождестве выше дает

${ displaystyle displaystyle {R (a, 1) = R (1, a) = 2Q (a, 1).}}$

Особенно

${ Displaystyle Displaystyle {L (a) = Q (a, 1), , , , L (1) = Q (1,1) = I.}}$

Если к тому же а обратимо, то

${ displaystyle displaystyle {R (a, b) = 2Q (Q (a) b, a) Q (a) ^ {- 1} = 2Q (a) Q (b, a ^ {- 1}).} }$

Аналогично, если 'б обратимый

${ displaystyle displaystyle {R (a, b) = 2Q (a, b ^ {- 1}) Q (b).}}$

Произведение Иордана дается формулой

${ displaystyle displaystyle {a circ b = L (a) b = { frac {1} {2}} R (a, 1) b = Q (a, b) 1,}}$

так что

${ displaystyle displaystyle {a circ b = b circ a.}}$

Приведенная выше формула показывает, что 1 - это тождество. Определение а² к а∘а = Q(а) 1, остается проверить только условие Жордана

${ Displaystyle Displaystyle {[L (а), L (а ^ {2})] = 0.}}$

В фундаментальной идентичности

${ Displaystyle Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a),}}$

Заменять а к а + т, набор б = 1 и сравним коэффициенты при т² с обеих сторон:

${ Displaystyle Displaystyle {Q (а) = 2Q (а, 1) ^ {2} -Q (а ^ {2}, 1) = 2L (а) ^ {2} -L (а ^ {2}) .}}$

Параметр б = 1 во второй аксиоме дает

${ Displaystyle Displaystyle {Q (а) L (а) = L (а) Q (а),}}$

и поэтому L(а) должен ездить с L(а²).

Смена личности

В унитальной линейной йордановой алгебре смена личности утверждает, что

:${ displaystyle displaystyle {R (Q (a) b, b) = R (a, Q (b) a).}}$

Следующий Мейберг (1972), его можно установить как прямое следствие поляризованных форм фундаментального тождества и коммутационного или гомотопического тождества. Это также следствие теоремы Макдональда, поскольку это операторное тождество, включающее только две переменные.^[13]

За а в унитальной линейной йордановой алгебре А квадратичное представление дается

${ Displaystyle Displaystyle {Q (а) = 2L (а) ^ {2} -L (а ^ {2}),}}$

поэтому соответствующее симметричное билинейное отображение

${ displaystyle displaystyle {Q (a, b) = L (a) L (b) + L (b) L (a) -L (ab).}}$

Остальные операторы задаются формулой

${ Displaystyle Displaystyle {{ гидроразрыва {1} {2}} R (a, b) = L (a) L (b) -L (b) L (a) + L (ab),}}$

так что

${ displaystyle displaystyle {Q (a, b) = 2L (a) L (b) - { frac {1} {2}} R (a, b).}}$

Коммутация или гомотопическое тождество

${ Displaystyle Displaystyle {R (a, b) Q (a) = Q (a) R (b, a) = 2Q (Q (a) b, a),}}$

может быть поляризован в а. Замена а к а + т1 и принимая коэффициент при т дает

:${ Displaystyle Displaystyle {L (b) Q (a) + R (a, b) L (a) = Q (a) L (b) + L (a) R (b, a) = L (Q ( а) б) + 2Q (ab, a).}}$

Основная идентичность

${ Displaystyle Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)}}$

может быть поляризован в а. Замена а к а +т1 и взяв коэффициенты при т дает (меняя местами а и б)

:${ displaystyle displaystyle {2Q (ab, a) = Q (a) L (b) + L (b) Q (a).}}$

Объединение двух ранее отображаемых идентификаторов дает

:${ Displaystyle Displaystyle {L (Q (a) b) + L (b) Q (a) = L (a) R (b, a), , , , , L (Q (b) a ) + Q (b) L (a) = R (b, a) L (b).}}$

Замена а к а +т1 в фундаментальном тождестве и принимая коэффициент при т² дает

${ Displaystyle Displaystyle {2Q (Q (a) b, b) -L (a) Q (b) L (a) = Q (a) Q (b) + Q (b) Q (a) -Q ( ab).}}$

Поскольку правая часть симметрична, отсюда следует

:${ Displaystyle Displaystyle {2Q (Q (a) b, b) -2Q (Q (b) a, a) = L (a) Q (b) L (a) -L (b) Q (a) L (б).}}$

Эти удостоверения могут быть использованы для подтверждения личности смены:

${ displaystyle displaystyle {R (Q (a) b, b) = R (a, Q (b) a).}}$

Это эквивалентно тождеству

${ Displaystyle Displaystyle {2L (Q (a) b) L (b) -Q (Q (a) b, b) = 2L (a) L (Q (b) a) -Q (a, Q (b) ) а).}}$

По предыдущему отображаемому идентификатору это эквивалентно

${ Displaystyle Displaystyle {[L (Q (a) b) + L (b) Q (a)] L (b) = L (a) [L (Q (b) a) + Q (b) L ( а)].}}$

С другой стороны, заключенные в квадратные скобки термины могут быть упрощены с помощью третьего отображаемого идентификатора. Это означает, что обе стороны равны ½ L(а)р(б,а)L(б).

Для конечномерных йордановых алгебр с единицей тождество сдвига можно увидеть более непосредственно, используя мутации.^[14] Позволять а и б обратима, и пустьL_б(а)=р(а,б) - умножение Жордана в А^б. потомQ(б)L_б(а) = L_а(б)Q(б). более тогоQ(б)Q_б(а) = Q(б)Q(а)Q(б) =Q_а(б)Q(б).с другой стороны Q_б(а)=2L_б(а)² − L_б(а^2,б) и аналогично с а и б поменялись местами. Следовательно

${ displaystyle displaystyle {L_ {a} (b ^ {2, a}) Q (b) = Q (b) L_ {b} (a ^ {2, b}).}}$

Таким образом

${ Displaystyle Displaystyle {R (Q (b) a, a) Q (b) = Q (b) R (Q (a) b, b) = R (b, Q (a) b) Q (b) ,}}$

так что идентичность сдвига следует путем отмены Q(б). Аргумент плотности позволяет отказаться от предположения об обратимости.

Иорданские пары

Линейная унитальная йорданова алгебра порождает квадратичное отображение Q и связанное отображение р удовлетворяющие фундаментальному тождеству, коммутации гомотопического тождества и тождества сдвига. А Иорданская пара (V₊,V₋) состоит из двух векторных пространств V_± и два квадратичных отображения Q_± из V_± к V_∓. Они определяют билинейные отображения р_± из V_± × V_∓ к V_± по формуле р(а,б)c = 2Q(а,c)б куда 2Q(а,c) = Q(а + c) − Q(а) − Q(c). Опуская ± индексы, они должны удовлетворять^[15]

фундаментальная идентичность

${ Displaystyle Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a),}}$

коммутация или гомотопическое тождество

${ Displaystyle Displaystyle {R (a, b) Q (a) = Q (a) R (b, a) = 2Q (Q (a) b, a),}}$

и сменная личность

${ displaystyle displaystyle {R (Q (a) b, b) = R (a, Q (b) a).}}$

Унитальная йорданова алгебра А определяет пару Жордана, взяв V_± = А с его квадратичной структурой отображений Q и р.

Смотрите также

• Мутация (йорданова алгебра)

Примечания

Рекомендации

• Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN  0198534779
• Якобсон, Н. (1968), Строение и представления йордановых алгебр, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 39, Американское математическое общество
• Якобсон, Н. (1969), Лекции по квадратичным йордановым алгебрам (PDF), Институт фундаментальных исследований им. Тата Лекции по математике, 45, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, МИСТЕР  0325715
• Кехер, М. (1999), Миннесотские заметки о йордановых алгебрах и их приложениях, Конспект лекций по математике, 1710, Спрингер, ISBN  3-540-66360-6, Zbl  1072.17513
• Лоос, Оттмар (1975), Иорданские пары, Конспект лекций по математике, 460, Springer-Verlag
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметрические области и жордановы пары (PDF), Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, архив из оригинал (PDF) на 2016-03-03
• Макдональд, И.Г. (1960), «Йордановы алгебры с тремя образующими», Proc. Лондонская математика. Soc., 10: 395–408, Дои:10.1112 / плмс / с3-10.1.395
• МакКриммон, Кевин (1966), "Общая теория жордановых колец", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 56: 1072–1079, Дои:10.1073 / pnas.56.4.1072, JSTOR  57792, МИСТЕР  0202783, ЧВК  220000, PMID  16591377, Zbl  0139.25502
• МакКриммон, Кевин (1975), "Квадратичные методы в неассоциативных алгебрах", Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Б.С., 1974), Vol. 1 (PDF), стр. 325–330
• МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановой алгебры, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b97489, ISBN  978-0-387-95447-9, МИСТЕР  2014924, Zbl  1044.17001, Опечатки
• МакКриммон, Кевин (1978), «Йордановы алгебры и их приложения», Бык. Амер. Математика. Soc., 84: 612–627, Дои:10.1090 / с0002-9904-1978-14503-0
• Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и тройным системам (PDF), Университет Вирджинии
• Расин, Мишель Л. (1973), Арифметика квадратичных йордановых алгебр, Мемуары Американского математического общества, 136, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1836-7, Zbl  0348.17009

дальнейшее чтение

• Фолкнер, Джон Р. (1970), Плоскости октонионов, определяемые квадратичными йордановыми алгебрами, Мемуары Американского математического общества, 104, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-5888-2, Zbl  0206.23301