Мутация (йорданова алгебра) - Википедия - Mutation (Jordan algebra)

В математика, а мутация, также называемый гомотоп, единого Йорданова алгебра является новой йордановой алгеброй, определяемой данным элементом йордановой алгебры. Мутация имеет единицу тогда и только тогда, когда данный элемент обратим, и в этом случае мутация называется правильная мутация или изотоп. Мутации впервые были введены Макс Кехер в его иордановом алгебраическом подходе к Эрмитовы симметрические пространства и ограниченные симметричные области трубчатого типа. Их функториальные свойства позволяют явно построить соответствующее эрмитово симметрическое пространство компактного типа как компактификацию конечномерной комплексной полупростой йордановой алгебры. Группа автоморфизмов компактификации становится сложная подгруппа, то комплексирование своего максимальная компактная подгруппа. Обе группы действуют на компактификацию транзитивно. Теория была расширена на все эрмитовы симметрические пространства с помощью теории Иорданские пары или же Иорданские тройные системы. Кехер получил результаты в более общем случае непосредственно из случая йордановой алгебры, используя тот факт, что требуются только йордановы пары, ассоциированные с автоморфизмами периода два, йордановых алгебр.

Определения

Позволять А - унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2.^[1] За а в А определим оператор умножения Жордана на А к

${ displaystyle displaystyle {L (a) b = ab}}$

и квадратичное представление Q(а) к

${ Displaystyle Q (а) = 2L (а) ^ {2} -L (а ^ {2}). ,}$

Это удовлетворяет

${ Displaystyle Q (1) = I. ,}$

то фундаментальная идентичность

${ Displaystyle Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)}}$

коммутация или гомотопическое тождество

${ Displaystyle Displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a),}}$

куда

${ Displaystyle R (a, b) c = 2Q (a, c) b, , , , Q (x, y) = { frac {1} {2}} (Q (x + y) - Q (x) -Q (y)).}$

В частности, если а или же б обратимо, то

${ displaystyle displaystyle {R (a, b) = 2Q (a) Q (a ^ {- 1}, b) = 2Q (a, b ^ {- 1}) Q (b).}}$

Следует, что А с операциями Q и р а элемент идентичности определяет квадратичная йорданова алгебра, где квадратичная йорданова алгебра состоит из векторного пространства А с выделенным элементом 1 и квадратичным отображением А в эндоморфизмы А, а ↦ Q(а), удовлетворяющие условиям:

• Q(1) = идентификатор
• Q(Q(а)б) = Q(а)Q(б)Q(а) («фундаментальная идентичность»)
• Q(а)р(б,а) = р(а,б)Q(а) («коммутация или гомотопическое тождество»), где р(а,б)c = (Q(а + c) − Q(а) − Q(c))б

Тройное произведение Жордана определяется формулой

${ Displaystyle {a, b, c } = (ab) c + (cb) a- (ac) b, ,}$

так что

${ Displaystyle Q (a) b = {a, b, a }, , , , Q (a, c) b = {a, b, c }, , , , R (a, b) c = {a, b, c }. ,}$

Также есть формулы

${ Displaystyle Q (a, b) = L (a) L (b) + L (b) L (a) -L (ab), , , , R (a, b) = [L (a ), L (b)] + L (ab). ,}$

За у в А то мутация А^у определяется в векторном пространстве А с умножением

${ displaystyle a circ b = {a, y, b }. ,}$

Если Q(у) обратима, взаимное называется правильная мутация или же изотоп.

Квадратичные йордановы алгебры

Позволять А - квадратичная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2. Следуя Якобсон (1969), линейной структуре йордановой алгебры можно сопоставить А так что, если L(а) является жордановым умножением, то квадратичная структура задается формулой Q(а) = 2L(а)² − L(а²).

Во-первых, аксиома Q(а)р(б,а) = р(а,б)Q(а) можно усилить до

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a).}}$

Действительно, применительно к c, первые два члена дают

${ displaystyle displaystyle {2Q (a) Q (b, c) a = 2Q (Q (a) c, a) b.}}$

Переключение б и c затем дает

${ displaystyle displaystyle {Q (a) R (b, a) c = 2Q (Q (a) b, a) c.}}$

Теперь позвольте

${ displaystyle displaystyle {L (a) = { frac {1} {2}} R (a, 1).}}$

Замена б к а и а на 1 в тождестве выше дает

${ displaystyle displaystyle {R (a, 1) = R (1, a) = 2Q (a, 1).}}$

Особенно

${ Displaystyle Displaystyle {L (a) = Q (a, 1), , , , L (1) = Q (1,1) = I.}}$

Произведение Иордана дается формулой

${ displaystyle displaystyle {a circ b = L (a) b = { frac {1} {2}} R (a, 1) b = Q (a, b) 1,}}$

так что

${ displaystyle displaystyle {a circ b = b circ a.}}$

Приведенная выше формула показывает, что 1 - это тождество. Определение а² к а∘а = Q(а) 1, остается проверить только условие Жордана

${ Displaystyle Displaystyle {[L (а), L (а ^ {2})] = 0.}}$

В фундаментальной идентичности

${ Displaystyle Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a),}}$

Заменять а к а + т1 комплект б = 1 и сравним коэффициенты при т² с обеих сторон:

${ Displaystyle Displaystyle {Q (а) = 2Q (а, 1) ^ {2} -Q (а ^ {2}, 1) = 2L (а) ^ {2} -L (а ^ {2}) .}}$

Параметр б = 1 во второй аксиоме дает

${ Displaystyle Displaystyle {Q (а) L (а) = L (а) Q (а),}}$

и поэтому L(а) должен ездить с L(а²).

Перевернутые

Позволять А - унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2. Элемент а в унитальной йордановой алгебре А как говорят обратимый если есть элемент б такой, что ab = 1 и а²б = а.^[2]

Характеристики.^[3]

Если ab = 1 и а²б = а, тогда Q(а)б = 2а(ab) − (а²)б = а. Иорданская идентичность [L(Икс),L(Икс²)] = 0 можно поляризовать, заменив Икс к Икс + ты и принимая коэффициент т. Это дает

${ displaystyle displaystyle {[L (x ^ {2}), L (y)] + 2 [L (xy), L (x)] = 0.}}$

Принимая Икс = а или же б и у = б или же а показывает, что L(а²) ездит с L(б) и L(б²) ездит с L(а). Следовательно (б²)(а²) = 1. Применение L(б) дает б²а = б. Следовательно Q(а)б² = 1. И наоборот, если Q(а)б = а и Q(а)б² = 1, то второе соотношение дает Q(а)Q(б)² Q(а) = я. Итак, оба Q(а) и Q(б) обратимы. Первый дает Q(а)Q(б)Q(а) = Q(а) так что Q(а) и Q(б) противоположны друг другу. С L(б) ездит с Q(б) он коммутирует со своим обратным Q(а). по аналогии L(а) ездит с Q(б). Так (а²)б = L(б)а² = Q(а)б = а и ab = L(б)Q(а)б= Q(а)Q(б)1= 1.

Действительно, если а обратима, то из сказанного выше следует Q(а) обратима с обратным Q(б). Любая обратная б удовлетворяет Q(а)б = а, так б = Q(а)⁻¹а. И наоборот, если Q(а) обратим пусть б = Q(а)⁻¹а. потомQ(а)б = а. Тогда из фундаментального тождества следует, что Q(б) и Q(а) противоположны друг другу, так что Q(а)б² = Q(а)Q(б)1=1.

Это следует из формулы а⁻¹ = Q(а)⁻¹а.

Предположим, что Q(а)c = 1. Тогда по фундаментальному тождеству Q(а) обратима, поэтому а обратимо.

Это непосредственное следствие фундаментальной идентичности и того факта, что СТС обратима тогда и только тогда S и Т обратимы.

В коммутационном тождестве Q(а)р(б,а) = Q (Q (а)б,а), набор б = c² с c = а⁻¹. потом Q (а)б = 1 и Q(1,а) = L(а). С L(а) ездит с L(c²), р(б,а) = L(c) = L(а⁻¹).

Если L(а) и L(б) ездить, тогда ба = 1 подразумевает б(а²) = а. Наоборот, предположим, что а обратима с обратным б. потом ab = 1. Morevoer L(б) ездит с Q(б) и, следовательно, его обратное Q(а). Так что он ездит с L(а) = Q(а)L(б).

Алгебра k[а] коммутативен и ассоциативен, поэтому, если б там обратное ab =1 и а²б = а. Наоборот Q(а) листья k[а] инвариантный. Итак, если он биективен на А там он биективен. Таким образом а⁻¹ = Q(а)⁻¹а лежит в k[а].

Элементарные свойства собственных мутаций

Фактически ^[4]умножение в алгебре А^у дан кем-то

${ displaystyle displaystyle {a circ b = {a, y, b },}}$

поэтому по определению коммутативен. Следует, что

${ displaystyle displaystyle {a circ b = L_ {y} (a) b,}}$

с

${ displaystyle displaystyle {L_ {y} (a) = [L (a), L (y)] + L (ay).}}$

Если е удовлетворяет а ∘ е = а, затем принимая а = 1 дает

${ displaystyle displaystyle {ye = 1.}}$

Принимая а = е дает

${ Displaystyle Displaystyle {е (йа) = у (еа)}}$

так что L(у) и L(е) ездить. Следовательно у обратима и е = у⁻¹.

Теперь для у обратимый набор

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (a) = Q (a) Q (y), , , , R_ {y} (a, b) = R (a, Q (y) b). }}$

потом

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (e) = Q_ {y} (y ^ {- 1}) = Q (y ^ {- 1}) Q (y) = I.}}$

Более того,

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (a) Q_ {y} (b) Q_ {y} (a) = Q (a) Q (y) Q (b) Q (y) Q (a) Q ( y) = Q (a) Q (Q (y) b) Q (a) Q (y) = Q (Q (a) Q (y) b) Q (y) = Q_ {y} (Q_ {y} (а) б).}}$

Ну наконец то

${ displaystyle displaystyle {Q (y) R (c, Q (y) d) Q (y) ^ {- 1} = R (Q (y) c, d),}}$

поскольку

${ Displaystyle Displaystyle {Q (y) R (с, Q (y) d) x = 2Q (y) Q (c, x) Q (y) d = 2Q (Q (y) c, Q (y) x) d = R (Q (y) c, d) Q (y) x.}}$

Следовательно

${ displaystyle displaystyle {Q_ {y} (a) R_ {y} (b, a) = Q (a) Q (y) R (b, Q (y) a) = Q (y ^ {- 1} ) Q (Q (y) a) R (b, Q (y) a) = Q (y) ^ {- 1} R (Q (y) a, b) Q (Q (y) a) = R_ { y} (a, b) Q_ {y} (a).}}$

Таким образом (А,Q^у,у⁻¹) является квадратичной йордановой алгеброй с единицей. Следовательно, она соответствует линейной йордановой алгебре с ассоциированным йордановым оператором умножения M(а) предоставлено

${ displaystyle displaystyle {M (a) b = { frac {1} {2}} R_ {y} (a, e) b = { frac {1} {2}} R (a, Q (y ) e) b = { frac {1} {2}} R (a, y) b = {a, y, b } = L_ {y} (a) b.}}$

Это показывает, что операторы L_у(а) удовлетворяют тождеству Джордана, так что правильная мутация или изотоп А^у является унитальной йордановой алгеброй. Соответствие квадратичным йордановым алгебрам показывает, что его квадратичное представление дается формулой Q_у.

Неединичные мутации

Определение мутации также применяется к необратимым элементам. у. Если А конечномерна над р или же C, обратимые элементы а в А плотны, так как обратимость равносильна условию det Q(а) ≠ 0. Таким образом, по непрерывности из жорданова тождества для собственных мутаций следует жорданова тождество для произвольных мутаций. В общем случае йорданова тождество может быть выведено из теоремы Макдональда для йордановой алгебры, поскольку она включает только два элемента йордановой алгебры. В качестве альтернативы, тождество Жордана можно вывести, реализовав мутацию внутри унитальной квадратичной алгебры.^[5]

За а в А определить квадратичную структуру на А₁ = А ⊕ k к

${ displaystyle displaystyle {Q_ {1} (a oplus alpha 1) (b oplus beta 1) = alpha ^ {2} beta 1 oplus [ alpha ^ {2} a + alpha ^ { 2} b + 2 alpha beta a + alpha {a, y, b } + beta Q (a) y + Q (a) Q (y) b].}}$

Тогда можно проверить, что (А₁, Q₁, 1) является квадратичной йордановой алгеброй с единицей. Унитальная йорданова алгебра, которой она соответствует, имеет А^у как идеал, так что в частности А^у удовлетворяет тождеству Жордана. Тождества для квадратичной йордановой алгебры с единицей вытекают из следующих свойств совместимости квадратичного отображения Q_у(а) = Q(а)Q(у) и квадратная карта S_у(а) = Q(а)у:

• р_у(а,а) = L_у(S_у(а)).
• [Q_у(а),L_у(а)] = 0.
• Q_у(а)S_у(а) = S_у(S_у(а)).
• Q_у∘ S_у = S_у ∘ Q_у.
• Q_у(а) Q_у(б) S_у(а) = S_у(Q_у(а)б).
• Q_у(Q_у(а)б) = Q_у(а) Q_у(б) Q_у(а).

Личность Хуа

Позволять А - йорданова алгебра с единицей. Если а, б и а – б обратимы, то Хуа личность держит:^[6]

В частности, если Икс и 1 - Икс обратимы, то 1 - Икс⁻¹ с

${ displaystyle displaystyle {(1-x) ^ {- 1} + (1-x ^ {- 1}) ^ {- 1} = 1.}}$

Чтобы подтвердить личность для Икс, набор у = (1 – Икс)⁻¹. потом L(у) = Q(1 – Икс)⁻¹L(1 – Икс). Таким образом L(у) ездит с L(Икс) и Q(Икс). С Q(у) = Q(1 – Икс)⁻¹, он также ездит с L(Икс) и Q(Икс). С L(Икс⁻¹) = Q(Икс)⁻¹L(Икс), L(у) также ездит с L(Икс⁻¹) и Q(Икс⁻¹).

Следует, что (Икс⁻¹ – 1)ху =(1 – Икс) у = 1. Более того, у – 1 = ху поскольку (1 – Икс)у = 1. Так L(ху) ездит с L(Икс) и поэтому L(Икс⁻¹ – 1). Таким образом 1 – Икс⁻¹ имеет обратный 1 – у.

Теперь позвольте А^а быть мутацией А определяется а. Элемент идентичности А^а является а⁻¹. Более того, обратимый элемент c в А также обратима в А^а с обратным Q(а)⁻¹ c⁻¹.

Позволять Икс = Q(а)⁻¹б в А^а. Он обратим в А, как есть а⁻¹ – Q(а)⁻¹б = Q(а)⁻¹(а – б). Итак, в частном случае личности Хуа для Икс в А^а

${ displaystyle displaystyle {a ^ {- 1} = Q (a) ^ {- 1} (a ^ {- 1} -Q (a) ^ {- 1} b) ^ {- 1} + Q (a ) ^ {- 1} (a ^ {- 1} -b ^ {- 1}) ^ {- 1} = (ab) ^ {- 1} + (aQ (a) b ^ {- 1}) ^ { -1}.}}$

Оператор Бергмана

Если А - йорданова алгебра с единицей, Оператор Бергмана определяется для а, б в А к^[7]

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = I-R (a, b) + Q (a) Q (b).}}$

Если а обратимо, то

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = Q (a) Q (a ^ {- 1} -b);}}$

а если б обратимо, то

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) = Q (a-b ^ {- 1}) Q (b).}}$

Фактически, если а обратимый

Q(а)Q(а⁻¹ − б) = Q(а)[Q(а⁻¹ − 2Q(а⁻¹,б) + Q(б)]=я − 2Q(а) Q (а⁻¹,б) + Q(а)Q(б)=я − р(а,б) + Q(а)Q(б)

и аналогично, если б обратимо.

В более общем смысле оператор Бергмана удовлетворяет одной из версий коммутационного или гомотопического тождества:

и версия основного тождества:

Есть еще третья техническая идентичность:

Квазиобратимость

Позволять А - конечномерная унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2.^[8] Для пары (а,б) с а и а⁻¹ − б обратимое определение

В этом случае оператор Бергмана B(а,б) = Q(а)Q(а⁻¹ − б) определяет обратимый оператор на А и

Фактически

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) ^ {- 1} (aQ (a) b) = Q (a ^ {b}) Q (a ^ {- 1}) (aQ (a) b) = Q (a ^ {b}) (a ^ {b}) ^ {- 1} = a ^ {b}.}}$

Более того, по определению а⁻¹ − б − c обратима тогда и только тогда, когда (а^б)⁻¹ − c обратимо. В таком случае

В самом деле,

${ displaystyle displaystyle {a ^ {b + c} = ((a ^ {- 1} -b) -c) ^ {- 1} = ((a ^ {b}) ^ {- 1} -c) ^ {- 1} = (a ^ {b}) ^ {c}.}}$

Предположение, что а быть обратимым можно отбросить, поскольку а^б можно определить только в предположении, что оператор Бергмана B(а,б) обратимо. Пара (а,б) тогда говорят, что это квазиобратимый. В таком случае а^б определяется формулой

${ displaystyle displaystyle {a ^ {b} = B (a, b) ^ {- 1} (a-Q (a) b).}}$

Если B(а,б) обратима, то B(а,б)c = 1 для некоторых c. Из фундаментального тождества следует, что B(а,б)Q(c)B(б,а) = я. Итак, по конечномерности B(б,а) обратимо. Таким образом (а,б) обратима тогда и только тогда, когда (б,а) обратима и в этом случае

Фактически

B(а,б)(а + Q(а)б^а) = а − 2р(а,б)а + Q(а)Q(б)а + Q(а)(б − Q(б)а) = а − Q(а)б,

поэтому формула следует, применяя B(а,б)⁻¹ в обе стороны.

Как прежде (а,б+c) квазиобратимо тогда и только тогда, когда (а^б,c) квазиобратимо; и в этом случае

${ displaystyle displaystyle {a ^ {b + c} = (a ^ {b}) ^ {c}.}}$

Если k = р или же C, это следовало бы по преемственности от частного случая, когда а и а⁻¹ − б были обратимы. В общем случае для доказательства требуется четыре тождества для оператора Бергмана:

Фактически применяя Q к личности B(а,б)а^б = а − Q(а)б дает

${ displaystyle displaystyle {B (a, b) Q (a ^ {b}) B (b, a) = B (a, b) Q (a) = Q (a) B (b, a).} }$

Первая идентичность следует отменой B(а,б) и B(б,а). Второе тождество следует аналогичным сокращением в

B(а,б)Q(а^б,c)B(б,а) = Q(B(а,б)а^б,B(а,б)c) = Q(а − Q(а)б,B(а,б)c) = B(а,б)(Q(а,c) − р(c,б)Q(а)) = (Q(а,c) − Q(а)р(б,c))B(б,а).

Третья идентичность следует за применением второй идентичности к элементу d а затем поменять роли c и d. Четвертый следует, потому что

B(а,б)B(а^б,c) = B(а,б)(я − р(а^б,c) + Q(а^б)Q(c)) = я − р(а,б + c) + Q(а) Q(б + c) = B(а,б+c).

Фактически (а,б) квазиобратимо тогда и только тогда, когда а квазиобратима в мутации А^б. Поскольку эта мутация не обязательно может быть единой, это означает, что когда идентичность присоединена 1 − а становится обратимым в А^б ⊕ k1. Это состояние можно выразить следующим образом, не упоминая мутацию или гомотоп:

Фактически, если (а,б) квазиобратимо, то c = а^б удовлетворяет первому тождеству по определению. Второй следует потому, что B(а,б)Q(а^б) = Q(а). Наоборот, условия утверждают, что в А^б ⊕ k1 условия подразумевают, что 1 + c инверсия 1 − а. С другой стороны, ( 1 − а) ∘ Икс = B(а,б)Икс за Икс в А^б. Следовательно B(а,б) обратимо.

Отношение эквивалентности

Позволять А - конечномерная унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2.^[9]Две пары (а_я,б_я) с а_я обратимые называются эквивалент если (а₁)⁻¹ − б₁ + б₂ обратима и а₂ = (а₁)^{б₁ − б₂}.

Это отношение эквивалентности, поскольку если а обратимый а⁰ = а так что пара (а,б) эквивалентен самому себе. Он симметричен, поскольку из определения а₁ = (а₂)^{б₂ − б₁}. Это переходно. Предположим, что (а₃,б₃) это третья пара с (а₂)⁻¹ − б₂ + б₃ обратимый и а₃ = (а₂)^{б₂ − б₃}. Из вышеизложенного

${ displaystyle displaystyle {a_ {1} ^ {- 1} -b_ {1} + b_ {3} = (a_ {1} ^ {- 1} -b_ {1} + b_ {2}) - b_ { 2} + b_ {3} = a_ {2} ^ {- 1} -b_ {2} + b_ {3}}}$

обратима и

${ displaystyle displaystyle {a_ {3} = a_ {2} ^ {b_ {2} -b_ {3}} = (a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {2}}) ^ {b_ { 2} -b_ {3}} = a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {3}}.}}$

Что касается квазиобратимости, то это определение можно распространить на случай, когда а и а⁻¹ − б не считаются обратимыми.

Две пары (а_я,б_я) как говорят эквивалент если (а₁, б₁ − б₂) квазиобратима и а₂ = (а₁)^{б₁ − б₂}. Когда k = р или же C, тот факт, что это более общее определение также дает отношение эквивалентности, можно вывести из обратимого случая по непрерывности. Для общего k, это также можно проверить напрямую:

• Отношение рефлексивно, поскольку (а,0) квазиобратима и а⁰ = а.
• Отношение симметрично, поскольку а₁ = (а₂)^{б₂ − б₁}.
• Отношение транзитивное. Предположим, что (а₃,б₃) это третья пара с (а₂, б₂ − б₃) квазиобратимый и а₃ = (а₂)^{б₂ − б₃}. В этом случае

${ displaystyle displaystyle {B (a_ {1}, b_ {1} -b_ {3}) = B (a_ {1}, b_ {1} -b_ {2}) B (a_ {2}, b_ { 2} -b_ {3}),}}$

так что (а₁,б₁ − б₃) квазиобратимо с

${ displaystyle displaystyle {a_ {3} = a_ {2} ^ {b_ {2} -b_ {3}} = (a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {2}}) ^ {b_ { 2} -b_ {3}} = a_ {1} ^ {b_ {1} -b_ {3}}.}}$

Класс эквивалентности (а,б) обозначается (а:б).

Структурные группы

Позволять А - конечномерная комплексная полупростая унитальная йорданова алгебра. Если Т является оператором на А, позволять Т^т быть его транспонированным относительно формы следа. Таким образомL(а)^т = L(а), Q(а)^т = Q(а), р(а,б)^т = р(б,а) и B(а,б)^т = B(б,а). В структурная группа из А состоит из грамм в GL (А) такой, что

${ Displaystyle Displaystyle {Q (ga) = gQ (a) g ^ {t}.}}$

Они образуют группу Γ (А). Группа автоморфизмов Aut А из А состоит из обратимых комплексных линейных операторов грамм такой, что L(га) = gL(а)грамм⁻¹ и g1 = 1. Поскольку автоморфизм грамм сохраняет форму следа, грамм⁻¹ = грамм^т.

• Структурная группа закрыта при переносе грамм ↦ грамм^т и примыкает грамм ↦ грамм*.
• Структурная группа содержит группу автоморфизмов. Группу автоморфизмов можно отождествить со стабилизатором единицы в структурной группе.
• Если а обратима, Q(а) лежит в структурной группе.
• Если грамм находится в структурной группе и а обратима, га также обратимо с (га)⁻¹ = (грамм^т)⁻¹а⁻¹.
• Структурная группа Γ (А) действует транзитивно на множестве обратимых элементов в А.
• Каждый грамм в Γ (А) имеет вид грамм = час Q(а) с час автоморфизм и а обратимый.

Комплексная йорданова алгебра А усложнение настоящего Евклидова йорданова алгебра E, для которого форма трассировки определяет внутренний продукт. Связанная инволюция а ↦ а* на А что приводит к сложному внутреннему продукту на А. В унитарная структурная группа Γ_ты(А) - подгруппа группы Γ (А), состоящий из унитарных операторов, так что Γ_ты(А) = Γ (А) ∩ U (А). Компонент идентичности Γ_ты(А) обозначается K. Это связная замкнутая подгруппа группы U (А).

• Стабилизатор 1 в Γ_ты(А) является Aut E.
• Каждый грамм в Γ_ты(А) имеет вид грамм = час Q(ты) с час в Aut E и ты обратимый в А с ты* = ты⁻¹.
• Γ (А) - комплексификация Γ_ты(А).
• Набор S обратимых элементов ты в А такой, что ты* = ты⁻¹ можно эквивалентно охарактеризовать как ты для которого L(ты) - нормальный оператор с уу* = 1 или как те ты формы exp я для некоторых а в E. Особенно S подключен.
• Компонента идентичности Γ_ты(А) действует транзитивно на S
• Учитывая Рамка Jordan (е_я) и v в А, есть оператор ты в компоненте единицы графа Γ_ты(А) такие, что УФ = ∑ α_я е_я с α_я ≥ 0. Если v обратима, то α_я > 0.

Структурная группа Γ (А) естественно действует на Икс.^[10] За грамм в Γ (А), набор

${ displaystyle displaystyle {g (a, b) = (ga, (g ^ {t}) ^ {- 1} b).}}$

потом (Икс,у) квазиобратимо тогда и только тогда, когда (gx,(грамм^т)⁻¹у) квазиобратима и

${ displaystyle displaystyle {g (x ^ {y}) = (gx) ^ {(g ^ {t}) ^ {- 1} y}.}}$

Фактически ковариационные соотношения для грамм с Q и обратное означает, что

${ Displaystyle Displaystyle {gB (x, y) g ^ {- 1} = B (gx, (g ^ {t}) ^ {- 1} y)}}$

если Икс обратима и так везде по плотности. В свою очередь, это подразумевает соотношение для квазиобратного. Если а обратимо, то Q(а) лежит в Γ (А) и если (а,б) квазиобратимо B(а,б) лежит в Γ (А). Таким образом, оба типа операторов действуют на Икс.

Определяющие соотношения для структурной группы показывают, что это замкнутая подгруппа группы ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ из GL (А). С Q(е^а) = е^2L(а), соответствующая комплексная алгебра Ли содержит операторы L(а). Коммутаторы [L(а),L(б)] покрывают комплексную алгебру Ли выводов А. Операторы р(а,б) = [L(а),L(б)] + L(ab) охватывать ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ и удовлетворять р(а,б)^т = р(б,а) и[р(а,б),р(c,d)]=р(р(а,б)c,d) − р(c,р(б,а)d).

Геометрические свойства фактор-пространства

Позволять А - конечномерная комплексная йорданова алгебра с единицей, которая является полупростой, т.е. форма следа Tr L(ab) невырожден. Позволять Икс быть частным от А×А по отношению эквивалентности. Позволять Икс_б быть подмножеством Икс классов (а:б). Карта φ_б:Икс_б → А, (а:б) ↦ а инъективно. Подмножество U из Икс определяется как открытый тогда и только тогда, когда U ∩ Икс_б открыт для всех б.

В карты переходов из атлас с графиками φ_б даны

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {cb} = varphi _ {c} circ varphi _ {b} ^ {- 1}: varphi _ {b} (X_ {b} cap X_ {c} ) rightarrow varphi _ {c} (X_ {b} cap X_ {c}).}}$

и инъективны и голоморфны, поскольку

${ Displaystyle Displaystyle { varphi _ {cb} (а) = а ^ {b-c}}}$

с производной

${ displaystyle displaystyle { varphi _ {cb} ^ { prime} (a) = B (a, b-c) ^ {- 1}.}}$

Это определяет структуру комплексного многообразия на Икс потому что φ_{Округ Колумбия} ∘ φ_cb = φ_db на φ_б(Икс_б ∩ Икс_c ∩ Икс_d).

Действительно, все полиномиальные функции п_я(б) = det B(а_я,б_я − б) нетривиальны, поскольку п_я(б_я) = 1. Следовательно, существует б такой, что п_я(б) ≠ 0 для всех я, что и является критерием (а_я:б_я) лежать в Икс_б.

Лоос (1977) использует операторы Бергмана для построения явного биголоморфизм между Икс и закрыто гладкий алгебраическое подмногообразие из сложное проективное пространство.^[11] Это, в частности, означает, что Икс компактный. Существует более прямое доказательство компактности с использованием групп симметрии.

Учитывая Рамка Jordan (е_я) в E, для каждого а в А Существует k в U = Γ_ты(А) такие, что а=k(∑ α_я е_я)с α_я ≥ 0 (и α_я > 0 если а обратима) .Действительно, если (а,б) в Икс тогда это эквивалентно k(c,d) с c и d в унитальной йордановой подалгебре А_е = ⊕ Cе_я, который является комплексированием E_е = ⊕ ре_я.Позволять Z - комплексное многообразие, построенное для А_е. Потому что А_е представляет собой прямую сумму копий C, Z просто произведение сфер Римана, по одной на каждую е_я. В частности, он компактный. Есть естественная карта Z в Икс которая непрерывна. Позволять Y быть изображением Z. Он компактен и поэтому совпадает с замыканием Y₀ = А_е ⊂ А = Икс₀. Набор U⋅Y - непрерывный образ компакта U × Y. Поэтому он компактный. С другой стороны, U⋅Y₀ = Икс₀, поэтому он содержит плотное подмножество Икс и поэтому должен совпадать с Икс. Так Икс компактный.

Приведенный выше аргумент показывает, что каждый (а,б) в Икс эквивалентно k(c,d) с c и d в А_е и k вΓ_ты(А). Отображение Z в Икс на самом деле вложение. Это следствие (Икс,у) быть квазиобратимым в А_е тогда и только тогда, когда он квазиобратим в А. Действительно, если B(Икс,у) инъективен на А, его ограничение А_е также инъективен. Наоборот, два уравнения для квазиобратного в А_е подразумевают, что это также квазиобратное по А.

Преобразования Мебиуса

Позволять А - конечномерная комплексная полупростая унитальная йорданова алгебра. Группа SL (2,C) действует Преобразование Мёбиуса на Сфера Римана C ∪ {∞}, одноточечная компактификация из C. Если грамм в SL (2,C) задается матрицей

${ displaystyle displaystyle {g = { begin {pmatrix} alpha & beta gamma & delta end {pmatrix}},}}$

тогда

${ Displaystyle Displaystyle {г (г) = ( альфа г + бета) ( гамма г + дельта) ^ {- 1}.}}$

Есть обобщение этого действия SL (2,C) к А и его компактификация Икс. Чтобы определить это действие, обратите внимание, что SL (2,C) порождается тремя подгруппами нижних и верхних унитреугольных матриц и диагональных матриц. Он также генерируется нижними (или верхними) унитреугольными матрицами, диагональными матрицами и матрицей

${ displaystyle displaystyle {J = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}.}}$

Матрица J соответствует преобразованию Мёбиуса j(z) = −z⁻¹ и может быть написано

${ displaystyle displaystyle {J = { begin {pmatrix} 1 & 0 - 1 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 -1 & 1 end {pmatrix}}.}}$

Преобразования Мёбиуса, фиксирующие ∞, - это просто верхнетреугольные матрицы. Если грамм не фиксирует ∞, он переводит ∞ в конечную точку а. Но потом грамм может быть составлен с верхним унитреугольником для отправки а до 0, а затем с J отправить 0 до бесконечности.

Для элемента а из А, действие грамм в SL (2,C) определяется той же формулой

${ Displaystyle Displaystyle {г (а) = ( альфа а + бета 1) ( гамма а + дельта 1) ^ {- 1}.}}$

Это определяет элемент C[а] при условии, что γа + δ1 обратима в А. Таким образом, действие определено всюду на А если грамм верхнетреугольный. С другой стороны, действие на Икс легко определить для нижнетреугольных матриц.^[12]

• Для диагональных матриц грамм с диагональными входами α и α⁻¹, грамм(а,б) = (α²а, α⁻²б) является корректно определенным голоморфным действием на А² который переходит в частное Икс. На Икс₀ = А это согласуется с действием Мёбиуса.
• Для нижних унитреугольных матриц с недиагональным параметром γ определим грамм(а,б) = (а,б - γ1). Снова это голоморфно на А² и переходит в частное Икс. Когда б = 0 и γ ≠ 0,

${ Displaystyle Displaystyle {г (а: 0) = (а: - гамма) = (а ^ {- гамма}: 0) = (а ( гамма а + 1) ^ {- 1}: 0) }}$

если γа + 1 обратимо, так что это расширение действия Мёбиуса.

• Для верхних унитреугольных матриц с недиагональным параметром β действие на Икс₀ = (А:0) определяется грамм(а,0) = (а + β1). Лоос (1977) показал, что это определяет сложный однопараметрический поток на А. Соответствующее голоморфное комплексное векторное поле, продолженное до Икс, так что действие на компактном комплексном многообразии Икс может быть определен связанным сложным потоком. Более простой способ - заметить, что оператор J может быть реализован напрямую, используя его переплетающиеся отношения с унитарной структурной группой.

Фактически на обратимых элементах в А, Оператор j(а) = −а⁻¹ удовлетворяет j(га) = (грамм^т)⁻¹j(а). Чтобы определить биголоморфизм j на Икс такой, что j ∘ грамм = (грамм^т)⁻¹ ∘ j, достаточно определить их для (а:б) на некоторой подходящей орбите графа Γ (А) или Γ_ты(А). С другой стороны, как указано выше, учитывая Рамка Jordan (е_я) в E, для каждого а в А Существует k в U = Γ_ты(А) такие, что а=k(∑ α_я е_я) с α_я ≥ 0.

Расчет j в ассоциативной коммутативной алгебре А_е прост, поскольку это прямой продукт. За c = ∑ α_я е_я и d = ∑ β_я е_я, оператор Бергмана на А_е имеет определитель Det B(c,d) = ∏ (1 - α_яβ_я)². Особенно Det B(c,d - λ) ≠ 0 для некоторого λ ≠ 0. Так что (c,d) эквивалентно (Икс, λ). Позволять μ = −λ⁻¹. На А, для плотного набора а, пара (а, λ) эквивалентно (б,0) с б обратимый. потом (−б⁻¹,0) эквивалентно (μ - μ²а, μ). С а ↦ μ - μ²а голоморфно, то j имеет уникальное непрерывное продолжение на Икс такой, что j ∘ грамм = (грамм^т)⁻¹ ∘ j за грамм в Γ (А), расширение голоморфно и для λ ≠ 0, μ = −λ⁻¹

Голоморфные преобразования, соответствующие верхним унитреугольным матрицам, можно определить, используя тот факт, что они сопряжены формулой J нижних унитреугольных матриц, для которых действие уже известно. Прямая алгебраическая конструкция дана в Дайн, Макки и Меллон (1999).

Это действие SL (2,C) совместим с включениями. В более общем плане, если е₁, ..., е_м является жордановым фреймом, существует действие SL (2,C)^м на А_е который распространяется на А. Если c = ∑ γ_яе_я и б = ∑ β_яе_я, тогда S(c) и Т(б) дают действие произведения нижней и верхней унитреугольных матриц. Если а = ∑ α_яе_я обратима, соответствующее произведение диагональных матриц действует как W = Q(а).^[13] В частности, диагональные матрицы дают действие (C*)^м и Т^м.

Голоморфная группа симметрии

Позволять А - конечномерная комплексная полупростая унитальная йорданова алгебра. Существует транзитивное голоморфное действие комплексной группы матриц грамм на компактном комплексном многообразии Икс. Кехер (1967) описанный грамм аналогично SL (2,C) с точки зрения генераторов и отношений. грамм действует на соответствующую конечномерную алгебру Ли голоморфных векторных полей, ограниченную на Икс₀ = А, так что грамм реализуется как замкнутая матричная группа. Это комплексификация компактной группы Ли без центра, т.е. полупростой алгебраической группы. Компонент идентичности ЧАС компактной группы действует транзитивно на Икс, так что Икс можно идентифицировать как Эрмитово симметричное пространство компактного типа.^[14]

Группа грамм порождается тремя типами голоморфных преобразований на Икс:

• Операторы W соответствующие элементам W в Γ (А) данный W(а,б) = (Wa, (W^т)⁻¹б). Это уже было описано выше. На Икс₀ = А, они даны а ↦ Wa.
• Операторы S_c определяется S_c(а,б) = (а,б + c). Они являются аналогом нижних унитреугольных матриц и образуют подгруппу, изоморфную аддитивной группе матрицы А, с заданной параметризацией. Они снова действуют голоморфно на А² и действие переходит к частному Икс. На А действие дано а ↦ а^c если (а,c) квазиобратимо.
• Преобразование j соответствующий J в SL (2,C). Он был построен выше как часть действия PSL (2,C) = SL (2,C) / {± I} на Икс. Об обратимых элементах в А это дается а ↦ −а⁻¹.

Операторы W нормализовать группу операторов S_c. Аналогично оператор j нормализует структурную группу, j ∘ W = (W^т)⁻¹ ∘ j. Операторы Т_c = j ∘ S_−c ∘ j также образуют группу голоморфных преобразований, изоморфную аддитивной группе А. Они обобщают верхнюю унитреугольную подгруппу группы SL (2,C). Эта группа нормирована операторами W структурной группы. Оператор Т_c действует на А в качестве а ↦ а + c. Если c - скаляр, операторы S_c и Т_c совпадают с операторами, соответствующими нижним и верхним унитреугольным матрицам в SL (2,C). Соответственно, существует соотношение j = S₁ ∘ Т₁ ∘ S₁ и PSL (2,C) является подгруппой грамм. Лоос (1977) определяет операторов Т_c в терминах потока, связанного с голоморфным векторным полем на Икс, пока Дайн, Макки и Меллон (1999) дать прямое алгебраическое описание.

В самом деле, S_бТ_а(0:0) = (а:б).

Позволять грамм₋₁ и грамм₊₁ - комплексные абелевы группы, образованные симметриями Т_c и S_c соответственно. Позволять грамм₀ = Γ (А).

Два выражения для грамм эквивалентны следующим образом сопряжением j.

За а обратимый, личность Хуа может быть переписана

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = T_ {a} circ j circ T_ {a ^ {- 1}} circ j circ T_ {a} circ j.}}$

Более того, j = S₁ ∘ Т₁ ∘ S₁ иS_c = j ∘ Т_−c ∘ j.^[15]

Соотношения согласованности показывают, что элементы грамм попадают в наборыграмм₀грамм₁, грамм₀грамм₁jG₁, грамм₀грамм₁jG₁jG₁, грамм₀грамм₁jG₁jG₁jG₁. ... Первое выражение для грамм следует после того, как будет установлено, что в четвертом или последующих наборах не появляются новые элементы. Для этого достаточно показать, что^[16]

j ∘ грамм₁ ∘j ∘ грамм₁ ∘j ⊆ грамм₀ грамм₁ ∘j ∘ грамм₁ ∘ j ∘ грамм₁.

Ибо тогда, если есть три или более вхождения j, число можно рекурсивно уменьшить до двух. Данный а, б в А, выбирать λ ≠ 0 так что c = а - λ и d = б - λ⁻¹ обратимы. потом

${ displaystyle displaystyle {jT_ {a} jT_ {b} j = jT_ {c} T _ { lambda} jT _ { lambda ^ {- 1}} T_ {d} circ j = lambda ^ {2} jT_ {c} jT _ {- lambda} jT_ {d} j = lambda ^ {2} T _ {- c ^ {- 1}} jQ (c ^ {- 1}) T _ {- c ^ {- 1} - lambda -d ^ {- 1}} jQ (d ^ {- 1}) jT _ {- d ^ {- 1}},}}$

который лежит в грамм₀грамм₁ ∘ j ∘ грамм₁ ∘ j ∘ грамм₁.

Достаточно проверить, что если S_аТ_б(0:0) = (0:0), тогда б = 0. Если так (б:0) = (0: −а) = (0:0), так б = 0.

Обменные отношения

За а обратимый, личность Хуа может быть переписана

${ displaystyle displaystyle {Q (a) = T_ {a} circ j circ T_ {a ^ {- 1}} circ j circ T_ {a} circ j.}}$

С j = S₁ ∘ Т₁ ∘ S₁, операторы Q(а) принадлежат к группе, порожденной грамм_±1.^[17]

Для квазиобратимых пар (а,б), есть "обменные отношения"^[18]

Эта идентичность показывает, что B(а,б) находится в группе, порожденной грамм_±1. Взяв обратное, это эквивалентно тождеству Т_аS_б = S_б^аB(а,б)Т_а^б.

Чтобы доказать обменные отношения, достаточно проверить, что они верны в применении к точкам плотного множества точек (c:0) в Икс для которого (а+c,б) квазиобратимо. Затем он сводится к идентичности:

Фактически, если (а,б) квазиобратимо, то (а + c,б) квазиобратимо тогда и только тогда, когда (c,б^а) квазиобратимо. Это следует потому, что (Икс,у) квазиобратимо тогда и только тогда, когда (у,Икс) является. Более того, в этом случае имеет место указанная выше формула.

Для доказательства требуются еще два тождества:

${ displaystyle displaystyle {B (c + b, a) = B (c, a ^ {b}) B (b, a)}}$

${ Displaystyle Displaystyle {R (a, b) = R (a ^ {b}, b-Q (b) a) = R (a-Q (a) b, b ^ {a})}}$

Первое следует из предыдущего тождества путем применения транспонирования. Для второго из-за транспонирования достаточно доказать первое равенство. Параметр c = б − Q(б)а в личности B(а,б)р(а^б,c) =р(а,c) − Q(а)Q(б,c) дает

B(а,б)р(а^б,б − Q(б)c) = B(а,б)р(а,б),

так что идентичность следует отменой B(а,б).

Для доказательства формулы соотношения (а + c)^б = B(а,c)⁻¹(а + c − Q(а + c)б)и а^б + B(а,б)⁻¹c^(ба) = B(а + c,б)⁻¹(B(c,б^а) (а − Q(а)б) + c − Q(c)б^а) показать, что достаточно доказать, что

а + c − Q(а + c)б = B(c,б^а) (а − Q(а)б) + c − Q(c)б^а.

В самом деле, B(c,б^а) (а − Q(а)б) + c − Q(c)б^а = а + c − Q(а)б + 2р(c,б^а)(а − Q(а)б) − Q(c)[ б^а − Q(б^а)(а − Q(а)б)]. С другой стороны, 2р(c,б^а)(а − Q(а)б) = 2р(c,а − Q(а)б)б^а = р(а,б)c = 2Q(а,c)б и б^а − Q(б^а)(а − Q(а)б) = б^а − Q(б)B(а,б)⁻¹(а − Q(а)б) = б^а − Q(б)а^б = б. Так B(c,б^а) (а − Q(а)б) + c − Q(c)б^а = а + c − Q(а)б − 2Q(а,c)б − Q(c)б = а + c − Q(а + c)б.

Теперь установите Ω = грамм₊₁грамм₀грамм₋₁. Тогда из отношений обмена следует, что S_б Т_а лежит в Ω если и только если (а,б) квазиобратимо; и это грамм лежит в Ω если и только если грамм(0:0) в Икс₀.^[19]

Фактически, если S_б Т_а лежит в Ω, тогда (а,б) эквивалентно (Икс,0), значит, это квазиобратимая пара; Обратное следует из соотношений обмена. Четко Ω (0: 0) = грамм₁(0:0) = Икс₀. Обратное следует из грамм = грамм₋₁грамм₁ грамм₀грамм₋₁ и критерий S_б Т_а лежать в Ω.

Алгебра Ли голоморфных векторных полей

Компактное комплексное многообразие Икс смоделирован на пространстве А. Производные отображений перехода описывают касательное расслоение через голоморфные функции перехода F_{до н.э}:Икс_б ∩ Икс_c → GL (А). Они даны F_{до н.э}(а,б) = B(а,б − c), Итак структурная группа соответствующих основной пучок волокон сводится к Γ (А), структурная группа А.^[20] Соответствующее голоморфное векторное расслоение со слоем А - касательное расслоение комплексного многообразия Икс. Его голоморфные сечения - это просто голоморфные векторные поля на Икс. Их можно определить непосредственно, используя тот факт, что они должны быть инвариантными относительно естественного присоединенного действия известных голоморфных симметрий Икс. Они образуют конечномерную комплексную полупростую алгебру Ли. Ограничение этих векторных полей на Икс₀ можно описать явно. Прямым следствием этого описания является то, что алгебра Ли трехградуирована и что группа голоморфных симметрий Икс, описываемые образующими и соотношениями в Кехер (1967) и Лоос (1979), - комплексная линейная полупростая алгебраическая группа, совпадающая с группой биголоморфизмов Икс.

Алгебры Ли трех подгрупп голоморфных автоморфизмов Икс порождают линейные пространства голоморфных векторных полей на Икс и поэтому Икс₀ = А.

• Структурная группа Γ (А) имеет алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$ охвачены операторами р(Икс,у). Они определяют комплексную алгебру Ли линейные векторные поля а ↦ р(Икс,у)а на А.
• Операторы перевода действуют на А в качестве Т_c(а) = а + c. Соответствующие однопараметрические подгруппы имеют вид Т_tc и соответствуют постоянные векторные поля а ↦ c. Они дают абелеву алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {- 1}}$ векторных полей на А.
• Операторы S_c определено на Икс к S_c(а,б) = (а,б − c). Соответствующие однопараметрические группы S_tc определять квадратичные векторные поля а ↦ Q(а)c на А. Они дают абелеву алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ векторных полей на А.

Позволять

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {g}} = { mathfrak {g}} _ {- 1} oplus { mathfrak {g}} _ {0} oplus { mathfrak {g}} _ { 1}.}}$

Затем, определяя ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {я} = (0)}$ за я ≠ −1, 0, 1, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ образует комплексную алгебру Ли с

${ displaystyle displaystyle {[{ mathfrak {g}} _ {p}, { mathfrak {g}} _ {q}] substeq { mathfrak {g}} _ {p + q}}.}$

Это дает структуру 3-градуированная алгебра Ли. Для элементов (а,Т,б) в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, скобка Ли имеет вид

${ displaystyle displaystyle {[(a_ {1}, T_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, T_ {2}, b_ {2})] = (T_ {1} a_ {2 } -T_ {2} a_ {1}, [T_ {1}, T_ {2}] + R (a_ {1}, b_ {2}) - R (a_ {2}, b_ {1}), T_ {2} ^ {t} b_ {1} -T_ {1} ^ {t} b_ {2})}}$

Группа PSL (2,C) преобразований Мёбиуса Икс нормализует алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Преобразование j(z) = −z⁻¹ соответствующему элементу группы Вейля J индуцирует инволютивный автоморфизм σ данный

${ displaystyle displaystyle { sigma (a, T, b) = (b, -T ^ {t}, a).}}$

В более общем смысле действие преобразования Мёбиуса

${ displaystyle displaystyle {g = { begin {pmatrix} alpha & beta gamma & delta end {pmatrix}}}}$

можно описать явно. В терминах образующих диагональные матрицы действуют как

${ displaystyle displaystyle {{ begin {pmatrix} alpha & 0 0 & alpha ^ {- 1} end {pmatrix}} (a, T, b) = ( alpha ^ {2} a, T, alpha ^ {- 2} б),}}$

верхние унитреугольные матрицы действуют как

${ Displaystyle Displaystyle {{ begin {pmatrix} 1 & beta 0 & 1 end {pmatrix}} (a, T, b) = (a + beta T (1) - beta ^ {2} b, T - beta L (a), b),}}$

а нижние унитреугольные матрицы действуют как

${ displaystyle displaystyle {{ begin {pmatrix} 1 & 0 gamma & 1 end {pmatrix}} (a, T, b) = (a, T- gamma L (b), b- gamma T ^ {t} (1) - gamma ^ {2} a).}}$

Это может быть записано равномерно в матричных обозначениях как

${ displaystyle displaystyle {{ begin {pmatrix} g (T) & g (a) g (b) & g (T) ^ {t} end {pmatrix}} = g { begin {pmatrix} T & a b & T ^ {t} end {pmatrix}} g ^ {- 1}.}}$

В частности, градуировка соответствует действию диагональной подгруппы группы SL (2,C), даже с | α | = 1, поэтому копия Т.

В Форма убийства дан кем-то

${ displaystyle displaystyle { mathbf {B} ((a_ {1}, T_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, T_ {2}, b_ {2})) = (a_ { 1}, b_ {2}) + (b_ {1}, a_ {2}) + beta (T_ {1}, T_ {2}),}}$

куда β (Т₁,Т₂) симметричная билинейная форма, определяемая формулой

${ Displaystyle Displaystyle { бета (R (a, b), R (c, d)) = (R (a, b) c, d) = (R (c, d) a, b),}}$

с билинейной формой (а,б) соответствующий форме следа: (а,б) = Tr L(ab).

В более общем смысле генераторы группы грамм действуют автоморфизмами на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ в качестве

• ${ displaystyle displaystyle {W (a, T, b) = (Wa, WTW ^ {- 1}, (W ^ {t}) ^ {- 1} b),}}$
• ${ displaystyle displaystyle {J (a, T, b) = (- b, -T ^ {t}, - a),}}$
• ${ displaystyle displaystyle {T_ {x} (a, T, b) = (a + Tx-Q (x) b, T-R (x, b), b),}}$
• ${ displaystyle displaystyle {S_ {y} (a, T, b) = (a, T-R (a, y), b-T ^ {t} y-Q (y) a).}}$

Невырожденность формы Киллинга следует непосредственно из явной формулы. К Критерий Картана, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ полупростой. В следующем разделе группа грамм реализуется как комплексирование связной компактной группы Ли ЧАС с тривиальным центром, поэтому полупрост. Это дает прямой способ проверки полупростоты. Группа ЧАС также действует транзитивно на Икс.

Чтобы доказать, что ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ исчерпывает голоморфные векторные поля на Иксобратите внимание на группу Т действует на голоморфные векторные поля. Ограничение такого векторного поля на Икс₀ = А дает голоморфное отображение А в А. Разложение в степенной ряд около 0 представляет собой сходящуюся сумму однородных частей степени м ≥ 0. Действие Т масштабирует часть градуса м к α^{2м − 2}. Взяв коэффициенты Фурье по Т, часть степени м также является голоморфным векторным полем. Поскольку сопряжение J дает обратное на Т, из этого следует, что единственными возможными степенями являются 0, 1 и 2. Степень 0 учитывается постоянными полями. Поскольку сопряжение J меняет местами степень 0 и степень 2, отсюда следует, что ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { pm 1}}$ учитывают все эти голоморфные векторные поля. Любое дальнейшее голоморфное векторное поле должно появиться в степени 1 и, следовательно, иметь вид а ↦ Ма для некоторых M в Конец А. Спряжение J дал бы другую такую ​​карту N. Более того, е^tM(а,0,0)= (е^tMа,0,0). Но потом

${ displaystyle displaystyle {e ^ {tM} (0,0, b) = Je ^ {tN} J (0,0, b) = Je ^ {tN} (b, 0,0) = (0,0 , e ^ {tN} b).}}$

Набор U_т = е^tM и V_т = е^tB. потом

${ displaystyle displaystyle {Q (U_ {t} a) b = U_ {t} Q (a) V _ {- t} b.}}$

Следует, что U_т лежит в Γ (А) для всех т и, следовательно, что M лежит в ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$. Так ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ есть в точности пространство голоморфных векторных полей на Икс.

Компактная реальная форма

Предполагать грамм = WT_ИксS_у Т_z действует тривиально на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. потом S_у Т_z должен покинуть подалгебру (0,0,А) инвариантный. Следовательно, так должно S_у. Это заставляет у = 0, так что грамм = WT_{Икс + z}. Но потом Т_{х + г} должен покинуть подалгебру (А,0,0) инвариант, так что Икс + z = 0 и грамм = W. Если W действует банально, W = я.^[21]

Группа грамм таким образом можно отождествить с его изображением в GL ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Позволять А = E + iE быть комплексификацией Евклидова йорданова алгебра E. За а = Икс + иу, набор а* = Икс − иу. Форма следа на E определяет сложный внутренний продукт на А и, следовательно, сопряженная операция. Унитарная структурная группа Γ_ты(А) состоит из тех грамм в Γ (А) которые находятся в U(А), т.е. удовлетворять gg*=грамм*грамм = я. Это замкнутая подгруппа группы U(А). Его алгебра Ли состоит из кососопряженных элементов в ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0}}$. Определите сопряженную линейную инволюцию θ на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к

${ displaystyle displaystyle { theta (a, T, b) = (b ^ {*}, - T ^ {*}, a ^ {*}).}}$

Это линейно-сопряженный автоморфизм периода 2 алгебры Ли. Он индуцирует автоморфизм грамм, которая на образующих задается формулой

${ displaystyle displaystyle { theta (S_ {a}) = T_ {a ^ {*}}, , , , theta (j) = j, , , , theta (T_ {b }) = S_ {b ^ {*}}, , , , theta (W) = (W ^ {*}) ^ {- 1}.}}$

Позволять ЧАС - подгруппа неподвижных точек группы θ в грамм. Позволять ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ - подалгебра неподвижных точек в θ в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Задайте полуторалинейную форму на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ к (а,б) = −B (а, θ (б)). Это определяет сложный внутренний продукт на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ который ограничивается реальным внутренним продуктом на ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$. Оба сохранены ЧАС. Позволять K быть компонентом идентичности Γ_ты(А). Это лежит в ЧАС. Позволять K_е = Т^м - диагональный тор, связанный с жордановым репером в E. Действие SL (2,C)^м совместим с θ который отправляет унимодулярную матрицу ${ displaystyle { begin {pmatrix} alpha & beta gamma & delta end {pmatrix}}}$ к ${ displaystyle { begin {pmatrix} { overline { delta}} & - { overline { gamma}} - { overline { beta}} & { overline { alpha}} end { pmatrix}}}$. В частности, это дает гомоморфизм SU (2)^м в ЧАС.

Теперь каждая матрица M в SU (2) можно записать как продукт

${ displaystyle displaystyle {M = { begin {pmatrix} zeta _ {1} & 0 0 & zeta _ {1} ^ {- 1} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} cos varphi & sin varphi - sin varphi & cos varphi end {pmatrix}} { begin {pmatrix} zeta _ {2} & 0 0 & zeta _ {2} ^ {- 1 } end {pmatrix}}.}}$

Множитель в середине дает еще один максимальный тор в SU (2) полученный сопряжением J. Если а = ∑ α_яе_я с | α_я| = 1, то Q(а) дает действие диагонального тора Т = Т^м и соответствует элементу K ⊆ ЧАС. Элемент J лежит в SU (2)^м и его образ является преобразованием Мёбиуса j лежа в ЧАС. Таким образом S = j ∘ Т ∘ j это еще один тор в ЧАС и Т ∘ S ∘ Т совпадает с изображением SU (2)^м.

С Z = SU (2)^м(0:0) для компактного комплексного многообразия, соответствующего А^е, если следует Y = Т S (0:0), куда Y это изображение Z. С другой стороны, Икс = KY, так чтоИкс = КТС(0:0) = KS(0:0). С другой стороны, стабилизатор (0:0) в ЧАС является K, поскольку подгруппа неподвижных точек группы грамм₀грамм₋₁ под θ является K. Следовательно ЧАС = KSK. Особенно ЧАС компактно и связно, поскольку оба K и S находятся. Поскольку это замкнутая подгруппа группы U ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, это группа Ли. Это содержит K а значит, ее алгебра Ли содержит операторы (0,Т,0) с Т* = −Т. Он содержит изображение SU (2)^м и, следовательно, элементы (а,0,а*) с а в А_е. С А = KA_е и (k^т)⁻¹(а*) = (ка)*, следует, что алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {1}}$ из ЧАС содержит (а,0,а*) для всех а в А. Таким образом, он содержит ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$.

Они равны, потому что все кососопряженные дифференцирования ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ внутренние. Фактически, поскольку ЧАС нормализует ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ и действие спряжения верное, карта ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {1}}$ в алгебру Ли ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ выводов ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ верен. Особенно ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ имеет тривиальный центр. Чтобы показать это ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ равно ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {1}}$, достаточно показать, что ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ совпадает с ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$. Выводы на ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ являются кососопряженными для внутреннего продукта, заданного минус формой Киллинга. Возьмите инвариантный внутренний продукт на ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ данный −Tr D₁D₂. С ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ инвариантен относительно ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ так его ортогональное дополнение. Они оба идеалы в ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$, поэтому скобка Ли между ними должна быть vanjsh. Но тогда любой вывод в ортогональном дополнении будет иметь 0 скобку Ли с ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, поэтому должно быть равно нулю. Следовательно ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ является алгеброй Ли ЧАС. (Это также следует из подсчета размерностей, поскольку тусклый Икс = тусклый ЧАС - тусклый K.)

Приведенные выше формулы для действия W и S_у показать, что изображение грамм₀грамм₋₁ закрыт в GL ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. С ЧАС действует транзитивно на Икс и стабилизатор (0:0) в грамм является грамм₀грамм₋₁, следует, что грамм = HG₀грамм₋₁. Компактность ЧАС и закрытость грамм₀грамм₋₁ подразумевает, что грамм закрыт в GL ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

грамм замкнутая подгруппа в GL ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ так что настоящая группа Ли. Поскольку он содержит грамм_я с я = 0 или же ±1, его алгебра Ли содержит ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. С ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ усложнение ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, подобно ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ все его производные внутренние, и он имеет тривиальный центр. Поскольку алгебра Ли грамм нормализует ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ а o - единственный элемент, централизующий ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, как и в компактном случае алгебра Ли грамм должно быть ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. (Это также можно увидеть по количеству измерений, поскольку тусклый Икс = тусклый грамм - тусклый грамм₀грамм₋₁.) Поскольку это комплексное подпространство, грамм комплексная группа Ли. Он связан, потому что это непрерывный образ связного множества ЧАС × грамм₀грамм₋₁.С ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ усложнение ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, грамм усложнение ЧАС.

Некомпактная реальная форма

За а в А спектральная норма ||а|| определяется как макс α_я если а = u ∑ α_яе_я с α_я ≥ 0 и ты в K. Он не зависит от выбора и определяет норму А. Позволять D быть набором а с ||а|| <1 и пусть ЧАС* - составляющая единицы замкнутой подгруппы группы грамм несущий D на себя. Он создается K, преобразования Мёбиуса в БП (1,1) и образ СУ (1,1)^м соответствующий фрейму Жордана. Пусть τ - линейно-сопряженный автоморфизм с периодом 2 ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяется

${ displaystyle displaystyle { tau (a, T, b) = (- a ^ {*}, - T ^ {*}, - b ^ {*}).}}$

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {h}} ^ {*}}$ - алгебра неподвижных точек τ. Это алгебра Ли ЧАС*. Он индуцирует автоморфизм периода 2 грамм с подгруппой неподвижной точки ЧАС*. Группа ЧАС* действует транзитивно на D. Стабилизатор 0 есть K.^[22]

Некомпактная вещественная полупростая группа Ли ЧАС* действует на Икс с открытой орбитой D. Как и в случае с действием СУ (1,1) на сфере Римана он имеет лишь конечное число орбит. Эта структура орбиты может быть явно описана, когда йорданова алгебра А это просто. Позволять Икс₀(р,s) быть подмножеством А состоящий из элементов а = ты ∑ α_яа_я с точно р из α_я меньше одного и ровно s из них больше одного. Таким образом 0 ≤ р + s ≤ м. Эти множества являются пересечениями орбит Икс(р,s) из ЧАС* с Икс₀. Орбиты с р + s = м открыты. Есть уникальная компактная орбита Икс(0,0). Это Шиловский рубеж S из D состоящий из элементов е^ix с Икс в E, лежащая в основе евклидова йорданова алгебра. Икс(п,q) находится в закрытии Икс(р,s) если и только если п ≤ р и q ≤ s.Особенно S находится в закрытии каждой орбиты.^[23]

Йордановы алгебры с инволюцией

Предыдущая теория описывает неприводимые эрмитовы симметрические пространства трубчатого типа в терминах йордановых алгебр с единицей. В Лоос (1977) общие эрмитовы симметрические пространства описываются систематическим расширением вышеупомянутой теории на Иорданские пары. В развитии Кехер (1969) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKoecher1969 (помощь)однако неприводимые эрмитовы симметрические пространства не трубчатого типа описываются в терминах автоморфизмов периода два простых евклидовых йордановых алгебр. Фактически любой автоморфизм периода 2 определяет жорданову пару: общие результаты Лоос (1977) пары Jordan могут быть адаптированы к этой настройке.

Пусть τ - автоморфизм периода два простой евклидовой йордановой алгебры E с усложнением А. Есть соответствующие разложения E = E₊ ⊕ E₋ и А = А₊ ⊕ А₋ в ± 1 собственное подпространство τ. Позволять V ≡ А_τ = А₋. Предполагается, что τ удовлетворяет дополнительному условию, что след формируется на V определяет внутренний продукт. За а в V, определять Q_τ(а) быть ограничением Q(а) к V. Для пары (а,б) в V², определять B_τ(а,б) и р_τ(а,б) быть ограничением B(а,б) и р(а,б) к V. потом V прост тогда и только тогда, когда единственные подпространства инвариантны относительно всех операторов Q_τ(а) и р_τ(а,б) находятся (0) и V.

Условия квазиобратимости в А покажи это B_τ(а,б) обратима тогда и только тогда, когда B(а,б) обратимо. Квазиобратный а^б одинаково ли вычислено в А или же V. Пространство классов эквивалентности Икс_τ можно определить на парах V². Это замкнутое подпространство в Икс, такой компактный. Он также имеет структуру сложного многообразия, смоделированного на V. Структурная группа Γ (V) можно определить с точки зрения Q_τ и имеет в качестве подгруппы унитарную структурную группу Γ_ты(V) = Γ (V) ∩ U (V) с компонентом идентичности K_τ. Группа K_τ является компонентом единицы подгруппы неподвижных точек группы τ в K. Позволять грамм_τ - группа биголоморфизмов Икс_τ создано W в грамм_{τ, 0}, компонент идентичности Γ (V), а абелевы группы грамм_{τ, −1} состоящий из S_а и грамм_{τ, + 1} состоящий из Т_б са и б в V. Он действует транзитивно на Икс_τ со стабилизатором грамм_{τ, 0}грамм_{τ, −1} играмм_τ = грамм_{τ, 0}грамм_{τ, −1}грамм_{τ, + 1}грамм_{τ, −1}. Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { tau}}$ голоморфных векторных полей на Икс_τ является 3-градуированной алгеброй Ли,

${ displaystyle displaystyle {{ mathfrak {g}} _ { tau} = { mathfrak {g}} _ { tau, + 1} oplus { mathfrak {g}} _ { tau, 0} oplus { mathfrak {g}} _ { tau, -1}.}}$

Ограниченный V компоненты порождаются, как и раньше, постоянными функциями в V, операторами р_τ(а,б) и операторами Q_τ(а). Скобки Ли даются по той же формуле, что и раньше.

Спектральное разложение в E_τ и V достигается с использованием трипотенты, т.е. элементы е такой, что е³ = е. В этом случае ж = е² идемпотент в E₊. Есть разложение Пирса E = E₀(ж) ⊕ E_½(ж) ⊕ E₁(ж) в собственные пространства L(ж). Операторы L(е) и L(ж) ездить на работу, так что L(е) оставляет неизменными собственные подпространства выше. Фактически L(е)² действует как 0 на E₀(ж), как 1/4 на E_½(ж) и 1 на E₁(ж). Это индуцирует разложение Пирса E_τ = E_{τ, 0}(ж) ⊕ E_{τ, ½}(ж) ⊕ E_{τ, 1}(ж). Подпространство E_{τ, 1}(ж) становится евклидовой йордановой алгеброй с единицей ж при мутации Джордан произведение Икс ∘ у = {Икс,е,у}.

Два трипотента е₁ и е₂ как говорят ортогональный если все операторы [L(а),L(б)] = 0 когда а и б являются полномочиями е₁ и е₂ и если соответствующие идемпотенты ж₁ и ж₂ ортогональны. В этом случае е₁ и е₂ порождают коммутативную ассоциативную алгебру и е₁е₂ = 0, поскольку (е₁е₂,е₁е₂) =(ж₁,ж₂) =0. Позволять а быть в E_τ. Позволять F - конечномерное вещественное подпространство, натянутое на нечетные степени а. Коммутирующие самосопряженные операторы L(Икс)L(у) с Икс, у странные полномочия а действовать на F, поэтому может быть одновременно диагонализована ортонормированным базисом е_я. С (е_я)³ является положительным кратным е_я, изменение масштаба при необходимости, е_я может быть выбран как трипотент. По построению они образуют ортогональное семейство. С а в F, это можно написать а = ∑ α_я е_я с α_я настоящий. Они называются собственными значениями а (по τ). Любой другой трипотент е в F имеет форму а = ∑ ε_я е_я с ε_я = 0, ±1, Итак е_я готовы подписать минимальные трипотенты в F.

Максимальное семейство ортогональных трипотентов в E_τ называется Рамка Jordan. Трипотенты обязательно минимальны. Все рамки Жордана имеют одинаковое количество элементов, называемых классифицировать из E_τ. Любые два кадра связаны элементом в подгруппе структурной группы E_τ сохранение формы следа. Для данного фрейма Джордана (е_я), любой элемент а в V можно записать в виде а = ты ∑ α_я е_я с α_я ≥ 0 и ты оператор в K_τ. В спектральная норма из а определяется как ||а|| = sup α_я и не зависит от выбора. Его квадрат равен операторной норме Q_τ(а). Таким образом V становится сложным нормированным пространством с открытым единичным шаром D_τ.

Обратите внимание, что для Икс в E, Оператор Q(Икс) самосопряжен, так что норма ||Q(Икс)^п|| = ||Q(Икс)||^п. С Q(Икс)^п = Q(Икс^п), то ||Икс^п|| = ||Икс||^п. В частности, спектральная норма Икс = ∑ α_я е_я в А является квадратным корнем из спектральной нормы Икс² = ∑ (α_я)² ж_я. Отсюда следует, что спектральная норма Икс одинаково независимо от того, рассчитывается ли А или же А_τ. С K_τ сохраняет обе нормы, спектральная норма на А_τ получается ограничением спектральной нормы на А.

Для рамы Jordan е₁, ..., е_м, позволять V_е = ⊕ C е_я. Есть действие SL (2,C)^м на V_е который распространяется на V. Если c = ∑ γ_яе_я и б = ∑ β_яе_я, тогда S(c) и Т(б) дают действие произведения нижней и верхней унитреугольных матриц. Если а = ∑ α_яе_я с α_я ≠ 0, то соответствующее произведение диагональных матриц действует как W = B_τ(а, е − а), куда е = ∑ е_я.^[24] В частности, диагональные матрицы дают действие (C*)^м и Т^м.

Как и в случае без автоморфизма τ, существует автоморфизм θ грамм_τ. Те же рассуждения показывают, что подгруппа фиксированной точки ЧАС_τ генерируется K_τ и образ SU (2)^м. Это компактная связная группа Ли. Он действует транзитивно на Икс_τ; стабилизатор (0:0) является K_τ. Таким образом Икс_τ = ЧАС_τ/K_τ, эрмитово симметрическое пространство компактного типа.

Позволять ЧАС_τ* - составляющая единицы замкнутой подгруппы группы грамм_τ несущий D_τ на себя. Он создается K_τ и образ СУ (1,1)^м соответствующий фрейму Жордана. Пусть ρ - линейно-сопряженный автоморфизм с периодом 2 ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { tau}}$ определяется

${ displaystyle displaystyle { rho (a, T, b) = (- a ^ {*}, - T ^ {*}, - b ^ {*}).}}$

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ { tau} ^ {*}}$ - алгебра неподвижных точек ρ. Это алгебра Ли ЧАС_τ*. Он индуцирует автоморфизм периода 2 грамм с подгруппой неподвижной точки ЧАС_τ*. Группа ЧАС_τ* действует транзитивно на D_τ. Стабилизатор 0 есть K_τ*.^[25] ЧАС_τ*/K_τ - эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа, двойственное к ЧАС_τ/K_τ.

Эрмитово симметрическое пространство некомпактного типа имеет неограниченную реализацию, аналогичную верхняя полуплоскость в C. Преобразования Мёбиуса в PSL (2,C) соответствующие преобразованию Кэли и обратному к нему дают биголоморфизмы сферы Римана, меняющие местами единичный круг и верхнюю полуплоскость. Когда эрмитово симметричное пространство трубчатого типа, те же преобразования Мёбиуса отображают диск D в А на трубку Т = E + IC мы C - открытый самодвойственный выпуклый конус квадратов в евклидовой йордановой алгебре E.

Для эрмитово симметричного пространства не трубчатого типа действие PSL (2,C) на Икс, поэтому аналогичного преобразования Кэли нет. В этом случае можно определить частичное преобразование Кэли для любого заданного максимального трипотента. е = ∑ ε_я е_я в E_τ. Берет диск D_τ в А_τ = А_{τ, 1}(ж) ⊕ А_{τ, ½}(ж) на Зигель домен второго рода.

В этом случае E_{τ, 1}(ж) является евклидовой йордановой алгеброй и существует симметрическая E_{τ, 1}(ж)-значная билинейная форма на E_{τ, ½}(ж) такая, что соответствующая квадратичная форма q принимает значения в своем положительном конусе C_τ. Область Зигеля состоит из пар (Икс + иу,ты + iv) такой, что у − q(ты) − q(v) лежит в C_τКвадратичная форма q на E_{τ, ½}(ж) и операция возведения в квадрат на E_{τ, 1}(ж) даны Икс ↦ Q_τ(Икс)е. Положительный конус C_τ соответствует Икс с Q_τ(Икс) обратимый.^[26]

Примеры

Для простых евклидовых йордановых алгебр E с усложнением А, эрмитовы симметрические пространства компактного типа Икс можно явно описать следующим образом, используя классификацию Картана.^[27]

Тип I_п. А является йордановой алгеброй п × п комплексные матрицы M_п(C) с операторным произведением Жордана Икс ∘ у = ½(ху + yx). Это усложнение E = ЧАС_п(C), евклидова йорданова алгебра самосопряженных п × п сложные матрицы. В этом случае грамм = PSL (2п,C) действующий на А с ${ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ действуя как грамм(z) = (az + б)(cz + d)⁻¹. В самом деле, это можно проверить непосредственно для диагональных, верхней и нижней унитреугольных матриц, соответствующих операторам W, S_c и Т_б. Подмножество Ω соответствует матрицам грамм с d обратимый. Фактически рассмотрим пространство линейных отображений из C^п к C^2п = C^п ⊕ C^п. Он описывается парой (Т₁|Т₂) с Т_я в M_п(C). Это модуль для GL (2п,C) действуя на целевое пространство. Также есть действие GL (п,C) индуцируется действием на исходное пространство. Пространство инъективных отображений U инвариантен и GL (п,C) свободно действует на нем. Фактор - это грассманиан M состоящий из п-мерные подпространства C^2п. Определите карту А² в M отправив (а,б) к инъективному отображению (а|я − б^та). Это отображение индуцирует изоморфизм Икс на M.

На самом деле пусть V быть п-мерное подпространство C^п ⊕ C^п. Если он находится в общем положении, т.е. он и его ортогональное дополнение имеют тривиальное пересечение с C^п ⊕ (0) и(0) ⊕ C^п, это график обратимого оператора Т.Так что изображение соответствует (а|я − б^та) с а = я и б^т = я − Т.

С другой стороны, V и его ортогональное дополнение U можно записать в виде ортогональных сумм V = V₁ ⊕ V₂, U = U₁ ⊕ U₂, куда V₁ и U₁ пересечения с C^п ⊕ (0) и V₂ и U₂ с (0) ⊕ C^п. потом тусклый V₁ = тусклый U₂ и тусклый V₂ = тусклый U₁. Более того, C^п ⊕ (0) = V₁ ⊕ U₁ и (0) ⊕ C^п = V₂ ⊕ U₂. Подпространство V соответствует паре (е|я − е), куда е ортогональная проекция C^п ⊕ (0) на V₁. Так а = е и б = я.

Общий случай представляет собой прямую сумму этих двух случаев. V можно записать в виде ортогональной суммы V = V₀ ⊕ V₁ ⊕ V₂ куда V₁ и V₂ пересечения с C^п ⊕ (0) и(0) ⊕ C^п и V₀ является их ортогональным дополнением в V. Аналогично ортогональное дополнение U из V можно написать U = U₀ ⊕ U₁ ⊕ U₂. Таким образом C^п ⊕ (0) = V₁ ⊕ U₁ ⊕ W₁ и (0) ⊕ C^п = V₂ ⊕ U₂ ⊕ W₂, куда W_я являются ортогональными дополнениями. Прямая сумма (V₁ ⊕ U₁) ⊕ (V₂ ⊕ U₂) ⊆ C^п ⊕ C^п имеет второй вид и ортогональное дополнение к первому.

Карты W в структурной группе соответствуют час в GL (п,C), с W(а) = ха^т. Соответствующая карта на M отправляет (Икс|у) к(hx|(час^т)⁻¹у). Аналогично отображение, соответствующее S_c отправляет (Икс|у) к(Икс|у + c), отображение, соответствующее Т_б отправляет (Икс|у) к(Икс + б|у) и карту, соответствующую J отправляет (Икс|у) к (у|−Икс). Отсюда следует, что отображение, соответствующее грамм отправляет (Икс|у) к(топор + к|сх + dyС другой стороны, если у обратима, (Икс|у) эквивалентно(ху⁻¹|я), откуда и формула дробно-линейного преобразования.

Тип III_п. А является йордановой алгеброй п × п симметричные комплексные матрицы S_п(C) с операторным произведением Жордана Икс ∘ у = ½(ху + yx). Это усложнение E = H_п(р), евклидова йорданова алгебра п × п симметричные вещественные матрицы. На C^2п = C^п ⊕ C^п, определим невырожденную знакопеременную билинейную форму формулой ω (Икс₁ ⊕ у₁, Икс₂ ⊕ у₂) = Икс₁ • у₂ − у₁ • Икс₂. В матричных обозначениях, если ${ displaystyle J = { begin {pmatrix} 0 & I - I & 0 end {pmatrix}}}$,

${ displaystyle displaystyle { omega (z_ {1}, z_ {2}) = zJz ^ {t}.}}$

Позволять Sp (2n,C) обозначим комплекс симплектическая группа, подгруппа GL (2n,C) сохраняя ω. Это состоит из грамм такой, что gJg^т = J и закрыт под грамм ↦ грамм^т. Если ${ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ принадлежит Sp (2n,C) тогда

${ displaystyle displaystyle {g ^ {- 1} = { begin {pmatrix} d ^ {t} & - c ^ {t} - b ^ {t} & a ^ {t} end {pmatrix}} .}}$

Он имеет центр {±я}. В этом случае грамм = Sp (2п,C)/{±я} действующий на А в качестве грамм(z) = (az + б)(cz + d)⁻¹. В самом деле, это можно проверить непосредственно для диагональных, верхней и нижней унитреугольных матриц, которые соответствуют операторам W, S_c и Т_б. Подмножество Ω соответствует матрицам грамм с d обратимый. Фактически рассмотрим пространство линейных отображений из C^п к C^2п = C^п ⊕ C^п. Он описывается парой (Т₁|Т₂) с Т_я в M_п(C). Это модуль для Sp (2п,C) действуя на целевое пространство. Также есть действие GL (п,C) индуцируется действием на исходное пространство. Пространство инъективных отображений U с изотропным изображением, т.е. ω обращается в нуль на изображении, инвариантно. Более того, GL (п,C) свободно действует на нем. Фактор - это симплектический грассманиан M состоящий из п-размерный Лагранжевы подпространства из C^2п. Определите карту А² в M отправив (а,б) к инъективному отображению (а|я − ба). Это отображение индуцирует изоморфизм Икс на M.

На самом деле пусть V быть п-мерное лагранжево подпространство C^п ⊕ C^п. Позволять U - лагранжево подпространство, дополняющее V. Если они находятся в общем положении, т.е. имеют тривиальное пересечение с C^п ⊕ (0) и(0) ⊕ C^п, чем V является графиком обратимого оператора Т с Т^т = Т. Таким образом, изображение соответствует (а|я − ба) с а = я и б = я − Т.

С другой стороны, V и U можно записать в виде прямых сумм V = V₁ ⊕ V₂, U = U₁ ⊕ U₂, куда V₁ и U₁ пересечения с C^п ⊕ (0) и V₂ и U₂ с (0) ⊕ C^п. потом тусклый V₁ = тусклый U₂ и тусклый V₂ = тусклый U₁. Более того, C^п ⊕ (0) = V₁ ⊕ U₁ и (0) ⊕ C^п = V₂ ⊕ U₂. Подпространство V соответствует паре (е|я − е), куда е это проекция C^п ⊕ (0) на V₁. Обратите внимание, что пара (C^п ⊕ (0), (0) ⊕ C^п) находится в двойственности относительно ω, и отождествление между ними индуцирует каноническую симметричную билинейную форму на C^п. Особенно V₁ отождествляется с U₂ и V₂ с U₁. Более того, они V₁ и U₁ ортогональны относительно симметричной билинейной формы на (C^п ⊕ (0). Следовательно, идемпотент е удовлетворяет е^т = е. Так а = е и б = я роды А и V изображение (а|я − ба).

Общий случай представляет собой прямую сумму этих двух случаев. V можно записать в виде прямой суммы V = V₀ ⊕ V₁ ⊕ V₂ куда V₁ и V₂ пересечения с C^п ⊕ (0) и(0) ⊕ C^п и V₀ является дополнением к V. по аналогии U можно написать U = U₀ ⊕ U₁ ⊕ U₂. Таким образом C^п ⊕ (0) = V₁ ⊕ U₁ ⊕ W₁ и (0) ⊕ C^п = V₂ ⊕ U₂ ⊕ W₂, куда W_я являются дополнениями. Прямая сумма (V₁ ⊕ U₁) ⊕ (V₂ ⊕ U₂) ⊆ C^п ⊕ C^п относится ко второму виду. Имеет дополнение первого вида.

Карты W в структурной группе соответствуют час в GL (п,C), с W(а) = ха^т. Соответствующая карта на M отправляет (Икс|у) к(hx|(час^т)⁻¹у). Аналогично отображение, соответствующее S_c отправляет (Икс|у) к(Икс|у + c), отображение, соответствующее Т_б отправляет (Икс|у) к(Икс + б|у) и карту, соответствующую J отправляет (Икс|у) к (у|−Икс). Отсюда следует, что отображение, соответствующее грамм отправляет (Икс|у) к(топор + к|сх + dyС другой стороны, если у обратима, (Икс|у) эквивалентно(ху⁻¹|я), откуда и формула дробно-линейного преобразования.

Тип II_2n. А является йордановой алгеброй 2п × 2п кососимметричные комплексные матрицы А_п(C) и продукт Иордании Икс ∘ у = −½(Икс J у + у J Икс) где единица задается как ${ displaystyle J = { begin {pmatrix} 0 & I - I & 0 end {pmatrix}}}$. Это усложнение E = H_п(ЧАС), евклидова йорданова алгебра самосопряженных п × п матрицы с записями в кватернионах. Это обсуждается в Лоос (1977) и Кехер (1969) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFKoecher1969 (помощь).

Тип IV_п. А йорданова алгебра C^п ⊕ C с продуктом Jordan (Икс, α) ∘ (у, β) = (βИкс + αу, αβ + Икс•у). Это комплексизация евклидовой йордановой алгебры ранга 2, определяемая теми же формулами, но с действительными коэффициентами. Это обсуждается в Лоос (1977).

Тип VI. Усложненный Алгебра Альберта. Это обсуждается в Фолкнер (1972), Лоос (1978) и Друкер (1981).

Эрмитовы симметрические пространства компактного типа Икс для простых евклидовых йордановых алгебр E автоморфизм с периодом два можно явно описать следующим образом, используя классификацию Картана.^[28]

Тип I_{р, д}. Позволять F быть пространством q к п матрицы над р с п ≠ q. Это соответствует автоморфизму E = ЧАС_{п + q}(р), заданный сопряжением диагональной матрицей с п диагональные элементы равны 1 и q до -1. Не теряя общий смысл п можно взять больше, чем q. Структура дается тройным произведением ху^тz. Космос Икс можно отождествить с грассманианом п-мерное подпространство C^{п + q} = C^п ⊕ C^q. Это естественное вложение в C^2п = C^п ⊕ C^п добавив 0 в последний п − q координаты. Поскольку любой п-мерное подпространство C^2п можно представить в виде [я − у^тИкс|Икс], то же верно и для подпространств, лежащих в C^{п + q}. Последний п − q ряды Икс должен исчезнуть, и отображение не изменится, если последний п − q ряды у установлены равными нулю. Таким образом, аналогичное представление справедливо для отображений, но теперь с q к п матрицы. Точно так же, как когда п = q, следует, что имеет место действие GL (п + q, C) дробно-линейными преобразованиями.^[29]

Тип II_п F - пространство вещественных кососимметричных м к м матрицы. После удаления фактора √-1, это соответствует автоморфизму периода 2, заданному комплексным сопряжением на E = ЧАС_п(C).

Тип V. F представляет собой прямую сумму двух копий чисел Кэли, рассматриваемых как матрицы 1 на 2. Это соответствует каноническому автоморфизму периода 2, определяемому любым минимальным идемпотентом в E = ЧАС₃(О).

Смотрите также

• Мутация (алгебра)
• Симметричный конус

Примечания

Рекомендации

• Dineen, S .; Mackey, M .; Меллон П. (1999), "Свойство плотности для JB ∗ -троек", Studia Math., 137: 143–160, HDL:10197/7056
• Друкер, Д. (1978), "Исключительные алгебры Ли и структура эрмитовых симметрических пространств", Mem. Амер. Математика. Soc., 16 (208)
• Друкер, Д. (1981), "Упрощенное описание исключительных ограниченных симметрических областей", Геом. Dedicata, 10 (1–4): 1–29, Дои:10.1007 / bf01447407
• Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853477-8
• Фолкнер, Дж. Р. (1972), "Геометрия для E₇", Пер. Амер. Математика. Soc., 167: 49–58, Дои:10.1090 / с0002-9947-1972-0295205-4
• Фолкнер, Дж. Р. (1983), "Стабильный диапазон и линейные группы для альтернативных колец", Геом. Dedicata, 14 (2): 177–188, Дои:10.1007 / bf00181623
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства, Academic Press, Нью-Йорк, ISBN  978-0-12-338460-7
• Джейкобсон, Натан (1968), Строение и представления йордановых алгебр, Публикации коллоквиума Американского математического общества, 39, Американское математическое общество, Zbl  0218.17010
• Джейкобсон, Натан (1969), Лекции по квадратичным йордановым алгебрам (PDF), Институт фундаментальных исследований им. Тата Лекции по математике, 45, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, МИСТЕР  0325715, Zbl  0253.17013
• Джейкобсон, Натан (1996), Конечномерные алгебры с делением над полями, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-57029-5, Zbl  0874.16002
• Кехер, Макс (1967), "Über eine Gruppe von rationalen Abbildungen", Изобретать. Математика., 3 (2): 136–171, Дои:10.1007 / BF01389742, Zbl  0163.03002
• Кехер, Макс (1969a), "Gruppen und Lie-Algebren von rationalen Funktionen", Математика. Z., 109 (5): 349–392, Дои:10.1007 / bf01110558
• Кехер, Макс (1969b), Элементарный подход к ограниченным симметричным областям, Конспект лекций, Университет Райса
• Кехер, Макс (1999) [1962], Криг, Алоис; Вальхер, Себастьян (ред.), Миннесотские заметки о йордановых алгебрах и их приложениях, Конспект лекций по математике, 1710, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66360-7, Zbl  1072.17513
• Кехер, Макс (1971), «Йордановы алгебры и дифференциальная геометрия» (PDF), Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), Том I, Готье-Виллар, стр. 279–283.
• Кюн, Ода (1975), "Differentialgleichungen in Jordantripelsystemen", Manuscripta Math., 17: 363–381
• Лоос, Оттмар (1975), Иорданские пары, Конспект лекций по математике, 460, Springer-Verlag
• Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметрические области и жордановы пары (PDF), Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, архив из оригинал (PDF) на 2016-03-03, получено 2013-05-12
• Лоос, Оттмар (1978), "Однородные алгебраические многообразия, определяемые парами Жордана", Монатш. Математика., 86 (2): 107–129, Дои:10.1007 / bf01320204
• Лоос, Оттмар (1979), «Об алгебраических группах, определяемых жордановыми парами», Nagoya Math. Дж., 74: 23–66
• Лоос, Оттмар (1995), "Элементарные группы и стабильность для пар Жордана", K-теория, 9: 77–116, Дои:10.1007 / bf00965460
• МакКриммон, Кевин (1978), "Йордановы алгебры и их приложения", Бык. Амер. Математика. Soc., 84 (4): 612–627, Дои:10.1090 / с0002-9904-1978-14503-0
• МакКриммон, Кевин (2004), Вкус йордановой алгебры, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / b97489, ISBN  978-0-387-95447-9, МИСТЕР  2014924, Опечатки
• Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и тройным системам (PDF), Университет Вирджинии
• Роос, Гай (2008), "Исключительные симметричные домены", Симметрии в комплексном анализе, Contemp. Математика, 468, Амер. Математика. Soc., Стр. 157–189.
• Спрингер, Тонни А. (1998), Йордановы алгебры и алгебраические группы, Классика по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-63632-8
• Вольф, Джозеф А. (1972), "Тонкая структура эрмитовых симметрических пространств", в Boothby, William; Вайс, Гвидо (ред.), Симметричные пространства (Краткие курсы, Вашингтонский университет), Чистая и прикладная математика, 8, Dekker, стр. 271–357.