Квантовое уравнение Больцмана - Quantum Boltzmann equation

В квантовое уравнение Больцмана (также известное как уравнение Улинга-Уленбека) ^[1] это квантово-механический модификация Уравнение Больцмана, что дает неравновесную временную эволюцию газа квантово-механически взаимодействующих частиц. Обычно квантовое уравнение Больцмана задается только как «член столкновения» полного уравнения Больцмана, дающее изменение импульсного распределения локально однородного газа, но не дрейф и диффузию в пространстве.

В полной общности (включая дрейфующие члены в p-пространстве и x-пространстве, которыми часто пренебрегают) уравнение представляется аналогично уравнению Больцмана.

${ displaystyle left [{ frac { partial} { partial t}} + mathbf {v} cdot nabla _ {x} + mathbf {F} cdot nabla _ {p} right] f ( mathbf {x}, mathbf {p}, t) = { mathcal {Q}} [f] ( mathbf {x}, mathbf {p})}$

куда ${ displaystyle mathbf {F}}$ представляет собой приложенный извне потенциал, действующий на распределение p-пространства газа и ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ - оператор столкновения, учитывающий взаимодействия между частицами газа. Квантовая механика должна быть представлена ​​в точной форме ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$, который зависит от физики моделируемой системы. ^[2]

Квантовое уравнение Больцмана дает необратимое поведение и, следовательно, стрела времени; то есть через достаточно долгое время оно дает равновесное распределение, которое больше не изменяется. Хотя квантовая механика микроскопически обратима во времени, квантовое уравнение Больцмана дает необратимое поведение, потому что информация о фазе отбрасывается.^[3] сохраняется только среднее число заполнения квантовых состояний. Таким образом, решение квантового уравнения Больцмана является хорошим приближением к точному поведению системы на временных масштабах, меньших по сравнению с Время повторения Пуанкаре, что обычно не является серьезным ограничением, поскольку время возврата Пуанкаре может во много раз превышать возраст вселенной даже в небольших системах.

Квантовое уравнение Больцмана было проверено прямым сравнением с экспериментальными измерениями с временным разрешением, и в целом нашло широкое применение в полупроводниковой оптике.^[4] Например, распределение энергии газа экситоны как функция времени (в пикосекундах), измеренная с помощью линейной камеры, была показана^[5] приблизиться к равновесию Распределение Максвелла-Больцмана.

Приложение к физике полупроводников

Типичная модель полупроводника может быть построена на предположениях, что:

1. Распределение электронов пространственно однородно в разумном приближении (так что вся x-зависимость может быть подавлена)
2. Внешний потенциал является функцией только положения и изотропен в p-пространстве, поэтому ${ displaystyle mathbf {F}}$ может быть установлен на ноль без потери общей общности
3. Газ достаточно разбавлен, поэтому трёхчастичным взаимодействием электронов можно пренебречь.

Учитывая обмен импульсом ${ displaystyle mathbf {q}}$ между электронами с начальными импульсами ${ displaystyle mathbf {k}}$ и ${ Displaystyle mathbf {к_ {1}}}$, можно получить выражение

${ displaystyle { mathcal {Q}} [е] ( mathbf {k}) = { frac {-2} { hbar (2 pi) ^ {5}}} int d mathbf {q} int d mathbf {k_ {1}} | { hat {v}} ( mathbf {q}) | ^ {2} delta left ({ frac { hbar ^ {2}} {2m} } (| mathbf {kq} | ^ {2} + | mathbf {k_ {1} + q} | ^ {2} - mathbf {k} _ {1} ^ {2} - mathbf {k} ^ {2}) right) left [f _ { mathbf {k}} f _ { mathbf {k_ {1}}} (1-f _ { mathbf {kq}}) (1-f _ { mathbf { k_ {1} + q}}) - f _ { mathbf {kq}} f _ { mathbf {k_ {1} + q}} (1-f _ { mathbf {k}}) (1-f _ { mathbf {k_ {1}}}) right]}$

Рекомендации