Квантовая взаимная информация - Quantum mutual information

эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Квантовая взаимная информация»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В квантовая теория информации, квантовая взаимная информация, или же взаимная информация фон Неймана, после Джон фон Нейман, является мерой корреляции между подсистемами квантового состояния. Это квантово-механический аналог Шеннон взаимная информация.

Мотивация

Для простоты предполагается, что все объекты в изделии являются конечномерными.

Определение квантовой взаимной энтропии мотивировано классическим случаем. Для вероятностного распределения двух переменных п(Икс, у) два маргинальных распределения равны

${displaystyle p (x) = sum _ {y} p (x, y), qquad p (y) = sum _ {x} p (x, y).}$

Классическая взаимная информация я(Икс:Y) определяется

${стиль отображения I (X: Y) = S (p (x)) + S (p (y)) - S (p (x, y))}$

где S(q) обозначает Энтропия Шеннона распределения вероятностей q.

Можно рассчитать напрямую

${displaystyle {egin {выровнено} S (p (x)) + S (p (y)) & = - left (sum _ {x} p_ {x} log p (x) + sum _ {y} p_ {y) } log p (y) ight) & = - left (сумма _ {x} left (sum _ {y '} p (x, y') log sum _ {y '} p (x, y') ight) + sum _ {y} left (sum _ {x '} p (x', y) log sum _ {x '} p (x', y) ight) ight) & = - left (sum _ {x, y} p (x, y) left (log sum _ {y '} p (x, y') + log sum _ {x '} p (x', y) ight) ight) & = - сумма _ { x, y} p (x, y) log p (x) p (y) конец {выровнено}}}$

Итак, взаимная информация

${displaystyle I (X: Y) = sum _ {x, y} p (x, y) log {frac {p (x, y)} {p (x) p (y)}}.}$

Но это как раз то относительная энтропия между п(Икс, у) и п(Икс)п(у). Другими словами, если мы предположим, что две переменные Икс и у чтобы быть некоррелированными, взаимная информация - это расхождение в неопределенности в результате этого (возможно, ошибочного) предположения.

Из свойства относительной энтропии следует, что я(Икс:Y) ≥ 0 и равенство выполняется тогда и только тогда, когда п(Икс, у) = п(Икс)п(у).

Определение

Квантово-механический аналог классических распределений вероятностей моделируется с помощью матрицы плотности.

Рассмотрим квантовую систему, которую можно разделить на две части, A и B, так что независимые измерения могут быть выполнены на каждой части. Тогда пространство состояний всей квантовой системы будет тензорное произведение пространств для двух частей.

${displaystyle H_ {AB}: = H_ {A} иногда H_ {B}.}$

Позволять ρ^AB - матрица плотности, действующая на состояния в ЧАС_AB. В энтропия фон Неймана матрицы плотности S (ρ), является квантово-механической аналогией энтропии Шеннона.

${displaystyle S (ho) = - имя оператора {Tr} ho log ho.}$

Для вероятностного распределения п(Икс,у) маргинальные распределения получаются интегрированием переменных Икс или у. Соответствующая операция для матриц плотности - это частичный след. Таким образом, можно назначить ρ состояние подсистемы А к

${displaystyle ho ^ {A} = имя оператора {Tr} _ {B}; ho ^ {AB}}$

где Tr_B является частичным следом относительно системы B. Это пониженное состояние из ρ^AB в системе А. В приведенная энтропия фон Неймана из ρ^AB по отношению к системе А является

${displaystyle; S (ho ^ {A}).}$

S(ρ^B) определяется таким же образом.

Теперь можно увидеть, что определение квантовой взаимной информации, соответствующее классическому определению, должно быть следующим.

${displaystyle; I (A!:! B): = S (ho ^ {A}) + S (ho ^ {B}) - S (ho ^ {AB}).}$

Квантовая взаимная информация может интерпретироваться так же, как и в классическом случае: можно показать, что

${displaystyle I (A!:! B) = S (ho ^ {AB} | ho ^ {A} иногда ho ^ {B})}$

где ${displaystyle S (cdot | cdot)}$ обозначает квантовая относительная энтропия.