Приведенная производная - Reduced derivative

В математика, то приведенная производная является обобщением понятия производная что хорошо подходит для изучения функций ограниченная вариация. Хотя функции ограниченной вариации имеют производные в смысле Радоновые меры, желательно иметь производную, которая принимает значения в том же пространстве, что и сами функции. Хотя точное определение приведенной производной довольно сложно, ее ключевые свойства довольно легко запомнить:

оно кратно обычной производной, где бы она ни существовала;
в точках прыжка он кратен вектору прыжка.

Понятие приведенной производной, по-видимому, было введено Александр Мильке и Флориан Тейл в 2004 году.

Определение

Позволять Икс быть отделяемый, рефлексивный Банахово пространство с норма || || и исправить Т > 0. Пусть BV₋([0, Т]; Икс) обозначают пространство всех непрерывный слева функции z : [0, Т] → Икс с ограниченной вариацией на [0,Т].

Для любой функции времени жиспользуйте индексы +/− для обозначения непрерывных справа / слева версий ж, т.е.

{ displaystyle f _ {+} (t) = lim _ {s downarrow t} f (s);}

{ displaystyle f _ {-} (t) = lim _ {s uparrow t} f (s).}

Для любого подинтервала [а, б] из [0,Т], пусть Var (z, [а, б]) обозначают вариацию z над [а, б], т.е. супремум

{ Displaystyle mathrm {Var} (z, [a, b]) = sup left { left. sum _ {i = 1} ^ {k} | z (t_ {i}) - z (t_ {i-1}) | right | a = t_ {0}

Первым шагом в построении приведенной производной является время «растяжения», так что z может быть линейно интерполирован в точках перехода. С этой целью определим

{ displaystyle { hat { tau}} двоеточие [0, T] to [0, + infty);}

{ displaystyle { hat { tau}} (t) = t + int _ {[0, t]} | mathrm {d} z | = t + mathrm {Var} (z, [0, t ]).}

Функция «растянутого времени» τ̂ непрерывна слева (т.е. τ̂ = τ̂₋); более того, τ̂₋ и τ̂₊ находятся строго возрастающий и соглашаются, за исключением (не более чем счетных) точек прыжка z. Настройка T̂ = τ̂(Т), это «растяжение» можно инвертировать

{ displaystyle { hat {t}} двоеточие [0, { hat {T}}] to [0, T];}

{ displaystyle { hat {t}} ( tau) = max {t in [0, T] | { hat { tau}} (t) leq tau }.}

Используя это, растянутая версия z определяется

{ displaystyle { hat {z}} in C ^ {0} ([0, { hat {T}}]; X);}

{ Displaystyle { шляпа {z}} ( тау) = (1- тета) г _ {-} (т) + тета г _ {+} (т)}

где θ ∈ [0, 1] и

{ displaystyle tau = (1- theta) { hat { tau}} _ {-} (t) + theta { hat { tau}} _ {+} (t).}

Результатом этого определения является создание новой функции ẑ который «растягивает» прыжки z линейной интерполяцией. Быстрый расчет показывает, что ẑ не просто непрерывна, но и лежит в Соболевское пространство:

{ displaystyle { hat {z}} in W ^ {1, infty} ([0, { hat {T}}]; X);}

{ displaystyle left | { frac { mathrm {d} { hat {z}}} { mathrm {d} tau}} right | _ {L ^ { infty} ([0, { hat {T}}]; X)} leq 1.}

Производная от ẑ(τ) относительно τ определено почти всюду относительно Мера Лебега. В приведенная производная из z это отступление этой производной функцией растяжения τ̂ : [0, Т] → [0, T̂]. Другими словами,