Retract (теория групп) - Retract (group theory)

В математика, в области теория групп, а подгруппа из группа называется втягивать если есть эндоморфизм группы, отображающей сюръективно в подгруппу и тождественна в подгруппе. В символах ${ displaystyle H}$ это отказ от ${ displaystyle G}$ тогда и только тогда, когда существует эндоморфизм ${ displaystyle sigma: G to G}$ такой, что ${ displaystyle sigma (h) = h}$ для всех ${ displaystyle h in H}$ и ${ displaystyle sigma (g) in H}$ для всех ${ displaystyle g in G}$ .^[1]^[2]

Сам эндоморфизм (обладающий этим свойством) является идемпотентный элемент в моноид преобразования эндоморфизмов, поэтому он называется идемпотентным эндоморфизмом^[1]^[3] или опровержение.^[2]

Об ретрактах известно следующее:

Подгруппа является ретрактом тогда и только тогда, когда она имеет нормальный дополнять.^[4] В частности, нормальное дополнение - это ядро ретракции.
Каждые прямой фактор это ретракт.^[1] И наоборот, любой ретракт, который является нормальной подгруппой, является прямым фактором.^[5]
Каждый отзыв имеет свойство расширения конгруэнтности.
Каждые регулярный фактор, и в частности, каждый свободный фактор, это ретракт.

Смотрите также

Отзыв (теория категорий)

использованная литература

^ ^а ^б ^c Баер, Рейнхольд (1946), «Абсолютные ретракты в теории групп», Бюллетень Американского математического общества, 52: 501–506, Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08601-2, Г-Н 0016419.
^ ^а ^б Линдон, Роджер С.; Шупп, Пол Э. (2001), Комбинаторная теория групп, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, p. 2, ISBN 3-540-41158-5, Г-Н 1812024
^ Крылов Петр А .; Михалев, Александр В .; Туганбаев, Аскар А. (2003), Кольца эндоморфизмов абелевых групп, Алгебры и приложения, 2, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, p. 24, Дои:10.1007/978-94-017-0345-1, ISBN 1-4020-1438-4, Г-Н 2013936.
^ Мясников, Алексей Г .; Романьков, Виталий (2014), "Вербально замкнутые подгруппы свободных групп", Журнал теории групп, 17 (1): 29–40, arXiv:1201.0497, Дои:10.1515 / jgt-2013-0034, Г-Н 3176650.
^ Для примера нормальной подгруппы, которая не является ретрактом и, следовательно, не является прямым фактором, см. García, O.C .; Ларрион, Ф. (1982), "Инъективность в многообразиях групп", Универсальная алгебра, 14 (3): 280–286, Дои:10.1007 / BF02483931, Г-Н 0654396.

Эта абстрактная алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[baer-1] а ^б ^c Баер, Рейнхольд (1946), «Абсолютные ретракты в теории групп», Бюллетень Американского математического общества, 52: 501–506, Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08601-2, Г-Н 0016419.

[cgt-2] а ^б Линдон, Роджер С.; Шупп, Пол Э. (2001), Комбинаторная теория групп, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, p. 2, ISBN 3-540-41158-5, Г-Н 1812024

[3] Крылов Петр А .; Михалев, Александр В .; Туганбаев, Аскар А. (2003), Кольца эндоморфизмов абелевых групп, Алгебры и приложения, 2, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, p. 24, Дои:10.1007/978-94-017-0345-1, ISBN 1-4020-1438-4, Г-Н 2013936.

[4] Мясников, Алексей Г .; Романьков, Виталий (2014), "Вербально замкнутые подгруппы свободных групп", Журнал теории групп, 17 (1): 29–40, arXiv:1201.0497, Дои:10.1515 / jgt-2013-0034, Г-Н 3176650.

[5] Для примера нормальной подгруппы, которая не является ретрактом и, следовательно, не является прямым фактором, см. García, O.C .; Ларрион, Ф. (1982), "Инъективность в многообразиях групп", Универсальная алгебра, 14 (3): 280–286, Дои:10.1007 / BF02483931, Г-Н 0654396.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]