Метод Риддерса - Википедия - Ridders method

В числовой анализ, Метод Риддерса это алгоритм поиска корней на основе метод ложной позиции и использование экспоненциальная функция для последовательного приближения корня непрерывной функции ${ displaystyle f (x)}$ . Метод принадлежит К. Риддерсу.^[1]^[2]

Метод Риддерса проще, чем Метод Мюллера или же Метод Брента но с аналогичной производительностью.^[3] Приведенная ниже формула сходится квадратично, когда функция работает правильно, что означает, что количество дополнительных значащих цифр, обнаруживаемых на каждом шаге, примерно удваивается; но функция должна оцениваться дважды для каждого шага, поэтому общая порядок сходимости метода ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ . Если функция работает некорректно, корень остается заключенным в квадратные скобки, а длина интервала в скобки уменьшается как минимум вдвое на каждой итерации, поэтому сходимость гарантирована.

Метод

Учитывая два значения независимой переменной, ${ displaystyle x_ {0}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ , которые находятся по две разные стороны от искомого корня, т. е. ${ Displaystyle f (x_ {0}) f (x_ {2}) <0}$ , метод начинается с вычисления функции в средней точке ${ displaystyle x_ {1} = (x_ {0} + x_ {2}) / 2}$ . Затем находят уникальную экспоненциальную функцию ${ displaystyle e ^ {ax}}$ такая, что функция ${ Displaystyle ч (х) = е (х) е ^ {ах}}$ удовлетворяет ${ Displaystyle ч (х_ {1}) = (ч (х_ {0}) + ч (х_ {2})) / 2}$ . В частности, параметр ${ displaystyle a}$ определяется

{ displaystyle e ^ {a (x_ {1} -x_ {0})} = { frac {f (x_ {1}) - operatorname {sign} [f (x_ {0})] { sqrt { f (x_ {1}) ^ {2} -f (x_ {0}) f (x_ {2})}}} {f (x_ {2})}}.}.

Затем к точкам применяется метод ложного положения. ${ displaystyle (x_ {0}, h (x_ {0}))}$ и ${ displaystyle (x_ {2}, h (x_ {2}))}$ , что приводит к новому значению ${ displaystyle x_ {3}}$ между ${ displaystyle x_ {0}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ ,

{ displaystyle x_ {3} = x_ {1} + (x_ {1} -x_ {0}) { frac { operatorname {sign} [f (x_ {0})] f (x_ {1})} { sqrt {f (x_ {1}) ^ {2} -f (x_ {0}) f (x_ {2})}}},}

который будет использоваться как одно из двух значений скобок на следующем шаге итерации.

Другое значение брекетинга принимается равным ${ displaystyle x_ {1}}$ если ${ Displaystyle f (x_ {1}) f (x_ {3}) <0}$ (случай с хорошим поведением), или в зависимости от того, ${ displaystyle x_ {0}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ имеет значение функции противоположного знака ${ displaystyle f (x_ {3})}$ . Процедура может быть прекращена при достижении заданной точности.

Рекомендации

^ Риддерс, К. (1979). «Новый алгоритм для вычисления единственного корня действительной непрерывной функции». Транзакции IEEE в схемах и системах. 26: 979–980. Дои:10.1109 / TCS.1979.1084580.
^ Киусалаас, Яан (2010). Численные методы в инженерии на Python (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 146–150. ISBN 978-0-521-19132-6.
^ Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 9.2.1. Метод Риддера». Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.

Этот Прикладная математика -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.

[1] Риддерс, К. (1979). «Новый алгоритм для вычисления единственного корня действительной непрерывной функции». Транзакции IEEE в схемах и системах. 26: 979–980. Дои:10.1109 / TCS.1979.1084580.

[2] Киусалаас, Яан (2010). Численные методы в инженерии на Python (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 146–150. ISBN 978-0-521-19132-6.

[3] Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 9.2.1. Метод Риддера». Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.

[1]

[2]

[3]