Соответствие Римана – Гильберта - Riemann–Hilbert correspondence

В математике Соответствие Римана – Гильберта является обобщением Двадцать первая проблема Гильберта в более высокие измерения. Первоначальная установка была для сферы Римана, где речь шла о существовании регулярные дифференциальные уравнения с предписанным монодромия группы. Сначала сферу Римана можно заменить произвольной Риманова поверхность а затем в более высоких измерениях римановы поверхности заменяются на комплексные многообразия размерности> 1. Существует соответствие между некоторыми системами уравнения в частных производных (линейные и обладающие особыми свойствами для своих решений) и возможные монодромии их решений.

Такой результат был доказан для алгебраических связностей с регулярными особенностями Пьер Делинь (1970) и в более общем плане для регулярных голономных D-модулей Масаки Кашивара (1980, 1984) и Зогман Мебхаут (1980, 1984) независимо.

утверждение

Предположим, что Икс - гладкое комплексное алгебраическое многообразие.

Соответствие Римана – Гильберта (для регулярных особых связностей): существует функтор Sol называется функтором локальных решений, то есть эквивалентностью из категории плоских связностей на алгебраических векторных расслоениях на Икс с участием регулярные особенности в категорию локальных систем конечномерных комплексных векторных пространств на Икс. Для Икс связанных, категория локальных систем также эквивалентна категории комплексных представлений фундаментальная группа из Икс.

Условие регулярности особенностей означает, что локально постоянные сечения пучка (относительно плоской связности) имеют умеренный рост в точках Y - X, где Y является алгебраической компактификацией Икс. В частности, когда Икс компактно, условие регулярных особенностей пусто.

В более общем плане существует

Соответствие Римана – Гильберта (для регулярных голономных D-модулей): существует функтор DR называется функтором де Рама, то есть эквивалентностью из категории голономный D-модули на Икс с участием регулярные особенности в категорию извращенные снопы на Икс.

Рассматривая неприводимые элементы каждой категории, это дает соответствие 1: 1 между классами изоморфизма

• неприводимые голономные D-модули на Икс с регулярными особенностями,

и

• когомологии пересечения комплексов неприводимых замкнутых подмногообразий Икс с коэффициентами в неприводимых локальные системы.

А D-модуль это что-то вроде системы дифференциальных уравнений на Икс, а локальная система на подмногообразии - это что-то вроде описания возможных монодромий, поэтому это соответствие можно рассматривать как описание некоторых систем дифференциальных уравнений в терминах монодромий их решений.

В этом случае Икс имеет размерность один (комплексная алгебраическая кривая), то существует более общее соответствие Римана – Гильберта для алгебраических связностей без предположения регулярности (или для голономных D-модулей без предположения регулярности), описанное в Malgrange (1991), Соответствие Римана – Гильберта – Биркгофа.

Примеры

Примером применения теоремы является дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {df} {dz}} = {frac {a} {z}} f}$

на пунктирной аффинной прямой А¹ - {0} (то есть на ненулевые комплексные числа C - {0}). Вот а фиксированное комплексное число. Это уравнение имеет регулярные особенности в точках 0 и ∞ на проективной прямой п¹. Локальные решения уравнения имеют вид cz^а для констант c. Если а не является целым числом, то функция z^а нельзя четко определить по всем C - {0}. Это означает, что уравнение имеет нетривиальную монодромию. В явном виде монодромия этого уравнения есть одномерное представление фундаментальной группы π₁(А¹ − {0}) = Z в котором генератор (цикл вокруг начала координат) действует умножением на е^2πia.

Чтобы увидеть необходимость гипотезы регулярных особенностей, рассмотрим дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {df} {dz}} = f}$

на аффинной линии А¹ (то есть на комплексных числах C). Это уравнение соответствует плоской связности на тривиальном алгебраическом линейном расслоении над А¹. Решения уравнения имеют вид ce^z для констант c. Поскольку эти решения не имеют полиномиального роста на некоторых секторах вокруг точки ∞ проективной прямой п¹, уравнение не имеет регулярных особенностей на ∞. (Это также можно увидеть, переписав уравнение в терминах переменной ш := 1/z, где становится

${displaystyle {frac {df} {dw}} = - {frac {1} {w ^ {2}}} f.}$

Полюс порядка 2 по коэффициентам означает, что уравнение не имеет регулярных особенностей при ш = 0, согласно Теорема Фукса.)

Поскольку функции ce^z определены на всей аффинной прямой А¹, монодромия этой плоской связности тривиальна. Но эта плоская связность не изоморфна очевидной плоской связности на тривиальном линейном расслоении над А¹ (как алгебраическое векторное расслоение с плоской связностью), поскольку его решения не имеют умеренного роста на ∞. Это показывает необходимость ограничиться плоскими связностями с регулярными особенностями в соответствии Римана – Гильберта. С другой стороны, если мы будем работать с голоморфными (а не алгебраическими) векторными расслоениями с плоской связностью на некомпактном комплексном многообразии, таком как А¹ = C, то понятие регулярных особенностей не определяется. Гораздо более элементарная теорема, чем соответствие Римана – Гильберта, утверждает, что плоские связности на голоморфных векторных расслоениях определяются с точностью до изоморфизма своей монодромией.

Смотрите также

• Проблема Римана – Гильберта

использованная литература

• Димка, Александру, Пучки в топологии, стр. 206–207 (Дает явное представление соответствия Римана – Гильберта для слоя Милнора изолированной гиперповерхностной особенности)
• Борель, Арман (1987), Алгебраические D-модули, Перспективы в математике, 2, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, ISBN  978-0-12-117740-9, Г-Н  0882000
• Делинь, Пьер (1970), Équations différentielles à points singuliers réguliers, Конспект лекций по математике, 163, Springer-Verlag, ISBN  3540051902, Г-Н  0417174, OCLC  169357
• Кашивара, Масаки (1980), "Faisceaux constructibles et systèmes holonômes d'équations aux dérivées partielles linéaires à points singuliers réguliers", Séminaire Goulaouic-Schwartz, 1979–80, Exposé 19, Палезо: Политехническая школа, Г-Н  0600704
• Кашивара, Масаки (1984), «Проблема Римана-Гильберта для голономных систем», Публикации НИИ математических наук, 20 (2): 319–365, Дои:10.2977 / prims / 1195181610, Г-Н  0743382
• Мальгранж, Бернар (1991), Дифференциальные уравнения с коэффициентами многочлена, Успехи в математике, 96, Биркхойзер, ISBN  0-8176-3556-4, Г-Н  1117227
• Мебхаут, Зогман (1980), "Sur le problėme de Hilbert-Riemann", Комплексный анализ, микролокальное исчисление и релятивистская квантовая теория (Les Houches, 1979), Конспект лекций по физике, 126, Springer-Verlag, стр. 90–110, ISBN  3-540-09996-4, Г-Н  0579742
• Мебхаут, Зогман (1984), "Une autre équivalence de catégories", Compositio Mathematica, 51 (1): 63–88, Г-Н  0734785