Мультиграф Шеннона - Википедия - Shannon multigraph

В математической дисциплине теория графов, Мультиграфы Шеннона, названный в честь Клод Шеннон к Визинг (1965), представляют собой особый тип треугольника графики, которые используются в области окраска края особенно.

Мультиграф Шеннона - это мультиграф с 3 вершинами, для которых выполняется одно из следующих условий:

• а) все 3 вершины соединены одинаковым количеством ребер.
• б) как в а) и добавляется одно дополнительное ребро.

Точнее говорят о мультиграфе Шеннона. Ш (п), если три вершины соединены ${ displaystyle left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor}$, ${ displaystyle left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor}$ и ${ displaystyle left lfloor { frac {n + 1} {2}} right rfloor}$ ребра соответственно. Этот мультиграф имеет максимум степень п. Его кратность (максимальное количество ребер в наборе ребер с одинаковыми конечными точками) составляет ${ displaystyle left lfloor { frac {n + 1} {2}} right rfloor}$.

Примеры

• Мультиграфы Шеннона
• 

  Ш (2)

• 

  Ш (3)

• 

  Ш (4)

• 

  Ш (5)

• 

  Ш (6)

• 

  Ш (7)

Краска окраски

Для этого мультиграфа Шеннона с девятью краями требуется девять цветов в любой окраске ребер; степень его вершины равна шести, а кратность - трем.

Согласно теореме Шеннон (1949), каждый мультиграф с максимальной степенью ${ displaystyle Delta}$ имеет окраску краев, которая использует не более ${ displaystyle { frac {3} {2}} Delta}$ цвета. Когда ${ displaystyle Delta}$ четное, пример мультиграфа Шеннона с кратностью ${ displaystyle Delta / 2}$ показывает, что эта граница точная: степень вершины точно равна ${ displaystyle Delta}$, но каждый из ${ displaystyle { frac {3} {2}} Delta}$ ребра примыкают ко всем остальным ребрам, поэтому требуется ${ displaystyle { frac {3} {2}} Delta}$ цвета в любой правильной окраске края.

Версия Теорема Визинга (Визинг 1964 ) утверждает, что каждый мультиграф с максимальной степенью ${ displaystyle Delta}$ и множественность ${ displaystyle mu}$ можно раскрасить, используя не более ${ displaystyle Delta + mu}$ цвета. Опять же, для мультиграфов Шеннона эта граница жесткая.

Рекомендации

• Fiorini, S .; Уилсон, Робин Джеймс (1977), Краски рёбер графов, Исследования по математике, 16, Лондон: Pitman, стр. 34, ISBN  0-273-01129-4, МИСТЕР  0543798
• Шеннон, Клод Э. (1949), «Теорема о раскраске линий сети», J. Math. Физика, 28: 148–151, Дои:10.1002 / sapm1949281148, HDL:10338.dmlcz / 101098, МИСТЕР  0030203.
• Фолькманн, Лутц (1996), Fundamente der Graphentheorie (на немецком языке), Wien: Springer, p. 289, г. ISBN  3-211-82774-9.
• Визинг, В.Г. (1964), «Об оценке хроматического класса п-граф », Дискрет. Анализ., 3: 25–30, МИСТЕР  0180505.
• Визинг, В. Г. (1965), "Хроматический класс мультиграфа", Кибернетика, 1965 (3): 29–39, МИСТЕР  0189915.

внешняя ссылка

• Лутц Фолькманн: Graphen an allen Ecken und Kanten. Конспект лекций 2006 г., стр. 242 (немецкий)