Лемма Шапироса - Википедия - Shapiros lemma

В математика, особенно в областях абстрактная алгебра иметь дело с групповые когомологии или относительная гомологическая алгебра, Лемма Шапиро, также известный как Лемма Экмана – Шапиро., связывает расширения модулей над одним кольцом с расширениями над другим, особенно групповое кольцо из группа и из подгруппа. Таким образом, он связывает групповые когомологии по группе к когомологиям по подгруппе. Лемма Шапиро названа в честь Арнольда Шапиро, который доказал ее в 1961 году;^[1] тем не мение, Бено Экманн открыл его ранее, в 1953 году.^[2]

Заявление для колец

Позволять р → S быть кольцевой гомоморфизм, так что S становится левым и правым р-модуль. Позволять M быть левым S-модуль и N левый р-модуль. Ограничением скаляров M также левый р-модуль.

• Если S проективен как право р-модуль, затем:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, {} _ {R} M) cong operatorname {Ext} _ {S} ^ {n} (S otimes _ {R} N, M)}$

• Если S проективен как левый р-модуль, затем:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} ({} _ {R} M, N) cong operatorname {Ext} _ {S} ^ {n} (M, operatorname {Hom} _ {R} (S, N))}$

Видеть (Бенсон 1991, п. 47). Условия проективности можно ослабить до условий обращения в нуль некоторых Tor- или Ext-групп: см. (Картан и Эйленберг, 1956 г., п. 118, VI.§5).

Утверждение для групповых колец

Когда ЧАС является подгруппой конечных индекс в грамм, то групповое кольцо р[грамм] конечно порожден проективен как левая и правая р[ЧАС] модуль, поэтому предыдущая теорема применима просто. Позволять M - конечномерное представление грамм и N конечномерное представление ЧАС. В этом случае модуль S ⊗_р N называется индуцированное представление из N из ЧАС к грамм, и _рM называется ограниченное представительство из M из грамм к ЧАС. У одного есть это:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {G} ^ {n} (M, N uparrow _ {H} ^ {G}) cong operatorname {Ext} _ {H} ^ {n} (M downarrow _ {H} ^ {G}, N)}$

Когда п = 0, это называется Взаимность Фробениуса для полностью приводимых модулей и взаимности Накаямы в целом. Видеть (Бенсон 1991, п. 42), который также содержит эти более высокие версии разложения Макки.

Утверждение для групповых когомологий

Специализация M быть тривиальным модулем дает знакомую лемму Шапиро. Позволять ЧАС быть подгруппой грамм и N представление ЧАС. За N^грамм то индуцированное представление из N из ЧАС к грамм с использованием тензорное произведение, а для H_* то групповая гомология:

ЧАС_*(грамм, N^грамм) = H_*(ЧАС, N)

Аналогично для N^грамм коиндуцированное представление N из ЧАС к грамм с использованием Hom функтор, а для H^* то групповые когомологии:

ЧАС^*(грамм, N^грамм) = H^*(ЧАС, N)

Когда ЧАС конечный индекс в грамм, то индуцированное и коиндуцированное представления совпадают, и лемма верна как для гомологий, так и для когомологий.

Видеть (Вайбель 1994, п. 172).

Примечания

Рекомендации

• Бенсон, Д. Дж. (1991), Представления и когомологии. я, Кембриджские исследования по высшей математике, 30, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-36134-7, МИСТЕР  1110581
• Cartan, H .; Эйленберг, С. (1956), Гомологическая алгебра, Princeton University Press
• Экманн, Бено (1953), «Когомологии групп и перенос», Анналы математики, 2-я сер., 58 (3): 481–493, Дои:10.2307/1969749, МИСТЕР  0058600.
• Страница 59 из Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, МИСТЕР  1737196, Zbl  0948.11001
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.