Формулировка Шваба – Зельдовича - Shvab–Zeldovich formulation

В Формулировка Шваба – Зельдовича это подход к удалению терминов химического источника из уравнения сохранения для энергии и химических веществ линейными комбинациями независимых переменных, когда уравнения сохранения выражаются в общей форме. Выражение уравнений сохранения в общей форме часто ограничивает область применимости формулировки. Впервые метод был предложен В. А. Швабом в 1948 г.^[1] и по Яков Зельдович в 1949 г.^[2].

Метод

Для простоты предположим, что горение происходит в единственной глобальной необратимой реакции.

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} nu _ {i} ' Re _ {i} rightarrow sum _ {i = 1} ^ {N} nu _ {i}' ' Re _ {i}}$

где ${ Displaystyle Re _ {я}}$ это i-й химический вид из общего ${ displaystyle N}$ виды и ${ displaystyle nu _ {я} '}$ и ${ displaystyle nu _ {я} ''}$ - стехиометрические коэффициенты реагентов и продуктов соответственно. Тогда это можно будет показать из закон массового действия что скорость молей, произведенных на единицу объема любого вида ${ displaystyle omega}$ постоянна и определяется выражением

${ displaystyle omega = { frac {w_ {i}} {W_ {i} ( nu _ {i} '' - nu _ {i} ')}}}$

где ${ displaystyle w_ {i}}$ - масса видов i, произведенных или потребленных на единицу объема, и ${ displaystyle W_ {i}}$ - молекулярная масса вида i.

Основное приближение, используемое в формулировке Шваба-Зельдовича, состоит в том, что все бинарные коэффициенты диффузии ${ displaystyle D}$ всех пар видов одинаковы и равны температуропроводность. Другими словами, Число Льюиса всех видов постоянны и равны единице. Это накладывает ограничение на диапазон применимости состава, поскольку в действительности, за исключением метана, этилена, кислорода и некоторых других реагентов, числа Льюиса значительно отличаются от единицы. Устойчивый, низкий число Маха уравнения сохранения для разновидностей и энергии в терминах масштабированных независимых переменных^[3]

${ displaystyle alpha _ {i} = Y_ {i} / [W_ {i} ( nu _ {i} '' - nu _ {i} ')] quad { text {and}} quad alpha _ {T} = { frac { int _ {T_ {ref}} ^ {T} c_ {p} , mathrm {d} T} { sum _ {i = 1} ^ {N} h_ {i} ^ {0} W_ {i} ( nu _ {i} '- nu _ {i}' ')}}}$

где ${ displaystyle Y_ {i}}$ это массовая доля вида i, ${ displaystyle c_ {p} = sum _ {i = 1} ^ {N} Y_ {i} c_ {p, i}}$ это удельная теплоемкость при постоянном давлении смеси, ${ displaystyle T}$ это температура и ${ displaystyle h_ {i} ^ {0}}$ это энтальпия образования вида i, уменьшить до

${ Displaystyle { begin {выровнен} набла cdot [ rho { boldsymbol {v}} alpha _ {i} - rho D nabla alpha _ {i}] = omega, nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} alpha _ {T} - rho D nabla alpha _ {T}] = omega end {align}}}$

где ${ displaystyle rho}$ это газ плотность и ${ displaystyle { boldsymbol {v}}}$ - скорость потока. Приведенный выше набор ${ displaystyle N + 1}$ нелинейные уравнения, выраженные в общей форме, можно заменить на ${ displaystyle N}$ линейные уравнения и одно нелинейное уравнение. Предположим, что нелинейное уравнение соответствует ${ displaystyle alpha _ {1}}$ так что

${ displaystyle nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} alpha _ {1} - rho D nabla alpha _ {1}] = omega}$

затем, определяя линейные комбинации ${ displaystyle beta _ {T} = alpha _ {T} - alpha _ {1}}$ и ${ Displaystyle beta _ {я} = альфа _ {я} - альфа _ {1}}$ с участием ${ Displaystyle я neq 1}$ , остальное ${ displaystyle N}$ необходимые управляющие уравнения становятся

${ Displaystyle { begin {align} nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} beta _ {i} - rho D nabla beta _ {i}] = 0, nabla cdot [ rho { boldsymbol {v}} beta _ {T} - rho D nabla beta _ {T}] = 0. end {align}}}$

Линейные комбинации автоматически удаляют нелинейный член реакции в приведенном выше ${ displaystyle N}$ уравнения.

Формулировка Шваба – Зельдовича – Линьяна

Формулировка Шваба – Зельдовича – Линьяна была введена Amable Liñán в 1991 году^[4]^[5] для задач диффузионного пламени, где химический масштаб времени бесконечно мал (Предел Берка – Шумана ) так, чтобы пламя выглядело как тонкий реакционный слой. Реагенты могут иметь число Льюиса, которое не обязательно равно единице.

Предположим, что безразмерные скалярные уравнения для массовой доли топлива ${ displaystyle Y_ {F}}$ (определяется так, что он принимает единицу в потоке топлива), массовая доля окислителя ${ displaystyle Y_ {O}}$ (определяется таким образом, что в потоке окислителя принимает единичное значение) и безразмерную температуру ${ displaystyle T}$ (измеряется в единицах температуры потока окислителя)^[6]

{ displaystyle { begin {align} rho { frac { partial Y_ {F}} { partial t}} + rho mathbf {v} cdot nabla Y_ {F} & = { frac { 1} {Le_ {F}}} nabla cdot ( rho D_ {T} nabla Y_ {F}) - omega, rho { frac { partial Y_ {O}} { partial t }} + rho mathbf {v} cdot nabla Y_ {O} & = { frac {1} {Le_ {O}}} nabla cdot ( rho D_ {T} nabla Y_ {O} ) -S omega, rho { frac { partial T} { partial t}} + rho mathbf {v} cdot nabla T & = nabla cdot ( rho D_ {T} набла Т) + д омега конец {выровнено}}}

где ${ displaystyle omega = Da , Y_ {F} Y_ {O} e ^ {- E / RT}}$ скорость реакции, ${ displaystyle Da}$ подходящий Число Дамкёлера, ${ displaystyle S}$ - масса потока окислителя, необходимая для сжигания единицы массы потока топлива, ${ displaystyle q}$ - безразмерное количество тепла, выделяемого на единицу массы сгоревшего потока топлива, и ${ displaystyle e ^ {- E / RT}}$ - показатель Аррениуса. Вот, ${ displaystyle Le_ {F}}$ и ${ displaystyle Le_ {O}}$ являются Число Льюиса топлива и кислорода соответственно и ${ displaystyle D_ {T}}$ это температуропроводность. в Предел Берка – Шумана, ${ displaystyle Da rightarrow infty}$ приводя к состоянию равновесия

{ displaystyle Y_ {F} Y_ {O} = 0}

.

В этом случае члены реакции в правой части принимают вид Дельта-функции Дирака. Чтобы решить эту проблему, Линьан ввел следующие функции

{ displaystyle { begin {align} Z = { frac {SY_ {F} -Y_ {O} +1} {S + 1}}, & qquad { tilde {Z}} = { frac {{{ tilde {S}} Y_ {F} -Y_ {O} +1} {{ tilde {S}} + 1}}, H = { frac {T-T_ {0}} {T_ {s } -T_ {0}}} + Y_ {F} + Y_ {O} -1, & qquad { tilde {H}} = { frac {T-T_ {0}} {T_ {s} -T_ {0}}} + { frac {Y_ {O}} {Le_ {O}}} + { frac {Y_ {F} -1} {Le_ {F}}} end {align}}}

где ${ Displaystyle { тильда {S}} = SLe_ {O} / Le_ {F}}$ , ${ displaystyle T_ {0}}$ - температура топливного потока и ${ displaystyle T_ {s}}$ это адиабатическая температура пламени, оба измерены в единицах температуры потока окислителя. Введение этих функций сводит основные уравнения к

{ displaystyle { begin {align} rho { frac { partial Z} { partial t}} + rho mathbf {v} cdot nabla Z & = { frac {1} {Le_ {m} }} nabla cdot ( rho D_ {T} nabla { tilde {Z}}), rho { frac { partial H} { partial t}} + rho mathbf {v} cdot nabla H & = nabla cdot ( rho D_ {T} nabla { tilde {H}}), end {align}}}

где ${ Displaystyle Le_ {m} = Le_ {O} (S + 1) / ({ tilde {S}} + 1)}$ - среднее (или эффективное) число Льюиса. Отношения между ${ displaystyle Z}$ и ${ displaystyle { tilde {Z}}}$ и между ${ displaystyle H}$ и ${ displaystyle { tilde {H}}}$ можно вывести из условия равновесия.

На стехиометрической поверхности (поверхности пламени) оба ${ displaystyle Y_ {F}}$ и ${ displaystyle Y_ {O}}$ равны нулю, что приводит к ${ Displaystyle Z = Z_ {s} = 1 / (S + 1)}$ , ${ Displaystyle { тильда {Z}} = { тильда {Z}} _ {s} = 1 / ({ тильда {S}} + 1)}$ , ${ displaystyle H = H_ {s} = (T_ {f} -T_ {0}) / (T_ {s} -T_ {0}) - 1}$ и ${ displaystyle { tilde {H}} = { tilde {H}} _ {s} = (T_ {f} -T_ {0}) / (T_ {s} -T_ {0}) - 1 / Le_ {F}}$ , где ${ displaystyle T_ {f}}$ - температура пламени (измеряется в единицах температуры потока окислителя), которая, как правило, не равна ${ displaystyle T_ {s}}$ если только ${ displaystyle Le_ {F} = Le_ {O} = 1}$ . На потоке топлива, поскольку ${ displaystyle Y_ {F} -1 = Y_ {O} = T-T_ {0} = 0}$ , у нас есть ${ Displaystyle Z-1 = { тильда {Z}} - 1 = H = { тильда {H}} = 0}$ . Точно так же и с потоком окислителя, поскольку ${ Displaystyle Y_ {F} = Y_ {O} -1 = T-1 = 0}$ , у нас есть ${ Displaystyle Z = { тильда {Z}} = H- (1-T_ {0}) / (T_ {s} -T_ {0}) = { tilde {H}} - (1-T_ {0 }) / (T_ {s} -T_ {0}) - 1 / Le_ {O} + 1 / Le_ {F} = 0}$ .

Условие равновесия определяет^[7]

{ displaystyle { begin {align} { tilde {Z}} <{ tilde {Z}} _ {s}: & qquad Y_ {F} = 0, , , , Y_ {O} = 1 - { frac { tilde {Z}} {{ tilde {Z}} _ {s}}} = 1 - { frac {Z} {Z_ {s}}}, { tilde {Z }}> { tilde {Z}} _ {s}: & qquad Y_ {O} = 0, , , , Y_ {F} = { frac {{ tilde {Z}} - { тильда {Z}} _ {s}} {1 - { tilde {Z}} _ {s}}} = { frac {Z-Z_ {s}} {1-Z_ {s}}}. end {выровнено}}}

Приведенные выше соотношения определяют кусочную функцию ${ Displaystyle Z ({ тильда {Z}})}$

{ Displaystyle Z = { begin {case} { tilde {Z}} / Le_ {m}, quad { text {if}} , , { tilde {Z}} <{ tilde {Z }} _ {s} Z_ {s} + Le ({ tilde {Z}} - { tilde {Z}} _ {s}) / Le_ {m}, quad { text {if}} , , { tilde {Z}}> { tilde {Z}} _ {s} end {case}}}

где ${ Displaystyle Le_ {m} = { тильда {Z}} _ {s} / Z_ {s} = (S + 1) / (S / Le_ {F} +1)}$ - среднее число Льюиса. Это приводит к нелинейному уравнению для ${ displaystyle { tilde {Z}}}$ . поскольку ${ displaystyle H - { tilde {H}}}$ это только функция ${ displaystyle Y_ {F}}$ и ${ displaystyle Y_ {O}}$ , приведенные выше выражения могут использоваться для определения функции ${ Displaystyle Н ({ тильда {Z}}, { тильда {Н}})}$

{ Displaystyle H = { тильда {H}} + { begin {cases} (1 / Le_ {F} -1) - (1 / Le_ {O} -1) (1 - { tilde {Z}} / { tilde {Z}} _ {s}), quad { text {if}} , , { tilde {Z}} <{ tilde {Z}} _ {s} (1 / Le_ {F} -1) (1 - { tilde {Z}}) / (1 - { tilde {Z}} _ {s}), quad { text {if}} , , { tilde {Z}}> { tilde {Z}} _ {s} end {case}}}

С соответствующими граничными условиями для ${ displaystyle { tilde {H}}}$ , проблема решаема.

Можно показать, что ${ displaystyle { tilde {Z}}}$ и ${ displaystyle { tilde {H}}}$ являются сохраняющимися скалярами, т. е. их производные непрерывны при пересечении листа реакции, тогда как ${ displaystyle Z}$ и ${ displaystyle H}$ имеют градиентные прыжки по листу пламени.

использованная литература

^ Шваб В. А. (1948). Связь полей температуры и скорости пламени газовой горелки. Гос. Energ. Изд., Москва-Ленинград.
^ Зельдович Ю. Б., Журн. Техн. Физ. 19,1199 (1949), английский перевод, NACA Tech. Памятка. № 1296 (1950)
^ Уильямс, Ф.А. (2018). Теория горения. CRC Press.
^ А. Линьян, Структура диффузионного пламени, Гидродинамические аспекты теории горения, М. Онофри и А. Тезей, ред., Харлоу, Великобритания. Longman Scientific and Technical, 1991, стр. 11–29.
^ Линьян А. и Уильямс Ф. А. (1993). Фундаментальные аспекты горения.
^ Линан, А. (2001). Горение, управляемое диффузией. В «Механике нового мелленния» (стр. 487-502). Спрингер, Дордрехт.
^ Линан, А., Орланди, П., Верзикко, Р., Игуера, Ф. Дж. (1994). Эффекты неединичных чисел Льюиса в диффузионном пламени.

[1] Шваб В. А. (1948). Связь полей температуры и скорости пламени газовой горелки. Гос. Energ. Изд., Москва-Ленинград.

[2] Зельдович Ю. Б., Журн. Техн. Физ. 19,1199 (1949), английский перевод, NACA Tech. Памятка. № 1296 (1950)

[3] Уильямс, Ф.А. (2018). Теория горения. CRC Press.

[4] А. Линьян, Структура диффузионного пламени, Гидродинамические аспекты теории горения, М. Онофри и А. Тезей, ред., Харлоу, Великобритания. Longman Scientific and Technical, 1991, стр. 11–29.

[5] Линьян А. и Уильямс Ф. А. (1993). Фундаментальные аспекты горения.

[6] Линан, А. (2001). Горение, управляемое диффузией. В «Механике нового мелленния» (стр. 487-502). Спрингер, Дордрехт.

[7] Линан, А., Орланди, П., Верзикко, Р., Игуера, Ф. Дж. (1994). Эффекты неединичных чисел Льюиса в диффузионном пламени.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]