Гипотеза сингулярных кардиналов - Singular cardinals hypothesis

В теория множеств, то гипотеза единичных кардиналов (SCH) возник из-за вопроса о том, действительно ли количественное числительное для чего гипотеза обобщенного континуума (GCH) может потерпеть неудачу, может быть единичный кардинал.

Согласно Митчеллу (1992), гипотеза единственного кардинала такова:

Если κ - любая особая сильный предел кардинала, то 2^κ = κ⁺.

Здесь κ⁺ обозначает преемник кардинала из κ.

Поскольку SCH является следствием GCH, который, как известно, последовательный с ZFC, SCH соответствует ZFC. Также было показано, что отрицание SCH согласуется с ZFC, если предположить существование достаточно большого кардинального числа. Фактически, по результатам Моти Гитик, ZFC + отрицание SCH равнозначно ZFC + существованию измеримого кардинала κ Заказ Митчелла κ⁺⁺.

Другой формой SCH является следующее заявление:

2^{cf (κ)} <κ влечет κ^{cf (κ)} = κ⁺,

где cf обозначает конфинальность функция. Отметим, что κ^{cf (κ)}= 2^κ для всех особых сильных предельных кардиналов κ. Вторая формулировка SCH строго сильнее первой версии, поскольку в первой упоминаются только сильные ограничения; из модели, в которой первая версия SCH не работает на ℵ_ω и GCH выполняется выше ℵ_{ω + 2}, мы можем построить модель, в которой первая версия SCH работает, но вторая версия SCH не работает, добавив ℵ_ω Подмножества Коэна в ℵ_п для некоторых n.

Серебро доказал, что если κ сингулярно с несчетной конфинальностью и 2^λ = λ⁺ для всех бесконечных кардиналов λ <κ, то 2^κ = κ⁺. Использовано оригинальное доказательство Сильвера универсальные сверхспособности. Следующий важный факт следует из теоремы Сильвера: если гипотеза особых кардиналов верна для всех особых кардиналов счетной конфинальности, то она верна для всех особых кардиналов. В частности, тогда, если ${displaystyle kappa}$ является наименьшим контрпримером к гипотезе особых кардиналов, то ${displaystyle cf (каппа) = омега}$ .

Отрицание гипотезы об исключительных кардиналах тесно связано с нарушением GCH на измеримых кардиналах. Известный результат Дана Скотт состоит в том, что если GCH ниже измеримого кардинального ${displaystyle kappa}$ на множестве меры один, то есть нормальный ${displaystyle kappa}$ -полный ультрафильтр D на ${displaystyle {mathcal {P}} (каппа)}$ такой, что ${displaystyle {альфа <каппа: 2 ^ {альфа} = альфа ^ {+}} в D}$ , тогда ${displaystyle 2 ^ {каппа} = каппа ^ {+}}$ . Начиная с ${displaystyle kappa}$ а сверхкомпактный кардинал, Сильвер смог создать модель теории множеств, в которой ${displaystyle kappa}$ измеримо и в котором ${displaystyle 2 ^ {каппа}> каппа ^ {+}}$ . Затем, применив Прикрытие форсирования к измеримому ${displaystyle kappa}$ , получается модель теории множеств, в которой ${displaystyle kappa}$ является сильным предельным кардиналом счетной конфинальности и в котором ${displaystyle 2 ^ {каппа}> каппа ^ {+}}$ - нарушение ВСЗ. Гитик, опираясь на работу Woodin, смог заменить суперкомпакт в доказательстве Сильвера измеримой порядка Митчелла ${displaystyle kappa ^ {++}}$ . Это установило верхнюю границу прочности устойчивости отказа SCH. Gitik снова, используя результаты Теория внутренней модели, смог показать, что измеримая величина порядка Митчелла ${displaystyle kappa ^ {++}}$ также является нижней ценовой границей прочности устойчивости отказа SCH.

Большое разнообразие предложений подразумевает SCH. Как было отмечено выше, GCH подразумевает SCH. С другой стороны, аксиома правильного принуждения что подразумевает ${displaystyle 2 ^ {алеф _ {0}} = алеф _ {2}}$ и, следовательно, несовместим с GCH, также подразумевает SCH. Соловей показали, что большие кардиналы почти подразумевают SCH - в частности, если ${displaystyle kappa}$ является сильно компактный кардинал, то SCH выполняется выше ${displaystyle kappa}$ . С другой стороны, отсутствие (внутренних моделей) различных больших кардиналов (ниже измеримого порядка Митчелла) ${displaystyle kappa ^ {++}}$ ) также подразумевают SCH.

Гипотеза сингулярных кардиналов - Singular cardinals hypothesis

Рекомендации