Теорема о шести экспонентах - Six exponentials theorem

В математика, конкретно трансцендентная теория чисел, то теорема о шести экспонентах является результатом, который при правильных условиях на экспоненты гарантирует трансцендентность по крайней мере одной из набора экспонент.

Заявление

Если Икс₁, Икс₂,..., Икс_d находятся d сложные числа которые линейно независимый над рациональное число, и у₁, у₂,...,у_л находятся л комплексные числа, которые также линейно независимы над рациональными числами, и если дл > d + л, то хотя бы один из следующих дл числа трансцендентный:

{displaystyle exp (x_ {i} y_ {j}), quad (1leq ileq d, 1leq jleq l).}

Самый интересный случай, когда d = 3 и л = 2, и в этом случае есть шесть экспонент, отсюда и название результата. Теорема слабее связанной, но пока не доказанной. Гипотеза четырех экспонент, при этом строгое неравенство дл > d + л заменяется на дл ≥ d + л, что позволяет d = л = 2.

Теорема может быть выражена в терминах логарифмов, если ввести множество L логарифмов алгебраические числа:

{displaystyle {mathcal {L}} = {лямбда в mathbb {C},:, e ^ {lambda} в {overline {mathbb {Q}}}}.}

Теорема утверждает, что если λ_ij являются элементами L за я = 1, 2 и j = 1, 2, 3, такое что λ₁₁, λ₁₂, а λ₁₃ линейно независимы над рациональными числами, а λ₁₁ и λ₂₁ также линейно независимы над рациональными числами, то матрица

{displaystyle M = {egin {pmatrix} lambda _ {11} & lambda _ {12} & lambda _ {13} lambda _ {21} & lambda _ {22} & lambda _ {23} end {pmatrix}}}

имеет классифицировать 2.

История

Частный случай результата, когда Икс₁, Икс₂, и Икс₃ - логарифмы натуральных чисел, у₁ = 1 и у₂ реально, впервые упоминается в статье Леонидас Алаоглу и Пол Эрдёш с 1944 г., в котором они пытаются доказать, что соотношение последовательных колоссально обильные числа всегда основной. Они утверждали, что Карл Людвиг Сигель знал о доказательстве этого особого случая, но оно не записано.^[1] Используя частный случай, им удается доказать, что соотношение последовательных колоссально обильных чисел всегда либо простое, либо полупервичный.

Теорема была впервые явно сформулирована и доказана в полной форме независимо Серж Ланг^[2] и Канаканахалли Рамачандра^[3] в 1960-е гг.

Теорема о пяти экспонентах

Более сильный связанный результат - теорема о пяти экспонентах,^[4] который заключается в следующем. Позволять Икс₁, Икс₂ и у₁, у₂ - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима относительно рациональных чисел, и пусть γ - ненулевое алгебраическое число. Тогда по крайней мере одно из следующих пяти чисел трансцендентно:

{displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1}}, e ^ {x_ {1} y_ {2}}, e ^ {x_ {2} y_ {1}}, e ^ {x_ {2} y_ { 2}}, e ^ {гамма x_ {2} / x_ {1}}.}

Эта теорема подразумевает теорему о шести экспонентах и, в свою очередь, вытекает из еще не доказанной гипотезы о четырех экспонентах, которая гласит, что на самом деле одно из первых четырех чисел в этом списке должно быть трансцендентным.

Точная теорема о шести экспонентах

Другой связанный результат, который влечет как теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, - это точная теорема о шести экспонентах.^[5] Эта теорема состоит в следующем. Позволять Икс₁, Икс₂, и Икс₃ - комплексные числа, линейно независимые над рациональными числами, и пусть у₁ и у₂ - пара комплексных чисел, линейно независимых над рациональными числами, и предположим, что β_ij шесть алгебраических чисел для 1 ≤я ≤ 3 и 1 ≤j ≤ 2 таких, что следующие шесть чисел являются алгебраическими:

{displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - eta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - eta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_ {1 } - eta _ {21}}, e ^ {x_ {2} y_ {2} - eta _ {22}}, e ^ {x_ {3} y_ {1} - eta _ {31}}, e ^ { x_ {3} y_ {2} - eta _ {32}}.}

потом Икс_я у_j = β_ij для 1 ≤я ≤ 3 и 1 ≤j ≤ 2. Из теоремы о шести экспонентах следует положить β_ij = 0 для каждого я и j, а теорема о пяти экспонентах следует, полагая Икс₃ = γ /Икс₁ и используя Теорема Бейкера чтобы гарантировать, что Икс_я линейно независимы.

Существует также точная версия теоремы о пяти экспонентах, хотя она еще не доказана и известна как Гипотеза точных пяти экспонент.^[6] Эта гипотеза влечет как точную теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, и формулируется следующим образом. Позволять Икс₁, Икс₂ и у₁, у₂ - две пары комплексных чисел, каждая из которых линейно независима относительно рациональных чисел, и пусть α, β₁₁, β₁₂, β₂₁, β₂₂, и γ - шесть алгебраических чисел, γ ≠ 0 таких, что следующие пять чисел являются алгебраическими:

{displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - eta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - eta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_ {1 } - eta _ {21}}, e ^ {x_ {2} y_ {2} - eta _ {22}}, e ^ {(гамма x_ {2} / x_ {1}) - alpha}.}

потом Икс_я у_j = β_ij для 1 ≤я, j ≤ 2 и γИкс₂ = αИкс₁.

Следствием этой гипотезы, которое в настоящее время не известно, будет выход за пределы е^π², установив Икс₁ = у₁ = β₁₁ = 1, Икс₂ = у₂ = яπ, а все остальные значения в операторе равны нулю.

Сильная теорема о шести экспонентах

Логические следствия между различными проблемами n-экспонент

Логические следствия между различными проблемами в этом круге. Те, что отмечены красным, еще не доказаны, а те, что отмечены синим, - известные результаты. Самый верхний результат относится к тому, что обсуждается на Теорема Бейкера, а гипотезы о четырех экспонентах подробно описаны в Гипотеза четырех экспонент статья.

Дальнейшим усилением теорем и гипотез в этой области являются сильные версии. В сильная теорема о шести экспонентах - результат, доказанный Дэмиеном Роем, из которого следует точная теорема о шести экспонентах.^[7] Этот результат касается векторное пространство над алгебраическими числами, порожденными 1 и всеми логарифмами алгебраических чисел, обозначаемых здесь как L^∗. Так L^∗ - это множество всех комплексных чисел вида

{displaystyle eta _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {n} eta _ {i} log alpha _ {i},}

для некоторых п ≥ 0, где все β_я и α_я являются алгебраическими и каждый ветвь логарифма Считается. Сильная теорема о шести экспонентах говорит, что если Икс₁, Икс₂, и Икс₃ - комплексные числа, линейно независимые над алгебраическими числами, и если у₁ и у₂ являются парой комплексных чисел, которые также линейно независимы от алгебраических чисел, то хотя бы одно из шести чисел Икс_я у_j для 1 ≤я ≤ 3 и 1 ≤j ≤ 2 не в L^∗. Это сильнее стандартной теоремы о шести экспонентах, которая гласит, что одно из этих шести чисел не является просто логарифмом алгебраического числа.

Также есть сильная гипотеза пяти экспонент сформулировано Мишель Вальдшмидт^[8] Это будет означать как сильную теорему о шести экспонентах, так и гипотезу о точных пяти экспонентах. Эта гипотеза утверждает, что если Икс₁, Икс₂ и у₁, у₂ две пары комплексных чисел, каждая пара линейно независима от алгебраических чисел, то по крайней мере одно из следующих пяти чисел не входит в L^∗:

{displaystyle x_ {1} y_ {1} ,, x_ {1} y_ {2} ,, x_ {2} y_ {1} ,, x_ {2} y_ {2} ,, x_ {1} / x_ {2 }.}

Все приведенные выше гипотезы и теоремы являются следствием недоказанного расширения Теорема Бейкера, что логарифмы алгебраических чисел, которые линейно независимы над рациональными числами, также автоматически алгебраически независимы. На диаграмме справа показаны логические следствия всех этих результатов.

Обобщение на коммутативные групповые многообразия

Экспоненциальная функция $е z$ униформизует экспоненциальное отображение мультипликативной группы $грамм м$ . Следовательно, мы можем более абстрактно сформулировать теорему о шести экспонентах следующим образом:

Позволять

грамм = грамм м \times грамм м

и возьми

ты : C \to грамм (C)

быть ненулевым гомоморфизмом комплексно-аналитических групп. Определять

L

быть набором комплексных чисел

л

для которого

ты (л)

является алгебраической точкой

грамм

. Если минимальный порождающий набор

L

над

Q

имеет более двух элементов, тогда изображение

ты (C)

является алгебраической подгруппой в

грамм (C)

.

(Чтобы вывести классическое утверждение, положим $ты (z)$ = $(е у 1 z; е у 2 z)$ и обратите внимание, что $Q Икс 1 + Q Икс 2 + Q Икс 3$ это подмножество $L$ ).

Таким образом, утверждение теоремы о шести экспонентах может быть обобщено на произвольное коммутативное групповое многообразие $грамм$ над полем алгебраических чисел. Этот Обобщенная шести экспоненциальная гипотеза, однако, кажется, выходит за рамки текущего состояния трансцендентная теория чисел.

Для особых, но интересных случаев $грамм = грамм м \times E$ и $грамм = E \times E '$ , куда $E, E '$ являются эллиптическими кривыми над полем алгебраических чисел, результаты к обобщенной шести экспоненциальной гипотезе были доказаны Александром Момотом.^[9] Эти результаты включают экспоненциальную функцию $е z$ и функция Вейерштрасса ${displaystyle wp}$ соотв. две функции Вейерштрасса ${displaystyle wp, wp '}$ с алгебраическими инвариантами ${displaystyle g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} ', g_ {3}'}$ , вместо двух экспоненциальных функций ${displaystyle e ^ {y_ {1} z}, e ^ {y_ {2} z}}$ в классической постановке.

Позволять $грамм = грамм м \times E$ и предположим $E$ не изогенна кривой над реальным полем и что $ты (C)$ не является алгебраической подгруппой в $грамм (C)$ . потом $L$ генерируется над $Q$ либо двумя элементами $Икс 1, Икс 2$ , или три элемента $Икс 1, Икс 2, Икс 3$ которые не все содержатся в реальной строке $р c$ , куда $c$ - ненулевое комплексное число. Аналогичный результат показан для $грамм = E \times E '$ .^[10]

Примечания

^ Алаоглу и Эрдёш (1944), стр.455: «Профессор Сигель сообщил нам результат, который q^Икс, р^Икс и s^Икс не может быть одновременно рациональным, кроме случаев, когда Икс является целым числом ".
^ Ланг, (1966), глава 2, раздел 1.
^ Рамачандра (1967/68).
^ Вальдшмидт, (1988), следствие 2.2.
^ Вальдшмидт, (2005), теорема 1.4.
^ Вальдшмидт, (2005), гипотеза 1.5
^ Рой, (1992), раздел 4, следствие 2.
^ Вальдшмидт, (1988).
^ Момот, гл. 7
^ Момот, гл. 7

внешняя ссылка

[1] Алаоглу и Эрдёш (1944), стр.455: «Профессор Сигель сообщил нам результат, который q^Икс, р^Икс и s^Икс не может быть одновременно рациональным, кроме случаев, когда Икс является целым числом ".

[2] Ланг, (1966), глава 2, раздел 1.

[3] Рамачандра (1967/68).

[4] Вальдшмидт, (1988), следствие 2.2.

[5] Вальдшмидт, (2005), теорема 1.4.

[6] Вальдшмидт, (2005), гипотеза 1.5

[7] Рой, (1992), раздел 4, следствие 2.

[8] Вальдшмидт, (1988).

[9] Момот, гл. 7

[10] Момот, гл. 7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]