Лемма Слепиана - Википедия - Slepians lemma

В теория вероятности, Лемма Слепяна (1962), названа в честь Давид Слепян, является неравенством сравнения Гаусса. В нем говорится, что для гауссовских случайных величин ${ displaystyle X = (X_ {1}, dots, X_ {n})}$ и ${ Displaystyle Y = (Y_ {1}, dots, Y_ {n})}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ удовлетворение ${ Displaystyle mathbb {E} [X] = mathbb {E} [Y] = 0}$,

${ displaystyle mathbb {E} [X_ {i} ^ {2}] = mathbb {E} [Y_ {i} ^ {2}]}$, ${ displaystyle i = 1, dots, n, { text {and}} mathbb {E} [X_ {i} X_ {j}] leq mathbb {E} [Y_ {i} Y_ {j }]}$ за ${ displaystyle i neq j}$,

для всех действительных чисел справедливо неравенство ${ displaystyle u_ {1}, ..., u_ {n}}$:

${ displaystyle mathbb {P} [ cap _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i} leq u_ {i} }] leq mathbb {P} [ cap _ {i = 1} ^ {n} {Y_ {i} leq u_ {i} }]}$,

или эквивалентно,

${ displaystyle mathbb {P} [ cup _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i}> u_ {i} }] geq mathbb {P} [ cup _ {i = 1 } ^ {n} {Y_ {i}> u_ {i} }]}$.

Хотя этот интуитивно кажущийся результат верен для гауссовских процессов, он в целом неверен для других случайных величин - даже для тех, с математическим ожиданием 0.

Как следствие, если ${ Displaystyle (X_ {т}) _ {т geq 0}}$ центрированный стационарный Гауссовский процесс такой, что ${ Displaystyle mathbb {E} [X_ {0} X_ {t}] geq 0}$ для всех ${ displaystyle t}$, это справедливо для любого действительного числа ${ displaystyle c}$ который

${ Displaystyle mathbb {P} left [ sup _ {t in [0, T + S]} X_ {t} leq c right] geq mathbb {P} left [ sup _ { t in [0, T]} X_ {t} leq c right] mathbb {P} left [ sup _ {t in [0, S]} X_ {t} leq c right] , quad T, S> 0}$.

История

Лемма Слепяна была впервые доказана Слепяном в 1962 г. и с тех пор использовалась в теория надежности, теория экстремальных ценностей и области чистой вероятности. Это также было повторно доказано в нескольких различных формах.

Рекомендации

• Слепян Д. «Проблема одностороннего барьера для гауссовского шума», Bell System Technical Journal (1962), стр 463–501.
• Хаффер, Ф. «Неравенство Слепяна через центральную предельную теорему», Canadian Journal of Statistics (1986), стр. 367–370.
• Леду М., Талагранд М. «Вероятность в банаховых пространствах», Springer Verlag, Berlin 1991, стр 75.

Этот вероятность -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.