Расширение Зоммерфельда - Sommerfeld expansion

А Расширение Зоммерфельда является приближенным методом, разработанным Арнольд Зоммерфельд для определенного класса интегралы которые распространены в конденсированное вещество и статистическая физика. Физически интегралы представляют собой статистические средние значения с использованием Распределение Ферми – Дирака.

Когда обратная температура - большая величина, интеграл можно разложить[1][2] с точки зрения так как

где используется для обозначения производной от оценивается в и где обозначение относится к ограничивающему поведению порядка . Расширение допустимо, только если исчезает как и идет не быстрее, чем полиномиально по так как .Если интеграл от нуля до бесконечности, то интеграл в первом члене разложения равен от нуля до бесконечности. и второй член без изменений.

Приложение к модели свободных электронов

Интегралы этого типа часто появляются при вычислении электронных свойств, например теплоемкость, в модель свободных электронов твердых тел. В этих расчетах указанный выше интеграл выражает математическое ожидание величины . Тогда для этих интегралов можно отождествить как обратная температура и как химический потенциал. Следовательно, разложение Зоммерфельда справедливо для больших (низкий температура ) системы.

Приведение ко второму порядку по температуре

Мы ищем расширение второго порядка по температуре, т. Е. До , где это продукт температуры и Постоянная Больцмана. Начните с изменения переменных на :

Разделите диапазон интеграции, , и переписать используя замену переменных :

Затем воспользуйтесь алгебраическим трюком со знаменателем ,

чтобы получить:

Вернитесь к исходным переменным с помощью в первый срок . Объединить чтобы получить:

Числитель во втором члене может быть выражен как приближение к первой производной при условии, что достаточно мала и достаточно гладкая:

чтобы получить,

Определенный интеграл известен[3] быть:

.

Следовательно,

Члены высшего порядка и производящая функция

Мы можем получить члены более высокого порядка в разложении Зоммерфельда, используя производящую функцию для моментов распределения Ферми. Это дается

Здесь и ступенчатая функция Хевисайда вычитает расходящийся вклад при нулевой температуре. дает, например [4]

Аналогичная производящая функция для нечетных моментов функции Бозе имеет вид

Примечания

  1. ^ Эшкрофт и Мермин 1976, п. 760.
  2. ^ Фабиан, Дж. «Расширение Зоммерфельда» (PDF). Universitaet Regensburg. Получено 2016-02-08.
  3. ^ «Определенные интегралы, содержащие экспоненциальные функции». SOS Math. Получено 2016-02-08.
  4. ^ Р. Логанаягам, П. Сурувка (2012). «Аномалия / Перенос в идеальном газе Вейля». JHEP. 2012 (4): 2012:97. arXiv:1201.2812. Bibcode:2012JHEP ... 04..097L. CiteSeerX  10.1.1.761.5605. Дои:10.1007 / JHEP04 (2012) 097. S2CID  118841274.

Рекомендации