Популярный в физике конденсированного состояния метод интегрального приближения
А Расширение Зоммерфельда является приближенным методом, разработанным Арнольд Зоммерфельд для определенного класса интегралы которые распространены в конденсированное вещество и статистическая физика. Физически интегралы представляют собой статистические средние значения с использованием Распределение Ферми – Дирака.
Когда обратная температура - большая величина, интеграл можно разложить[1][2] с точки зрения так как
где используется для обозначения производной от оценивается в и где обозначение относится к ограничивающему поведению порядка . Расширение допустимо, только если исчезает как и идет не быстрее, чем полиномиально по так как .Если интеграл от нуля до бесконечности, то интеграл в первом члене разложения равен от нуля до бесконечности. и второй член без изменений.
Приложение к модели свободных электронов
Интегралы этого типа часто появляются при вычислении электронных свойств, например теплоемкость, в модель свободных электронов твердых тел. В этих расчетах указанный выше интеграл выражает математическое ожидание величины . Тогда для этих интегралов можно отождествить как обратная температура и как химический потенциал. Следовательно, разложение Зоммерфельда справедливо для больших (низкий температура ) системы.
Приведение ко второму порядку по температуре
Мы ищем расширение второго порядка по температуре, т. Е. До , где это продукт температуры и Постоянная Больцмана. Начните с изменения переменных на :
Разделите диапазон интеграции, , и переписать используя замену переменных :
Затем воспользуйтесь алгебраическим трюком со знаменателем ,
чтобы получить:
Вернитесь к исходным переменным с помощью в первый срок . Объединить чтобы получить:
Числитель во втором члене может быть выражен как приближение к первой производной при условии, что достаточно мала и достаточно гладкая:
чтобы получить,
Определенный интеграл известен[3] быть:
- .
Следовательно,
Члены высшего порядка и производящая функция
Мы можем получить члены более высокого порядка в разложении Зоммерфельда, используя производящую функцию для моментов распределения Ферми. Это дается
Здесь и ступенчатая функция Хевисайда вычитает расходящийся вклад при нулевой температуре. дает, например [4]
Аналогичная производящая функция для нечетных моментов функции Бозе имеет вид
Примечания
Рекомендации