Постоянная квадратичной повторяемости Сомоса - Википедия - Somos quadratic recurrence constant

В математика, Постоянная квадратичной повторяемости Сомоса, названный в честь Майкл Сомос, это номер

${ displaystyle sigma = { sqrt {1 { sqrt {2 { sqrt {3 cdots}}}}}} = 1 ^ {1/2} ; 2 ^ {1/4} ; 3 ^ {1/8} cdots. ,}$

Это можно легко переписать в гораздо более быстро сходящееся представление продукта.

${ Displaystyle sigma = sigma ^ {2} / sigma = left ({ frac {2} {1}} right) ^ {1/2} left ({ frac {3} {2} } right) ^ {1/4} left ({ frac {4} {3}} right) ^ {1/8} left ({ frac {5} {4}} right) ^ { 1/16} cdots,}$

который затем может быть компактно представлен в форме бесконечного произведения:

${ displaystyle sigma = prod _ {k = 1} ^ { infty} left (1 + { frac {1} {k}} right) ^ { frac {1} {2 ^ {k} }}.}$

Константа σ возникает при изучении асимптотики последовательности

${ displaystyle g_ {0} = 1 ,; , g_ {n} = ng_ {n-1} ^ {2}, qquad n> 1, ,}$

с первыми членами 1, 1, 2, 12, 576, 1658880 ... (последовательность A052129 в OEIS ). Можно показать, что эта последовательность имеет асимптотическое поведение следующим образом:^[1]

${ displaystyle g_ {n} sim { frac { sigma ^ {2 ^ {n}}} {n + 2 + O ({ frac {1} {n}})}}.}$

Гильера и Сондоу дают представление с точки зрения производная из Лерх трансцендентный:

${ displaystyle ln sigma = { frac {-1} {2}} { frac { partial Phi} { partial s}} left ({ frac {1} {2}}, 0, 1 справа)}$

где ln - это натуральный логарифм и ${ displaystyle Phi}$(z, s, q) является трансцендентным Лерхом.

Ну наконец то,

${ displaystyle sigma = 1.661687949633594121296 dots ;}$ (последовательность A112302 в OEIS ).

Примечания

Рекомендации

Эта статья по математике заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.